Analisi matematica 2 centinaia di esercizi svolti

Estremi Liberi e Vincolati

1) f(x,y) = x⁴ - y⁴ + x²y + 2

∇f(P) = 0 ⇒ {fx = 4x³ - y = 0

{fy = x² - 4y³ = 0

⇒ {y = x³

{y = x}

⇒ x(x - 1) = 0

x = 0, x = ±1

I punti stazionari sono: (0,0), (1,1), (-1,-1)

H = |f_xx(P) f_xy(P)| = |f_xx(P) f_yy(P)| - f_xy²(P)

|f_yx(P)|

⇒ H = (12x)(12y) - (-1)² = 144x²y² - 16

H(0,0) = -16 < 0 è un punto di sella.

H(1,1) = 128 > 0, f_xx(1,1) = 12 > 0 è un punto da minimo assoluto.

H(-1,-1) = 128 > 0, f_xx(-1,-1) = 12 > 0 è un punto di minimo assoluto.

2) f(x,y) = x³ - 3xy² + y³

∇f(P) = 0 ⇒ {fx = 3x² - 3y² = 0

{fy = -6xy + 3y² = 0

⇒ 3x² = 3y² ⇒ x² = y²

⇒ 3y² = 2x

L'unica soluzione di questo sistema è il punto stazionario (0,0)

H = |f_xx(P) f_xy(P)| = |f_xx(P) f_yy(P)| - f_xy²(P)

|f_yx(P)

= 36x² - 36y²

H(0,0) = 0 nulla mi può dire uso la DEF troveremo un intervallo I(0) in cui

f(c1) - f(c2) ha segno costante, i cui segni: f(c1) > f(c2) è un max

f(c1) < f(c2) è un min

Quando studio il segno:

x³ - 3xy² + y³ ≥ 0 nell'interno dei punti su

f(0,y) = y³, lo possiamo solo ne y > 0, quindi f(ξ) = f(α) non ha segno costante.

concluso segno perché:

x³ > 0, x > 0, y = 0

⇒ y = 0 ↓

(0,0) è un punto di sella.

f(x,y) = x⁴ + (y - 1)²

Dom = Ω = ℝ²

∇f(P) = 0 ⇒ {4x³ = 0 2y(y - 1) = 0 ⇒ {x = 0 y = 1

L'unico punto stazionario è (0,1)

H = [ ]

• f_xx(P) f_xy(P)
• f_yx(P) f_yy(P)

f_xx(P) f_xy(P) f_yy(P) f_xx(P) = (12x)(2) = 24x

H(0,1) = 0

Manca al più dire un x non a due nulla, riducio a due casi:

1. -5 ≤ y ≤ 0 ⟹ f(x) = 0 in un f(x; y) ≥ 0, ad esempio x⁴ + (-5 - 1)²≥ 0
2. -5y ≤ 1 ⟹ f(x) = 0 in un f(x; y) ≥ 0, ad esempio x⁴ + (-3 - 1)² ≥ 0

Ne traggo le conclusioni che f(x; y) è f([0,1], è un punto di minino) assoluto

f(x,y) = y(x - y)²

Dom = Ω = ℝ²

∇f(P) = 0 ⇒ {x = 2y(x - y) = 0 2y

L'unico punto stazionario è (0,0)

H = [ ]

• f_xx(P) f_xy(P)
• f_yx(P) f_yy(P)

f_xx(P) f_xy(P) f_yy(P)

H(0,0) = 0

Manca al più dire studi diagoni su I(0) dei punti di y

f(x; y) ⟹ 0 in alcuna punti di x

f(x; y) ⟹ 0 ⟹ y ≥ 0

Il negri manca e costante (0,0) è un numero di sella

11) f(x,y) = 2(y⁴x² - 2xy) - x⁴ - y⁴ + 75

Dom = Df = R²

∇f(P) = 0 ⇔ {∂f/∂x = 1 - 8y(y⁴ - x²) = 0

∂f/∂y = 1 - 8(x⁴ - y²) = 0

Sommandor Hx = y³, y³ = 0 ⇔ x = y

⇒ y = 0, y² + 1/2

B§: y = 0, x = ± √2

B§: y = 1/2, x = ±1/2

B§: y = x = ± √2

• I punti Stazionari normo (0,0) (1/2,1/2) (-1/2,1/2) (1/2,-1/2)

Hf(0,0) = x - 8y

Hfg(0,0) = (0)₂ ** Nullo ** numerator y invius sterio ||اغـــــالب‘; H(indic) = husq x + 1, 2-6x lim O "\/ (ính ??? 3 إب력이

20

f(x, y) = x² + y² in V = {g(x, y) = 1; x² + y² = u}

Non ci sono punti interni, cerco sulla frontiera con Lagrange

• Frontiera SV

L = (x, y, λ) = g(x, y) = x² + y² - λ (x² + y² - 1)

∇L (x, y, λ) = 0 = {

• 2x - 8x = 0
• 2y - 2 = 0
• 2λ - 4x - y + λ = 0

• {2x - 8x = 0 ⇒ x = 0
• λ = 1
• {
  • y = ±2

Ho i punti stazionari (0, 2√¹), (0, -2√¹), (1, 0, 1√²), (-1, 0, -1√²)

