Teoremi di Analisi Complessa - Appunti

Teorema di Cauchy-Riemann

Sia f: Ω ⊂ ℂ ⟶ ℂ allora f è olomorfa in un punto z₀ ∈ Ω se:

z = x + iy ⟹ f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ⇒ u,v ∈ C¹(Ω) e valgono u_x(x₀,y₀) = v_y(x₀,y₀) oppure u_y(x₀,y₀) = −v_x(x₀,y₀) o...

Dimostrazione

Supponendo f olomorfa in z₀, allora deve avere derivata uguale in tutte le direzioni:

Lungo Δx: lim_Δx→0 [(U(x₀ + Δx, y₀) − U(x₀, y₀)) / Δx = U_x(x₀,y₀) + iV_x(x₀,y₀)]

Lungo Δy: lim_Δy→0 [(U(x₀, y₀ + Δy) − U(x₀, y₀)) / Δy]

Uguagliando parte reale e immaginaria delle derivate calcolate si ha:

• U_x(x₀,y₀) = V_y(x₀,y₀)
• U_y(x₀,y₀) = −V_x(x₀,y₀)

Teorema di Cauchy-Goursat

Sia f: (Ω∪∂Ω) ⊂ ℂ ⟶ ℂ olomorfa con Γ curva di Jordan regolare nonché frontiera di Ω, allora:

∮_Γ f(z) dz = 0

Dimostrazione

Dal teorema di Green: ∮_Γ f(z)dz = ∬_Ω(∂v/∂x − ∂u/∂y)dxdy + ∬_Ω(∂u/∂x − ∂v/∂y)dxdy... dalle condizioni di Cauchy

Teorema di Morera

Sia f: Ω ⊂ ℂ ⟶ ℂ continua in Ω aperto, se vale ∮_Γ f(z)dz = 0 per ∀ curva di Jordan interna a Ω, allora f è olomorfa.

Teorema di Cauchy-Riemann (Formulazione alternativa)

Sia \( f:\Omega \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)

\[ z = x + iy \]

\[ f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \]

allora \( f \) è olomorfa in un punto \( z_0 \in \Sigma \) se:

\[\begin{align*} u,v \in C^1(\Sigma) &\text{ e valgono } \\ u_x(x_0,y_0) &= v_y(x_0,y_0) \\ u_y(x_0,y_0) &= -v_x(x_0,y_0) \end{align*}\]

oppure \(\frac{df}{dx} = i \frac{df}{dy} \)

Dimostrazione

Supponendo \( f \) olomorfa in \( z_0 \), allora deve avere derivata uguale in tutte le direzioni:

Lungo \(\Delta x\):

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0, y_0) + i [v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0, y_0)]}{\Delta x} = u_x(x_0, y_0) + i v_x(x_0, y_0)\]

Lungo \(\Delta y\):

\[\lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(x_0, y_0 + \Delta y) - u(x_0, y_0)}{\Delta y} + i \frac{v(x_0, y_0 + \Delta y) - v(x_0, y_0)}{\Delta y} = u_y(x_0, y_0) + i v_y(x_0, y_0)\]

Uguagliando parte reale e immaginaria delle derivate calcolate si ha:

• u_x(x₀, y₀) = v_y(x₀, y₀)
• u_y(x₀, y₀) = -v_x(x₀, y₀)

Teorema di Cauchy-Goursat (Formulazione alternativa)

Sia \( f: (\Sigma \cup \Gamma) \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) olomorfa, con \( \Gamma \) curva di Jordan regolare nonché frontiera di \( \Sigma \), allora:

\[\oint_{\Gamma} f(z)dz = 0\]

Dimostrazione

Dal teorema di Green:

\[\begin{align*} \iint_{\Sigma} (f(z)dz) / idx = \iint_{\Sigma} (-v_x-u_y)dx + u dy + i \iint_{\Sigma} (u_x-v_y)dx + v dy \end{align*}\]

ma dalle condizioni di Cauchy: \[f \text{ è } z_0 \text{-ultramod}\]

Teorema di Morera (Formulazione alternativa)

Sia \( f: \Omega \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) continua in \( \Omega \) aperto, se vale \(\oint_{\Gamma} f(z)dz = 0\) \( \forall \Gamma \) curva di Jordan interna a \( \Omega \), allora \( f \) è olomorfa.

