Teoremi di Analisi Complessa - Appunti

Teorema di Cauchy-Riemann

Sia f: Ω ⊂ ℂ ⟶ ℂ allora f è olomorfa in un punto z₀ ∈ Ω se:

z = x + iy ⟹ f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

⇒ u,v ∈ C¹(Ω) e valgono U_x(x₀,y₀) = V_y(x₀,y₀) oppure U_y(x₀,y₀) = −V_x(x₀,y₀) o...

dimostrazione: Supponendo f olomorfa in z₀, allora deve avere derivata uguale in tutte le direzioni:

Lungo Δx:

lim _Δx→0 [(U(x₀ + Δx, y₀) − U(x₀, y₀)) / Δx = U_x(x₀,y₀) + iV_x(x₀,y₀)]

Lungo Δy:

lim _Δy→0 [(U(x₀, y₀ + Δy) − U(x₀, y₀)) / Δy]

Equagliando parte reale e immaginaria delle derivate calcolate si ha:

{ U_x(x₀,y₀) = V_y(x₀,y₀)

U_y(x₀,y₀) = −V_x(x₀,y₀) }

Teorema di Cauchy-Goursat

Sia f: (Ω∪∂Ω) ⊂ ℂ ⟶ ℂ olomorfa con Γ curva di Jordan regolare nonché frontiera di Ω, allora:

∮_Γ f(z) dz = 0

dimostrazione: Dal teorema di Green:

∮_Γ f(z)dz = ∬_Ω(∂v/∂x − ∂u/∂y)dxdy + ∬_Ω(∂u/∂x − ∂v/∂y)dxdy

...dalle condizioni Cauchy

Teorema di Morera

Sia f: Ω ⊂ ℂ ⟶ ℂ continua in Ω aperto, se vale ∮_Γ f(z)dz = 0 per ∀ curva di Jordan interna a Ω, allora f è olomorfa.

Teorema di Cauchy-Riemann

Sia \( f:\Omega \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)

\[\begin{align*}z & = x + iy \\f(z) & = u(x,y) + iv(x,y)\end{align*}\]

allora \( f \) è olomorfa in un punto \( z_0 \in \Sigma \) se:

\[\begin{align*}u,v \in C^1(\Sigma) & \text{ e valgono } \\u_x(x_0,y_0) & = v_y(x_0,y_0) \\u_y(x_0,y_0) & = -v_x(x_0,y_0)\end{align*}\]

oppure \(\frac{df}{dx} = i \frac{df}{dy} \)

dimostrazione: Supponendo \( f \) olomorfa in \( z_0 \), allora deve avere derivata uguale in tutte le direzioni:

Lungo \(\Delta x\):

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0, y_0) + i [v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0, y_0)]}{\Delta x} = u_x(x_0, y_0) + i v_x(x_0, y_0)\]

Lungo \(\Delta y\):

\[\lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(x_0, y_0 + \Delta y) - u(x_0, y_0)}{\Delta y} + i \frac{v(x_0, y_0 + \Delta y) - v(x_0, y_0)}{\Delta y} = u_y(x_0, y_0) + i v_y(x_0, y_0)\]

Uguagliando parte reale e immaginaria delle derivate calcolate si ha:

\[\begin{cases}u_x(x_0, y_0) = v_y(x_0, y_0) \\u_y(x_0, y_0) = -v_x(x_0, y_0)\end{cases}\]

Teorema di Cauchy-Goursat

Sia \( f: (\Sigma \cup \Gamma) \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) olomorfa, con \( \Gamma \) curva di Jordan regolare nonché frontiera di \( \Sigma \), allora:

\[\oint_{\Gamma} f(z)dz = 0\]

dimostrazione: Dal teorema di Green:

\[\begin{align*}\iint_{\Sigma} (f(z)dz) / idx = \iint_{\Sigma} (-v_x-u_y)dx + u dy + i \iint_{\Sigma} (u_x-v_y)dx + v dy\end{align*}\]

ma dalle condizioni di Cauchy:

\[f \text{ è } z_0 \text{-ultramod}\]

Teorema di Morera

Sia \( f: \Omega \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) continua in \( \Omega \) aperto, se vale \(\oint_{\Gamma} f(z)dz = 0\) \( \forall \Gamma \) curva di Jordan interna a \( \Omega \), allora \( f \) è olomorfa.

FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY

Sia \( f: (\Sigma \cup \{ z_0 \})U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, dato un punto interno \( z_0 \in \Sigma \), allora:

\( f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

Dimostrazione:

Dal teorema di Cauchy-Goursat:

\( \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = 0 \) ⇒ \( \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi + \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

Parametrizzando γ : \( \xi = z_0 + \epsilon e^{i \theta} \)

si ha:

• \( \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = \int_{0}^{2 \pi} f(z_0 + \epsilon e^{i \theta}) i \epsilon e^{i \theta} d\theta \)
• e quindi: \( \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \int_{\gamma_{\epsilon}} = 2 \pi i f(z_0) \) per \( \epsilon \to 0 \)

\( \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = 2 \pi i f(z_0) \) ⇒ \( f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY GENERALIZZATA

Sia \( f: (\Sigma \cup \{ z_0 \})U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, dato un punto interno \( z_0 \in \Sigma \), allora:

\( f^{(k)}(z_0) = \frac{k!}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{k+1}} d\xi \)

Dimostrazione:

• Essendo \( f \) olomorfa, allora anche tutte le sue derivate.
• si ha: \( f'(z_0) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z} d\xi \)
• derivando nuovamente si ottiene: \( \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{k+1}} d\xi \)

SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR

Sia \( f: (\Sigma \cup \{ z_0 \})U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, fissato \( z_0 \in \Sigma \) un suo interno contenuto in Ω, allora \(\forall z \in B_r(z_0)\) vale:

\( f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^{n} = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \frac{f''(z_0)}{2!}(z - z_0)^2 + \ldots \)

Dimostrazione:

• Consideriamo la formula integrale di Cauchy:
• \( f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z} d\xi = \frac{f(z_0)}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{1}{\xi - z} d\xi \)
• da cui: si ottiene l'espansione di Taylor.

possiamo esprimere ^f(ξ) _f

SVILUPPO IN SERIE DI LAURENT

Sia f una funzione olomorfa in un dominio Da connessione multipla, es. una corona circolareD=... c di frontiera ...

... C_K(z-z₀)^K dove C_K=

1. addendo:

2. addendo:

Unendo i due addendi si ottiene: f(z)=

Teorema dei residui

Sia f:(Ω∪M)⊂ℂ→ℂ olomorfa in (Ω∪M) tranne in un numero finito di punti z₁∈Ω, i=1,...,n, che sono singolarità isolate per f, allora:

∮_∂Ωf(ξ)dξ=2πi∑_k=1ⁿRes_z=zkf(z)

Dimostrazione: Siano z_i ∈ Ω singolarità isolate per f negli intorni:

c_i={ξ∈ℂ||z_i−ξ|≤ρ/2, i=1,...,n

di frontiera z_i: ∂z_i={ξ∈ℂ||z_i−ξ|=ρ/2, i=1,...,n

allora f risolta olomorfa in (Ω∪M−(c₁∪c₂∪...∪c_n)), cioè in dominio

con frontiera complessa in M e quindi vale Cauchy-Goursat:

∫_∂Ωf(ξ)dξ = ∫_∂z₁f(ξ)dξ + ∫_∂z₂f(ξ)dξ + ... + ∫_∂znf(ξ) dξ + ... = 0

→ ∮_∂Ωf(ξ)dξ ∑_k=1ⁿ ∫_∂zkf(ξ)dξ dove ∫_∂zkf(ξ)dξ = 2πi Res_z=zkf(z)

e quindi ∮_∂Ωf(ξ)dξ=2πi∑_k=1ⁿRes_z=zkf(z)

Estensione Th. Residui (singolarità anche sulla frontiera)

Sia f:(Ω∪M)⊂ℂ→ℂ olomorfa in (Ω∪∂Ω) tranne che in:

• zk poli, k=1-n contenuti in Ω,
• zk poli semplici, k=1-m posti sulla frontiera M. allora:
• v.p. of ∮_∂Ωf(ξ)dξ=2πi∑_k=1ⁿRes_z=zkf(z) + 1/2∑_k=1^mRes_z=zkf(z)

