Appunti Analisi 2 e Analisi complessa (latex)

Analisi 2

By Jacopo Masia

February 04, 2020

Indice

1 Successioni di Funzioni 2

1.1 Tipi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Teoremi sulla convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Condizioni sufficienti per la convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Serie di funzioni 4

2.1 Tipi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teoremi sulla convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Serie di potenze 6

3.1 Raggio di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Criteri per la ricerca del raggio di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Serie derivata e integrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Serie di Taylor 7

5 Serie di Fourier 8

5.1 Definizione della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 Convergenza della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.1 Convergenza in media quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Uguaglianza di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Funzioni complesse 12

6.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.1.1 Struttura metrica in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

C

6.1.2 Struttura topologica in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

C

6.2 Introduzione alle funzioni complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.2.1 Continuità in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

C

6.2.2 Derivabilità in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

C

6.2.3 Differenziabilità e condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.2.4 Olomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.3 Definizione di alcune funzioni complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.3.1 Esponenziale complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.3.2 Logaritmo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.3.3 Potenza complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.3.4 Funzioni trigonometriche complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Serie di potenze e di Fourier in campo complesso 19

7.1 Serie di potenze complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.2 Forma esponenziale della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

8 Integrazione in campo complesso 21

8.1 Curve regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2 Integrale curvilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.3 Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.4 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.5 Forme differenziali e formula di Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.6 Teorema integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.6.1 Formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9 Funzioni analitiche 26

9.1 Zeri di una funzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.2 Disuguaglianza di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 Singolarità e residui 29

10.1 Singolarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.1.1 Classificazione delle singolarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.2 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

11 Serie di Laurent 31

11.1 Singolarità e sviluppi di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11.2 Come si calcola un residuo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12 Calcolo di integrali impropri 33

13 Trasformata di Laplace 34

13.1 La trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13.2 Proprietà della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13.3 Segnali e altre proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.3.1 Proprietà della trasformata nel caso f sia un segnale . . . . . . . . . . . . . . 35

13.3.2 Trasformata di un segnale periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.3.3 Trasformata della derivata di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.3.4 Trasformata del prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.3.5 Inversione della Trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

1. Successioni di Funzioni

1.1 Tipi di convergenza

ˆ Convergenza puntuale (f ) ∶ ⊆ →

Data una successione di funzioni definite in I e data f A I R:

n n∈N

→ =

f f puntualmente in A o lim f f se:

n n→∞ n

∀x =

lim f f (1.1)

n

n→∞

o equivalentemente:

∀x ∈ ∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > ∣f (x) − (x)∣ < (1.2)

A 0 ν f

N

x, x, n

Per dimostrare tale convergenza basta calcoare il limite citato.

ˆ Convergenza uniforme (f ) ∶ ⊆ →

Data una successione di funzioni definite in I e data f A I R:

n n∈N

→ → ∞f =

f f uniformemente in A o lim n f se:

n n

∀x ∈ ∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > ∣f (x) − (x)∣ < (1.3)

A 0 ν f

N

n

in altre parole se nella definizione precedente ν non dipende da x.

La convergenza uniforme implica quella puntuale ma non il viceversa. Per dimostrare tale

convergenza basta verificare che:

∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > <

0 ν g

N

n (1.4)

= = ∣f (x) − (x)∣

da cui lim g 0 dove g sup f

n n n

n→∞ x∈A

1.2 Teoremi sulla convergenza

Teorema sulla continuità del limite:

∎ (f ) ⊆

Sia una successione di funzioni continue definite in un intervallo I e

R

n n∈N

∶ → → in I.

f I una funzione tale che f f uniformemente

R n

→Allora f è continua

Teorema sull’inversione dei limiti:

∎ (f ) ⊆

Sia una successione di funzioni definite in un intervallo I e

R

n n∈N

∶ → →

f I una funzione tale che f f uniformemente in I.