Formula integrale di Cauchy

Sia \( f: (\Sigma \cup \{ z_0 \})U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, dato un punto interno \( z_0 \in \Sigma \), allora:

\( f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

Dimostrazione

Dal teorema di Cauchy-Goursat:

\( \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = 0 \) ⇒ \( \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi + \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

Parametrizzando γ : \( \xi = z_0 + \epsilon e^{i \theta} \) si ha:

\( \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = \int_{0}^{2 \pi} f(z_0 + \epsilon e^{i \theta}) i \epsilon e^{i \theta} d\theta \)

e quindi: \( \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \int_{\gamma_{\epsilon}} = 2 \pi i f(z_0) \) per \( \epsilon \to 0 \)

\( \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = 2 \pi i f(z_0) \) ⇒ \( f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

Formula integrale di Cauchy generalizzata

Sia \( f: (\Sigma \cup \{ z_0 \})U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, dato un punto interno \( z_0 \in \Sigma \), allora:

\( f^{(k)}(z_0) = \frac{k!}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{k+1}} d\xi \)

Dimostrazione

Essendo \( f \) olomorfa, allora anche tutte le sue derivate. Si ha:

\( f'(z_0) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z} d\xi \)

Derivando nuovamente si ottiene: \( \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{k+1}} d\xi \)

Sviluppo in serie di Taylor

Sia \( f: (\Sigma \cup \{ z_0 \})U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, fissato \( z_0 \in \Sigma \) un suo interno contenuto in Ω, allora \(\forall z \in B_r(z_0)\) vale:

\( f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^{n} = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \frac{f''(z_0)}{2!}(z - z_0)^2 + \ldots \)

Dimostrazione

Consideriamo la formula integrale di Cauchy:

\( f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{f(\xi)}{\xi - z} d\xi = \frac{f(z_0)}{2 \pi i} \int_{\partial \Sigma} \frac{1}{\xi - z} d\xi \)

da cui si ottiene l'espansione di Taylor.

Sviluppo in serie di Laurent

Sia f una funzione olomorfa in un dominio D a connessione multipla, es. una corona circolare D=... c di frontiera ...... C_K(z-z₀)^K dove C_K=1.

Teorema dei residui

Sia f:(Ω∪M)⊂ℂ→ℂ olomorfa in (Ω∪M) tranne in un numero finito di punti z₁∈Ω, i=1,...,n, che sono singolarità isolate per f, allora:

∮_∂Ωf(ξ)dξ=2πi∑_k=1ⁿRes_z=zkf(z)

Dimostrazione

Siano z_i ∈ Ω singolarità isolate per f negli intorni:

c_i={ξ∈ℂ||z_i−ξ|≤ρ/2, i=1,...,n di frontiera z_i: ∂z_i={ξ∈ℂ||z_i−ξ|=ρ/2, i=1,...,n

allora f risolta olomorfa in (Ω∪M−(c₁∪c₂∪...∪c_n)), cioè in dominio con frontiera complessa in M e quindi vale Cauchy-Goursat:

∫_∂Ωf(ξ)dξ = ∫_∂z₁f(ξ)dξ + ∫_∂z₂f(ξ)dξ + ... + ∫_∂znf(ξ) dξ + ... = 0

→ ∮_∂Ωf(ξ)dξ ∑_k=1ⁿ ∫_∂zkf(ξ)dξ dove ∫_∂zkf(ξ)dξ = 2πi Res_z=zkf(z) e quindi ∮_∂Ωf(ξ)dξ=2πi∑_k=1ⁿRes_z=zkf(z)

Estensione Th. Residui (singolarità anche sulla frontiera)

Sia f:(Ω∪M)⊂ℂ→ℂ olomorfa in (Ω∪∂Ω) tranne che in:

zk poli, k=1-n contenuti in Ω,

zk poli semplici, k=1-m posti sulla frontiera M. allora:

v.p. of ∮_∂Ωf(ξ)dξ=2πi∑_k=1ⁿRes_z=zkf(z) + 1/2∑_k=1^mRes_z=zkf(z)

