Appunti Analisi 2 e Analisi complessa (latex)

Convergenza uniforme delle funzioni

Per dimostrare tale convergenza basta calcolare il limite citato. La convergenza uniforme (f) : ⊆ → è definita come segue:

Data una successione di funzioni definite in I e data f : A → R, si dice che f converge uniformemente in A se:

lim n → ∞ f = f, ovvero per ogni x ∈ A e per ogni > 0 esiste un numero ν > 0 tale che per ogni n > ν si abbia |f(x) - f_n(x)| < ε.

In altre parole, se nella definizione precedente ν non dipende da x. La convergenza uniforme implica quella puntuale ma non il viceversa. Per dimostrare tale convergenza basta verificare che per ogni > 0 esiste un numero ν > 0 tale che per ogni n > ν si abbia |f(x) - f_n(x)| < ε.

Teorema sulla continuità del limite:

Sia (f_n) una successione di funzioni continue definite in un intervallo I e sia f : I → R una funzione tale che f_n converge uniformemente a f in I. Allora f è continua.

sull'inversione dei limiti:∎ (f ) ⊆Sia una successione di funzioni definite in un intervallo I eRn n∈N∶ → →f I una funzione tale che f f uniformemente in I.R nSupponiamo inoltre che ∀n ∈ (x), ∈lim f x (1.5)N∃ Rn 0x→x 0Allora esistono e coincidono i seguenti limiti:( (x)) = ( (x))lim lim f lim lim f (1.6)n nn→∞ x→x x→x n→∞0 0

Teorema sul passaggio al limite sotto il segno di integrale*:∎ (f ) = [a,Sia una successione di funzioni continue definite in un intervallo I b] en n∈N∶ → →f I una funzione tale che f f uniformemente in I.R nAllora vale la seguente formula: b b(x)dx = (x)dx∫ ∫lim f f (1.7)nn→∞ a a2∗

Dimostrazione: [a,Essendo f limite di funzioni continue è continua in b] e quindi integrabile.Vogliamo dimostrare che: b b∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > ∣ (x)dx − (x)dx∣ <∫ ∫0 ν f f (1.8)N na

a→Poichè f f uniformemente:n ′ ′∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > = ∣f (x) − (x) <0 ν g sup f (1.9)N n n′ ′ x∈[a,b]′ ′ >> < si ottiene ‘∀n ν :Quindi fissato un 0 , se scegliamo ′b−a bbb ∣f (x) − (x)∣dx ≤(x)dx∣ ≤(x)dx −∣ ∫∫∫ fff nn aaa (1.10)′≤ ∣f (x) − (x)∣(b − < (b − <sup f a) a) nx∈[a,b]Teorema sul passaggio al limite sotto il segno di derivata:∎ = [a,(f ) 1 definite in un intervallo I b] eSia una successione di funzioni di classe Cn n∈N∶ → → in I.f I una funzione tale che f f puntualmenteR n′Supponiamo che la successione f delle derivate converga uniformemente a una funzione g.n→f f uniformemente in I ′ ′(x) = (x)n quindi vale: lim f fAllora ′ = n→∞ nf è derivabile e f g1.3 Condizioni sufficienti per la convergenzaTeorema

1. Teorema 1: Sia una successione di funzioni continue definite in un intervallo [a, b]. Supponiamo che tale successione sia monotona crescente (o decrescente) rispetto a n. Allora esiste una funzione continua f definita in I tale che f_n converge puntualmente a f in I. Inoltre, se la successione è monotona crescente, allora f_n converge uniformemente in I.
2. Teorema 2: Sia una successione di funzioni definite in un intervallo [a, b]. Supponiamo che tale successione sia monotona crescente (o decrescente) rispetto a x. Allora esiste una funzione continua f definita in I tale che f_n converge puntualmente a f in I. Inoltre, se la successione è monotona crescente, allora f_n converge uniformemente in I.
3. Serie di funzioni: Data una successione di funzioni definita in un intervallo I, la successione delle somme parziali, definita come S_n(x) = f_1(x) + f_2(x) + ... + f_n(x), converge puntualmente a una funzione S(x) in I.

1. La serie di funzioni di termine generale f è indicata con:

∑_n=0^∞ (x) = (x) + (x) + ... + (x)

2. La convergenza puntuale è definita come:

Data una successione di funzioni S definita in I, se:

lim_n→∞ S_n(x) = S(x)

allora la serie di funzioni di termine generale f converge puntualmente a S(x) in A e quest'ultimo è detto insieme di convergenza puntuale (ICP), inoltre S(x) è la somma della serie ovvero:

∑_n=0^∞ (x) = ∑_n=0^∞ S(x)

3. La convergenza assoluta è definita come:

Data una serie di funzioni , se:

∑_n=0^∞ |f(x)| converge

Allora la serie converge assolutamente in x.

La convergenza assoluta implica quella puntuale ma non il viceversa.

4. La convergenza uniforme è definita come:

Data una serie di funzioni f si dice che tale serie converge uniformemente a S(x) in A se la successione S_n(x) converge uniformemente a S(x) in A.

converge uniformemente a S(x) nel senso delle successioni.

La convergenza uniforme implica quella puntuale ma non il viceversa.

Convergenza totale

Data una serie di funzioni, se: ∃M ∶ ∀x ∈ ∀n ∈ ∣f (x)∣ ≤A M (2.6)Nn n n∈

Allora la serie converge totalmente in x A.

La convergenza totale implica tutte le altre.

42.2 Teoremi sulla convergenza uniforme

Teorema sulla continuità della somma di una serie: ∎ (f ) ⊆ ∶ →Sia una successione di funzioni continue definite in I e S I la somma dellaR Rn n∈Nserie avente f come termine generale, i.e.n ∞= (x)∑S(x) f (2.7)nn=0Supponiamo inoltre che tale serie converga uniformemente a S(x).Allora S(x) è continua.

Teorema di integrazione per serie (o termine a termine)*: ∎ (f ) ⊆ ∶ →Sia una successione di funzioni continue definite in I e S I la somma dellaR Rn n∈Nserie avente f come termine generale, i.e.n ∞= (x)∑S(x) f (2.8)nn=0 a S(x).Supponiamo inoltre

Che tale serie converga uniformemente. Allora vale la seguente formula: ∫_bb (x)dx = Σ ∬ S(x)dxf (2.9)n aan=0* Dimostrazione: (x) = Σ (x)kn=0

Essendo f limite uniforme della successione delle somme parziali S f (che k[a, sono continue), è continua in b] e quindi integrabile. Quindi abbiamo che: ∫_kb b(x)dx = ∫_(x)dx = Σ Σ ∬ ∬ ∫f lim f lim fn n nk→∞ k→∞a a an=0 n=0n=0 (2.10)b b b= ∫_(x)dx = ∫_(x)dx = ∬ ∬ ∬ lim S lim S S(x)dxk kk→∞ k→∞a a a

Dove si è usato il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di derivazione per serie (o termine a termine): ∎ (f ) ⊆ ∶ →1 Sia una successione di funzioni di classe C definite in I e S I la somma R Rn n∈N della serie avente f come termine generale, i.e. n ∞= (x)Σ S(x) f (2.11)nn=0 ∞ ∑′ (x)Σ Supponiamo che la serie derivata f converga uniformemente. n=0 n1 Allora S è di classe

1. k + ∞ = 0
2. a_k+1 ∃ = ∴ = < < +∞1lim
3. Allora ρ (3.4)0
4. a_k → ∞
5. k = +∞0

63.2 Serie derivata e integrata

Data una serie di potenze, si definiscono rispettivamente serie derivata e serie integrata.