R n

Supponiamo inoltre che ∀n ∈ (x), ∈

lim f x (1.5)

N∃ R

n 0

x→x 0

Allora esistono e coincidono i seguenti limiti:

( (x)) = ( (x))

lim lim f lim lim f (1.6)

n n

n→∞ x→x x→x n→∞

0 0

Teorema sul passaggio al limite sotto il segno di integrale*:

∎ (f ) = [a,

Sia una successione di funzioni continue definite in un intervallo I b] e

n n∈N

∶ → →

f I una funzione tale che f f uniformemente in I.

R n

Allora vale la seguente formula: b b

(x)dx = (x)dx

∫ ∫

lim f f (1.7)

n

n→∞ a a

2

∗ Dimostrazione: [a,

Essendo f limite di funzioni continue è continua in b] e quindi integrabile.

Vogliamo dimostrare che: b b

∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > ∣ (x)dx − (x)dx∣ <

∫ ∫

0 ν f f (1.8)

N

n

a a

→

Poichè f f uniformemente:

n ′ ′

∀ > ∃ν ∈ ∶ ∀n > = ∣f (x) − (x) <

0 ν g sup f (1.9)

N

n n

′ ′ x∈[a,b]

′ ′ >

> < si ottiene ‘∀n ν :

Quindi fissato un 0 , se scegliamo

′

b−a b

b

b ∣f (x) − (x)∣dx ≤

(x)dx∣ ≤

(x)dx −

∣ ∫

∫

∫ f

f

f n

n a

a

a (1.10)

′

≤ ∣f (x) − (x)∣(b − < (b − <

sup f a) a)

n

x∈[a,b]

Teorema sul passaggio al limite sotto il segno di derivata:

∎ = [a,

(f ) 1 definite in un intervallo I b] e

Sia una successione di funzioni di classe C

n n∈N

∶ → → in I.

f I una funzione tale che f f puntualmente

R n

′

Supponiamo che la successione f delle derivate converga uniformemente a una funzione g.

n

→

f f uniformemente in I ′ ′

(x) = (x)

n quindi vale: lim f f

Allora ′ = n→∞ n

f è derivabile e f g

1.3 Condizioni sufficienti per la convergenza

Teorema 1:

∎ (f ) = [a,

Sia una successione di funzioni continue definite in un intervallo I b] e

n n∈N

∶ → →

f I una funzione continua tale che f f puntualmente in I.

R n

Supponiamo inoltre che tale successione sia monotona crescente(o decrescente) rispetto ad

∈

n i.e.

N ∀x ∈ [a, (x) ≤ (x) (oppure ≥ (x))

b] f f f (1.11)

n n+1 n+1

→

Allora f f uniformemente in I

n

Teorema 2:

∎ (f ) = [a,

Sia una successione di funzioni definite in un intervallo I b] e

n n∈N

∶ → →

f I una funzione continua tale che f f puntualmente in I.

R n

Supponiamo inoltre che tale successione sia /underlinemonotona crescente(o decrescente)

rispetto ad x i.e.

∀n ∈ ≤ ⇒ (x ) ≤ (x ) (oppure (x ) ≥ (x ))

x x f f f f (1.12)

N 1 2 n 1 n 2 n 1 n 2

→

Allora f f uniformemente in I

n 3

2. Serie di funzioni

(f ) ⊆

Data una successione di funzioni definita in un intervallo I la successione delle somme

R,

n n∈N

parziali, definita come: n

(x) = (x) + (x) + + (x) = (x) = (x) + (x)

∑

S f f ... f f S f (2.1)

n 0 1 n i n−1 n

i=0

è chiamata serie di funzioni di termine generale f e si indica con:

n

∞ (x) = (x) + (x) + + (x) +

∑ f f f ... f ... (2.2)

n 0 1 n

n=0

2.1 Tipi di convergenza

ˆ Convergenza puntuale (x)

Data una successione di funzioni S definita in I, se:

n

∀x ∈ ⊆ (x) = < ∞ (2.3)

A I lim S S(x)

n

n→∞

(x)

la serie di funzioni di termine generale f converge puntualmente a S(x) in A e quest’ultimo

n

è detto insieme di convergenza puntuale(ICP), inoltre S(x) è la somma della serie ovvero:

∞ (x) =

∑ f S(x) (2.4)

n

n=0

ˆ Convergenza assoluta

Data una serie di funzioni , se: ∞

∀x ∈ ∣f (x)∣

∑

A converge (2.5)

n

n=0

Allora la serie converge assolutamente in x.