Estensione Th. residui (integrale improprio in senso v.p. reale)

Consideriamo l'integrale ∫_−∞^∞f(x)dx = ∫_−∞^∞P(x)/D(x)dx con P(x) polinomi di grado m≥0 D(x) polinomi di grado n≥0

1. deg(D(x)≥deg(P(x)+2 detta f(z)=P(z)/D(z) f(x) estesa al piano complesso, allora
2. zk poli, k=1-n con Imzk ≠ 0,
3. zk poli semplici, k = 1 - s con Imzk = 0, allora:

v.p. = ∫_−∞^∞f(x)dx == 2πi∑Res_z=zkf(z) + 1/2∑Res_z=zkf(z)

Lemma di Jordan

Consideriamo l'integrale ∫_−∞^∞P(x)/Q(x)dx con f:

^−∞_∞ f=>P(x)dx con: P(x), Q(x) polinomi di grado p, a∈ℝ,a≠0,deg(P(x)→

deg(Q(x))

detta f(z)=P(z)/Q(z) f(x) estesa al piano complesso, allora:

zk poli, k=1-n con Imzk ≠ 0,

zk poli semplici, k = 1 - s con Imzk = 0, allora:

P(x) / Q(x) = 2πi∑_{Resz=zkf(z) + 1/2∑Resz=zkf(z) se a>0}∫_−∞^∞f(x)dx = 2πi ∑Res_z=zkf(z) + 1/2 ∑Res_z=zkf(z) se a>0

Trasformata di Fourier & Proprietà

Sia f: R → C una funzione tale che f ∈ L₁(R), cioè ||f||₁ = ∫_-∞^+∞ |f(t)|dt Trasformata:

ɣ_f(f(t)) = f̂(x) = ∫_-∞^+∞ f(t) e^-i2πxt dt

Anti-trasformata:

ɣ_f^-1(f̂(x)) = f(t) = ∫_-∞^+∞ f̂(x) e^i2πxt dx

Proprietà

1. Linearità: ɣ_f(α₁f₁(t) + α₂f₂(t))(x) = α₁ɣ_f(f₁(t))(x) + α₂ɣ_f(f₂(t))(x)
2. Dim: ∫_-∞^+∞ (α₁f₁(t) + α₂f₂(t)) e^-i2πxt dt = α₁ ∫_-∞^+∞ f₁(t) e^-i2πxt dt + α₂ ∫_-∞^+∞ f₂(t) e^-i2πxt dt
3. Traslazione: ɣ_f(f(t - t₀))(x) = e^-i2πxt₀ f̂(x)
4. Dim: ∫_-∞^+∞ f(t - t₀) e^-i2πxt dt = ∫_{s = -∞}^{s = +∞} f(s) e^{-i2πx(s + t₀)} ds = f̂(s) e^-i2πxt₀
5. Modulazione: ɣ_f(f(t)) e^i2πy₀t (x) = f̂(x - y₀)
6. Dim: ∫_-∞^+∞ f(t) e^i2πy₀t e^-i2πxt dt = ∫_-∞^+∞ f(t) e^{-i2π(x - y₀) t} dt = f̂(x - y₀)
7. Scala: ɣ_f(f(t/a))(x) = |a| ɣ_f(f(t))(ax), a∈R*
8. Dim: ∫_-∞^+∞ f(t/a) e^-i2πxt dt =∫_-∞^+∞ f(ξ) e^-i2πxξa dξ = a∫_-∞^+∞ f(ξ) e^-i2πaξ dξ= |a| ɣ_f(f(t))(ax)
9. Coniugata: ɣ_f(f̅(t)) = ɣ̅_f(f(t))(−x)
10. Dim: ∫_-∞^+∞ f(t)e^-i2πxt dt = f(t) e^i2πxt dt = ɣ̅_f(f(t))(−x)
11. Se f è pari → f̂ è pari, se f è dispari → f̂ è dispari
12. Se f è pari e reale → f̂ è reale, se f̂ è dispari e reale → f̂ è imm. pura
13. Dim: f̂(x) = ∫_-∞^+∞ f(t) e^-i2πxt dt = ∫_-∞^+∞ f(t)(cos2πxt - isin2πxt)dt =∫_−∞^+∞ f(t) cos2πxt dt - i ∫_−∞^+∞ f(t)sin2πxt dt↳ P = pari, D = dispari
14. Se f è pari: P - P - D = 0 ↔ ↳ reale
15. Se f è dispari: D - D - P = 0 ↔ ↳ immaginaria pura
16. Convoluzione: ɣ_f(f(t) * g(t))(x) = ɣ_f(f(t))(x) ɣ_f(g(t))(x)
17. Derivazione: f^(k)(t) → ɣ_f(f^(k)(t))(x) = (−2πi)^k x^k ɣ_f(f(t))(x)
18. ɣ_f(f^(k)(t) = ɣ_f((2πi)x)^k ɣ_f(f(t)(x)))
19. Passaggio di trasformata: ∫_−∞^+∞ f(ξ)ĝ(ξ)dξ = ∫_−∞^+∞ ̂ f(ξ)g(ξ)dξ