• f(0, 1) = f(-1, 0) = 1 è un punto di massimo assoluto
• f(2, 0, 1) = f(-1, 0) = 1 è un punto di minimo assoluto

21

f(x, y) = 1x + 6y in V = {g(x, y) = 1; x² + y² = 13}

• Frontiera SV

Non ci sono punti interni, cerco V un centro su Lagrange

• L = f(x, y) - g(x, y) = x + 6y - λ (x² + y² - 13)
• ∇L (x, y, λ) = 0 = {
• 2x - λ = 0
• y = 3
• - X² + y² + 3
• {-13, 13} = 0 = ã = ±1

Ho i punti stazionari (2, 3, λ), (-2, -3, λ)

• l (2, 3) = 8 + 18 - 26 è un punto di massimo assoluto
• f(2, -3) = - 8 - 18 - 26 è un punto di minimo assoluto

2)

{f(x,y) = x³ - x²y²in Q = [0,1] x [0,1]Ho cercato la quota per Keeness perché f(x,y) < Cρ(Q) x Q è un asonptoto

Interno Q

∇f (x,y) = {fx = 3x² - y² = 0fy = -2xy = 0⇔ {x = 0y = 0Ho solo (0,0) che pero non appartiene all’interno di Q lo scarto

Frontiera Q

Ho i punti angolari esaminare una variabile in funzione dell’altra1) x = 0 succede { f₁(y) = -y², y ∈ [0,1] ⇒ f₁(0) = 0f₁(1) = -1minimo massimo

2) x = 1 da cui segue { f₂(x) = x³ - x² = 0 ⇔ f'₂ (x) = 3x² - 2x = 1, x ∈ [0,1]x = 0, x = 1f'₂ (x) a { 3√2 , - 3√2

Quando f (3√2 , 1) = -0.38, il altro punti non su sulla Frontiera 3 lo scarto

3) x = 0 da cui segue { f₃(y) = 0 , y ∈ [0,1] ⇒ f₃ (0) = 0f₃ (1) = 0Quando f (0,0) = 0 e f (0,1) = 0

4) x = 1 da cui segue f₄(y) = 1 - y² , y ∈ [0,1] ⇔ f'₄ (0) = 1f'₄ (1) ☐ 0

Succede chef(3√2, 4) = -0.38 è un punto di minimo anolutof (1, 0) = 1 è un punto di massimo anoluto

1)

\(\int_A (x+y) \, dx \, dy \quad \text{in} \, A = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < y < \frac{\sqrt{2}}{2}, \, y < x < \sqrt{2-y^2} \rbrace\)

A è normale rispetto a \(y\), uso la 2° formula di riduzione:

\(\int_A (x+y) \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \int_{y}^{\sqrt{2-y^2}} (x+y) \, dx \right) dy = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \int_{y}^{\sqrt{2-y^2}} x \, dx + \int_{y}^{\sqrt{2-y^2}} y \, dx \right) dy =\)

\(\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_y^{\sqrt{2-y^2}} dy = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left[ \frac{(\sqrt{2-y^2})^2}{2} - \frac{y^2}{2} \right] dy =\)

\(\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( 1 - \frac{y^2}{2} \right) dy + \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} y(\sqrt{2-y^2}) \, dy = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( 1 - \frac{y^2}{2} \right) dy + \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} y \cdot \int \frac{2y\,dt}{2-y^2} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dy \, dy + \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \, dt = \int \left( \frac{3}{2}\right) \, dy \, dt = \int \, dt \, = \, \frac{1}{2}\, dt\right)\right]\left) + 1 \, dy = \int \frac{3}{4} dy + 1 = \int \frac{3}{5} + dt = \frac{-3}{5}\right)dy\right)\right)dy\right)\right

\(\left[ \frac{17}{16} - \frac{3}{5}\right] = 0.135 - 0.17 = 0.125 + 0.17 = 0.225\)

5)

\(\int_B (x^2+y^2) \, dx \, dy \quad \text{in} \, B = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 2 \rbrace\)

Questa insieme è normale rispetto a \(x\) rispetto r_\widescriptstyle{1}; Completeranno B ⁰

\(\int_B (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx = \int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{4} x^2 \, dy + \int_{x^2}^{4} y^2 \, dy \right) dx =\)

\(\int_{0}^{1} x^2 \left[ y \right]_{x^2}^{4} dx + \int_{0}^{1} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{4} dx = \int_{0}^{1} \left( 4x^2 - x^4 \right) dx + \int_{0}^{1} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{x^6}{3} \right) dx =\)

\(2 \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^1 - \frac{x^5}{5} \biggr|_0^1 + \frac{64}{3} \biggr|_0^1 - \left( \frac{x^7}{3 \cdot 3} \right)_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{5} + 21\int_{0}^{1} \frac{x^7}{\frac{3}{3}\right

6)

\(\int_{S^N} (x^2+y^2) \, dx \, dy \, \text{in} \,

Passo a coordinate piane, uso:\(\left(\frac{\orphf}{\text{EX}}\right)_ L\ 반댓말 \(\lambda\): \(y = y: \lambda\) = y\) && y = \(\pm\) \text{ASSOLUTO ΔT})\)

2 베이 ∫ 스리)의 두쇼는 이락 한 당