La convergenza assoluta implica quella puntuale ma non il viceversa.

ˆ Convergenza uniforme ∞ (x),

∑

Data una serie di funzioni f si dice che tale serie converge uniformemente a S(x)

n

n=0

(x)

in A se la successione S converge uniformemente a S(x) nel senso delle successioni.

n

La convergenza uniforme implica quella puntuale ma non il viceversa.

ˆ Convergenza totale

Data una serie di funzioni, se:

∃M ∶ ∀x ∈ ∀n ∈ ∣f (x)∣ ≤

A M (2.6)

N

n n n

∈

Allora la serie converge totalmente in x A.

La convergenza totale implica tutte le altre.

4

2.2 Teoremi sulla convergenza uniforme

Teorema sulla continuità della somma di una serie:

∎ (f ) ⊆ ∶ →

Sia una successione di funzioni continue definite in I e S I la somma della

R R

n n∈N

serie avente f come termine generale, i.e.

n ∞

= (x)

∑

S(x) f (2.7)

n

n=0

Supponiamo inoltre che tale serie converga uniformemente a S(x).

Allora S(x) è continua.

Teorema di integrazione per serie (o termine a termine)*:

∎ (f ) ⊆ ∶ →

Sia una successione di funzioni continue definite in I e S I la somma della

R R

n n∈N

serie avente f come termine generale, i.e.

n ∞

= (x)

∑

S(x) f (2.8)

n

n=0 a S(x).

Supponiamo inoltre che tale serie converga uniformemente

Allora vale la seguente formula: ∞ b

b (x)dx =

∑ ∫

∫ S(x)dx

f (2.9)

n a

a

n=0

∗ Dimostrazione: (x) = (x)

kn=0

∑

Essendo f limite uniforme della successione delle somme parziali S f (che

k k

[a,

sono continue), è continua in b] e quindi integrabile.

Quindi abbiamo che:

∞ k k

b b b

(x)dx = (x)dx = (x)dx =

∑ ∑

∑ ∫

∫ ∫

f lim f lim f

n n n

k→∞ k→∞

a a a

n=0 n=0

n=0 (2.10)

b b b

= (x)dx = (x)dx =

∫ ∫ ∫

lim S lim S S(x)dx

k k

k→∞ k→∞

a a a

Dove si è usato il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Teorema di derivazione per serie (o termine a termine):

∎ (f ) ⊆ ∶ →

1

Sia una successione di funzioni di classe C definite in I e S I la somma

R R

n n∈N

della serie avente f come termine generale, i.e.

n ∞

= (x)

∑

S(x) f (2.11)

n

n=0

∞ ′ (x)

∑

Supponiamo che la serie derivata f converga uniformemente.

n=0 n

1

Allora S è di classe C e vale: ∞

′ ′

(x) = (x)

∑

S f (2.12)

n

n=0

5

3. Serie di potenze

=

Data a con k 0, 1, 2, ... una successione di numeri reali, la serie di funzioni:

k = (x) = (x − ) = + (x − ) + + (x − ) +

∑ ∑ k k

S(x) f a x a a x ... a x ... (3.1)

k k 0 0 1 0 k 0

k≥0 k≥0

è detta serie di potenze centrata in x .

0 =

Consideriamo da ora in poi il caso in cui x 0 poichè il caso generale è del tutto analogo effettuando

0

una sostituzione.

3.1 Raggio di convergenza ∀k ≥ (0) = =

Osserviamo che data una serie di potenze, 1, si ha f 0 e quindi S(0) a , perciò la serie

k 0

=

converge sempre in x 0 e quindi l’insieme di convergenza puntuale è sempre non vuoto.