Trasformata di Laplace & Proprietà

Sia f: R → C con f(t) = 0 ∀t 0^b|f(t)|dt o (cioè se soddisfa tutte le ipotesi precedenti), allora f(t) è 'δ-trasformabile ∀s ∈ C | Re(s) > Re(s_o) con trasformata di Laplace:

ℒ{f(t)}(s) = ∫₀^+∞f(t)e^-stdt

L'insieme degli s ∈ C per cui f(t) risulta δ-trasformabile è un semipiano destro di C con estremo inferiore il numero reale ρ detto "ascissa di convergenza":

ρ = inf{ Re(s) / ∫₀^+∞|f(t)e^-st|dt da cui se Re(s) > ρ f(t) è sicuramente δ-trasformabile.

Si definisce "ascissa di assoluta convergenza" il numero reale ρ^* = inf{ Re(s) / f è assolutamente δ-trasf. in s o / ∫₀^+∞|f(t)e^-st|dt

Una condizione sufficiente per la δ-trasformabilità è che la funzione f(t) sia "originale", ovvero che soddisfi le ipotesi già elencate e in più sia a crescita esponenziale |f(t)| σ_οt

Proprietà

1. Linearità: ℒ(α₁f₁(t)+α₂f₂(t))(s) = α₁ℒ(f₁(t))(s) + α₂ℒ(f₂(t))(s)
2. Hp: α₁,α₂ ∈ C, f₁,f₂ ∈ L_loc[0,+∞), f ≠ 0 ∀t 1,f₂ ≠ 0 ∀t f₁ e f₂ δ-trasformabili in Re(s) > μαχ{ρ₁,ρ₂}
3. Traslazione: ℒ{f(t-a)u(t-a)}(s) = e^-asℒ{f(t)}(s)
4. Hp: a > 0; f ∈ L_loc[0,+∞); f = 0 ∀t
5. Traslazione in s: ℒ{f(t)}(s-s₀) = φ_{e^st f(t)}(s)
6. Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≡ 0 ∀t Re(s_o)
7. Scala: ℒ{f(t/a)}(s) = aℒ{f(t)}(as)
8. Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≡ 0 ∀t ρ/a,
9. Derivata n-esima della Trasformata:
10. Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≢ 0 ∀t ρ. Th: ℒ{f(t)}(s) è oloformale in Re(s) > ρ con:
11. xⁿℒ{f(t)}(s) = (-1)ⁿℒ{tⁿf(t)}(s), n≥1.
12. Integrale:
13. Hp: f ∈ L_loc[0,+∞); f ≢ 0 ∀t ρ Th: ∫₀^tf(x)dx è assolutamente δ-trasformabile in Re(s) > μαχ{0,ρ} con:
14. ℒ{∫₀^tf(x)dx}(s) = 1/s ℒ{f(t)}(s)