Estensione Th. residui (integrale improprio in senso v.p. reale)

Consideriamo l'integrale ∫_−∞^∞f(x)dx = ∫_−∞^∞P(x)/D(x)dx con P(x) polinomi di grado m≥0 D(x) polinomi di grado n≥0

1. deg(D(x)≥deg(P(x)+2
2. detta f(z)=P(z)/D(z) f(x) estesa al piano complesso, allora

• zk poli, k=1-n con Imzk ≠ 0,
• zk poli semplici, k = 1 - s con Imzk = 0, allora:
• v.p. = ∫_−∞^∞f(x)dx == 2πi∑Res_z=zkf(z) + 1/2∑Res_z=zkf(z)

Lemma di Jordan

Consideriamo l'integrale ∫_−∞^∞P(x)/Q(x)dx con f:^−∞_∞ f=>P(x)dx con: P(x), Q(x) polinomi di grado p, a∈ℝ,a≠0,deg(P(x)→

1. deg(Q(x))

detta f(z)=P(z)/Q(z) f(x) estesa al piano complesso, allora

• zk poli, k=1-n con Imzk ≠ 0,
• zk poli semplici, k = 1 - s con Imzk = 0, allora:
• P(x) / Q(x) = 2πi∑_{Resz=zkf(z) + 1/2∑Resz=zkf(z) se a>0}

∫_−∞^∞f(x)dx = 2πi ∑Res_z=zkf(z) + 1/2 ∑Res_z=zkf(z) se a>0

Trasformata di Fourier & Proprietà

Sia f: R → C una funzione tale che f ∈ L₁(R), cioè ||f||₁ = ∫_-∞^+∞ |f(t)|dt < +∞, allora f è trasformabile secondo Fourier con:

Trasformata:

ɣ_f(f(t)) = f̂(x) = ∫_-∞^+∞ f(t) e^-i2πxt dt

Anti-trasformata:

ɣ_f^-1(f̂(x)) = f(t) = ∫_-∞^+∞ f̂(x) e^i2πxt dx

Proprietà:

1. Linearità: ɣ_f(α₁f₁(t) + α₂f₂(t))(x) = α₁ɣ_f(f₁(t))(x) + α₂ɣ_f(f₂(t))(x)

   dim: ∫_-∞^+∞ (α₁f₁(t) + α₂f₂(t)) e^-i2πxt dt = α₁ ∫_-∞^+∞ f₁(t) e^-i2πxt dt + α₂ ∫_-∞^+∞ f₂(t) e^-i2πxt dt

2. Traslazione: ɣ_f(f(t - t₀))(x) = e^-i2πxt₀ f̂(x)

   dim: ∫_-∞^+∞ f(t - t₀) e^-i2πxt dt = ∫_{s = -∞}^{s = +∞} f(s) e^{-i2πx(s + t₀)} ds = f̂(s) e^-i2πxt₀

3. Modulazione: ɣ_f(f(t)) e^i2πy₀t (x) = f̂(x - y₀)

   dim: ∫_-∞^+∞ f(t) e^i2πy₀t e^-i2πxt dt = ∫_-∞^+∞ f(t) e^{-i2π(x - y₀) t} dt = f̂(x - y₀)

4. Scala: ɣ_f(f(t/a))(x) = |a| ɣ_f(f(t))(ax), a∈R*

   dim: ∫_-∞^+∞ f(t/a) e^-i2πxt dt =∫_-∞^+∞ f(ξ) e^-i2πxξa dξ = a∫_-∞^+∞ f(ξ) e^-i2πaξ dξ= |a| ɣ_f(f(t))(ax)

5. Coniugata: ɣ_f(f̅(t)) = ɣ̅_f(f(t))(−x)

   dim: ∫_-∞^+∞ f(t)e^-i2πxt dt = f(t) e^i2πxt dt = ɣ̅_f(f(t))(−x)