In realtà si dimostra che l’ICP è un intorno di 0 con raggio generalizzato nullo, infinito o finito.

Tale raggio prende il nome di raggio di convergenza ed è definito come:

= = {x ∈ ∶ ∑ k

ρ sup X, dove X a x converge} (3.2)

R k

k≥0

∈ → ≥

Tale estremo superiore esiste sempre e siccome 0 X ρ 0, e:

= ⇔ = {0} Ð→ =

ˆ ρ 0 X la serie converge per x 0;

= +∞ ⇔ = Ð→ ∀x ∈

ˆ ρ X la serie converge

R R;

< < +∞ ⇔ = {x ∈ ∶ ∀∣x∣ < Ð→ ∣x∣ <

∑

ˆ k

0 ρ X ρ a x converge} la serie converge per ρ e non

R k

k≥0

∣x∣ >

converge per ρ.

< ∣x∣ <

Inoltre se 0 ρ, la serie di potenze converge assolutamente per ρ e totalmente in ogni intervallo

[−a, ⊂ (−ρ,

chiuso e limitato a] ρ). = −ρ =

Non si può dire nulla sulla convergenza nei punti x e x ρ.

3.1.1 Criteri per la ricerca del raggio di convergenza

ˆ Criterio di Cauchy-Hadamard

Data una serie di potenze, se: ⎧ +∞ =

⎪ ` 0

⎪

⎪

⎪

1 = ∶ = ⎨

∃ ∣a ∣ < < +∞

1

` Allora ρ (3.3)

lim 0 `

k ⎪

k `

⎪

k→∞ ⎪

⎪ = +∞

0 `

⎩

ˆ Criterio di d’Alembert ≠

Data una serie di potenze, se a 0 definitivamente e se:

k ⎧ +∞ =

⎪ ` 0

⎪

⎪

⎪

a k+1

∣ ∣

∃ = ∶ = ⎨ < < +∞

1

lim ` Allora ρ (3.4)

0 `

⎪ `

⎪

a

k→∞ ⎪

k ⎪ = +∞

0 `

⎩

6

3.2 Serie derivata e integrata

Data una serie di potenze, si definiscono rispettivamente serie derivata e serie integrata le serie:

a k

∑ ∑

k−1 k+1

ka x e x (3.5)

k +

k 1

k≥0 k≥0

Teorema:

∎ Una serie di potenze ha lo stesso raggio di convergenza della sua serie derivata e integrata.

4. Serie di Taylor

∶ (a, → ∈ (a,

Data una funzione f b) e x b), se esiste una serie di potenze tale che:

R 0

(x) = (x − )

∑ k

f a x (4.1)

k 0

k≥0 (a,

si dice che f è sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale x in b).

0

Teorema sull’unicità dello sviluppo in serie di potenze*:

∎ (x)

Data una serie di potenze con raggio di convergenza ρ, sia f la sua somma, i.e.

(x − ) ∀x ∶ ∣x − ∣ <

(x) = ∑ k

a x x ρ (4.2)

f k 0 0

k≥0

∞

(x) ∈ ∣x − ∣ < e inoltre:

Allora f C (infinitamente derivabile) per x ρ

0 (k) (x )

f

(m) 0

∀m ∈ (x) = − − + (x − ) = ∀k ∈

∑ k−m

f k(k 1)...(k m 1)a x e a

N N

k 0 k k!

k≥0 (4.3)

quindi f è sviluppabile in serie di potenze nella forma:

(k) (x )

f 0

(x) = (x − ) ∀x ∶ ∣x − ∣ <

∑ k

f (4.4)

x x ρ

0 0

k!

k≥0

Quest’ultima prende il nome di serie di Taylor di f e i coefficienti a sono detti coefficienti

k

di Taylor.

=

Se x x la serie prende il nome di serie di Mac Laurin.

0

∗ Dimostrazione:

Per la prima parte basta applicare m volte il t