Teoremi di Analisi Complessa - Appunti

Teorema di Cauchy-Riemann

Sia f: Ω ⊆ ℂ → ℂ allora f è olomorfa in un punto z₀ ∈ Ω se:

z ∈ ℂ ζ₀ = _{z = t2} x+iy u(x,y)+iv(x,y)

=> u,v ∈ ℂ (u,v) ∈ &Ω) e valgono: 5u_x(x₀,y₀) = V_y(x₀,y₀)

5v_x(x₀,y₀) = V_y(x₀,y₀)

oppure df = 1/ df

d x =1 dx

dimostrazione: Supponendo olomorfa in z₀, allora deve avere derivata uguale in tutte le direzioni:

Lungo Δx:

lim [u(x₀+Δx,y₀)+iV(x₀ + Δx y₀]

-[u(x₀,y₀)+iV (x₀y₀) ]

Δx→0 δx

__________________________>

lim [v(x₀,y₀)-iv(x₀,x₀)

-xv₀(x₀,y₀)+iy₀(x₀,y₀) ]

Lungo iΔy:

lim u(u-x(x₀,y₀) ) -iv(x₀,y₀)

+Sy₀(x₀,y₀)

Δy→0 iΔy

__________________________>

lim ++5(x₀,y₀) =

v⁰(x₀,y₀) -iv₀ (x₀y₀)

Equalitando parte reale e immaginaria le derivate calcolate si ha:

( u_x(x₀,y₀) = V₂ (x₀,y₀) V_x(x₀,y₀) = -u_y(x₀,y₀)⊑

Teorema di Cauchy-Goursat

Sia f: (Ω∪ ℂ⊇ &) ℂ→ℂ olomorfa con l’ curva di Jordan regolare

nonché frontiera di Ω allora:

∫f(z)_Cdz=0

dimostrazione: Dai teorema di Green:

∫f(z)dz= ∫v₂/^udx-vdq+Uq< y dx+udy+1/ _y² (V^-U²) dx dy +1/₂ (-V^x-U^x) dx dy +1/₂ (-V₂-U

ron dalle condizioni di Cauchy:

C/G = ν, U_x = v₄ ν, U_x = v_-ν4⊂ quindi V∫^{⊂2₁f(z)₂dz=0 ← ⊑}

Teorema di Morera

Sia f: Ω ⊆ ℂ → ℂ continua in Ω aperto, se vale ∫f(z)dz=0

∀ν curva di Jordan interna a Ω, allora f è olomorfa:

FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY

Sia \( f: (\Omega \cup \{\infty\}) \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, dato un punto interno \( z_0 \in \Omega \), allora:

\( f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

dimostrazione: Dal teorema di Cauchy-Goursat:

\( \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = 0 \Rightarrow \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

Parametrizzando \( \gamma: \begin{cases} x(t)=x_0 + r \cos t \\ y(t)=y_0 + r \sin t \end{cases} \) \( t \in [0, 2\pi] \)

e sostituendo: \( \xi = z_0 + \delta e^{it} \rightarrow d\xi = i\delta e^{it} dt \)

si ha:

\( \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = \oint f(z_0 + \delta e^{it}) \cdot (i \delta e^{it}) dt \)

e quindi:

\( \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi = 2\pi i f(z_0) \Rightarrow f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY GENERALIZZATA

Sia \( f: (\Omega \cup \{\infty\}) \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, dato un punto interno \( z_0 \in \Omega \), allora:

\( f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} d\xi \)

dimostrazione: Essendo \( f \) olomorfa, allora ammette derivata prima in tutte le direzioni; dato \( z = x + iy \), lungo la direzione \( \Delta x \) si ha:

\( f'(z_0) = \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)} d\xi = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f'(\xi_0)}{(\xi - z_0)} d\xi \)

derivando nuovamente si ottiene:

\( \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{2}} d\xi = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f''(\xi)}{(\xi - z_0)^{3}} d\xi \)

SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR

Sia \( f: (\Omega \cup \{\infty\}) \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfa, fissato \( z_0 \in \Omega \) un suo interno contenuto in \( B_r(z_0) \), allora \( \forall z \in B_r(z_0) \), vale:

\( f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n \)

dimostrazione: Consideriamo la formula integrale di Cauchy:

\( \int \frac{f(\xi)}{\xi - z_0} d\xi \)

TRASFORMATA DI LAPLACE & PROPRIETÀ

Sia f: ℝ⁺ → ℂ con T _∃0 ∀t>0 e f|_[a,+∞) cioè ^a∫_b|f(t)|dt<+∞ con a.b∈ℝ_-[0,+∞) e sia s∈ℂ. Se f(t) è L-trasformabile in s_o (cioè se sono soddisfatte tutte le ipotesi precedenti) allora f(t) è L-trasformabile ∀s∈ℂ (Re(s) > Re(s_o)), con trasformata di Laplace:

L{f(t)(s)}=∫₀^+∞f(t)e^-stdt

L'insieme degli s∈ℂ per cui f(t) risulta L-trasformabile è un semipiano destro di ℂ con estremo inferiore il numero reale p detto "ascissa di reale convergenza":

⁼inf_Re(s)⁄∫₀⁺|f(t)|e^-stdt<+∞

da cui se Re(s) > p f(t) è sicuramente L-trasformabile. Si definisce "ascissa di assoluta convergenza" il numero reale

^*=inf_Re(s)⁄f è assolutamente L-trasf.in s_o.

Una condizione sufficiente per la L-trasformabilità è che la funzione f(t) sia "originaria" ovvero che soddisfi le ipotesi già elencate e in più sia a crescita esponenziale |f(t)|≼_Me^st

PROPRIETÀ:

1. Linearitá: L{α₁f_1(t) + α₂f_2(t)}(s) = α¹L(f₁(t))(s) + α²L(f₂(t))(s)

   Hp: α₁α₂∈ℂ , ∀t,ℜ∈ℝ,+∞, ≠0 ∀t