6. Se f è pari → f̂ è pari, se f è dispari → f̂ è dispari

   Se f è pari e reale → f̂ è reale, se f̂ è dispari e reale → f̂ è imm. pura

   dim: f̂(x) = ∫_-∞^+∞ f(t) e^-i2πxt dt = ∫_-∞^+∞ f(t)(cos2πxt - isin2πxt)dt =

   ∫_−∞^+∞ f(t) cos2πxt dt - i ∫_−∞^+∞ f(t)sin2πxt dt

   ↳ P = pari, D = dispari

   Se f è pari: P - P - D =

   Se f è dispari: D - D - P = 0 ↔

   ↳ reale

   ↳ immaginaria pura

7. Convoluzione: ɣ_f(f(t) * g(t))(x) = ɣ_f(f(t))(x) ɣ_f(g(t))(x)

8. Derivazione: f^(k)(t) → ɣ_f(f^(k)(t))(x) = (−2πi)^k x^k ɣ_f(f(t))(x)

   ɣ_f(f^(k)(t) = ɣ_f((2πi)x)^k ɣ_f(f(t)(x)))

9. Passaggio di trasformata:

   ∫_−∞^+∞ f(ξ)ĝ(ξ)dξ = ∫_−∞^+∞ ̂ f(ξ)g(ξ)dξ

Trasformata di Laplace & Proprietà

Sia f: R → C con f(t) = 0 ∀t < 0 e ∫₀^b|f(t)|dt < +∞ con 'a,b∈[0,+∞) e sia s ∈ C. Se f(t) è 'δ-trasformabile s ∈ S_o (cioè se soddisfa tutte le ipotesi precedenti), allora f(t) è 'δ-trasformabile ∀s ∈ C | Re(s) > Re(s_o) con trasformata di Laplace:

ℒ{f(t)}(s) = ∫₀^+∞f(t)e^-stdt

L'insieme degli s ∈ C per cui f(t) risulta δ-trasformabile è un semipiano destro di C con estremo inferiore il numero reale ρ detto "ascissa di convergenza":

ρ = inf{ Re(s) / ∫₀^+∞|f(t)e^-st|dt < +∞ }

da cui se Re(s) > ρ f(t) è sicuramente δ-trasformabile. Si definisce "ascissa di assoluta convergenza" il numero reale ρ^* = inf{ Re(s) / f è assolutamente δ-trasf. in s o / ∫₀^+∞|f(t)e^-st|dt < +∞ }

Una condizione sufficiente per la δ-trasformabilità è che la funzione f(t) sia "originale", ovvero che soddisfi le ipotesi già elencate e in più sia a crescita esponenziale |f(t)| < Me^σ_οt

Proprietà:

1. Linearità: ℒ(α₁f₁(t)+α₂f₂(t))(s) = α₁ℒ(f₁(t))(s) + α₂ℒ(f₂(t))(s)

   Hp: α₁,α₂ ∈ C, f₁,f₂ ∈ L_loc[0,+∞), f ≠ 0 ∀t < o; f₁,f₂ ≠ 0 ∀t < o.

   f₁ e f₂ δ-trasformabili in Re(s) > μαχ{ρ₁,ρ₂}

2. Traslazione: ℒ{f(t-a)u(t-a)}(s) = e^-asℒ{f(t)}(s)

   Hp: a > 0; f ∈ L_loc[0,+∞); f = 0 ∀t < 0; f ∈ L δ-trasformabile

3. Traslazione in s: ℒ{f(t)}(s-s₀) = φ_{e^st f(t)}(s)

   Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≡ 0 ∀t < 0; f ∈ δ-trasformabile in Re(s) > Re(s_o)

4. Scala: ℒ{f(t/a)}(s) = aℒ{f(t)}(as)

   Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≡ 0 ∀t < 0; f è δ-trasformabile in Re(s) > ρ/a,

5. Derivata n-esima della Trasformata:

   Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≢ 0 ∀t < 0; f ≡ δ-trasformabile in Re(s) > ρ.

   Th: ℒ{f(t)}(s) è oloformale in Re(s) > ρ con:

   xⁿℒ{f(t)}(s) = (-1)ⁿℒ{tⁿf(t)}(s), n≥1.

6. Integrale:

   Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≢ 0 ∀t < 0; f ≡ δ-trasform. in Re(s) > ρ

   Th: ∫₀^tf(x)dx è assolutamente δ-trasformabile in Re(s) > μαχ{0,ρ} con:

   ℒ{∫₀^tf(x)dx}(s) = 1/s ℒ{f(t)}(s)