Analisi matematica 2 centinaia di esercizi svolti

Name: Analisi matematica 2 centinaia di esercizi svolti
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Author: matrix0909

Revisionato il 17/05/2026

di matrix0909

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Centinaia di esercizi correttamente svolti di analisi 2:troverete esercizi svolti su:-estremi liberi e vincolati; (calcolo punti stazionari funzioni a più variabili)-integrali doppi e …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Piccirillo Annamaria

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

A.A. 2017-2018

75 pagine

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Estremi liberi e vincolati

f(x,y) = x⁴ + y⁴ - 4xy + 2
Dam = D = ℝ²
∇f(P) = 0 ⇒ { ∂f/∂x = 4x³ - 4y ≡ 0
{ ∂f/∂y = 4y³ - 4x ≡ 0
⇒ { x³ = y
{ y³ = x
⇒ x⁹ = x
⇒ x(x⁸ - 1) = 0 ⇒ x=0, x=±1
I punti stazionari sono (0,0), (1,1), (-1,-1)
H = | ∂_xxf(P) ∂_xyf(P) | = | ∂_xxf(P) ∂_xyf(P) | = | 12x² -4 || ∂_yxf(P) ∂_yyf(P) | | -4 12y² |
= | 12x² -4 | | -4 12y² | = (12)²(x²y²) - ((-4))² = 144x²y² - 16
H(0,0) = 0 x=0 è un punto di sella.
H(1,1) = 128 > 0 f_xx(1,1) = 12 > 0 è un punto di minimo assoluto
H(-1,-1) = 128 > 0 f_xx(-1,-1) = 12 > 0 è un punto di minimo assoluto
f(x,y) = x³ - 3xy² + y⁵
Dam = D = ℝ²
∇f(P) = 0 ⇒ { ∂f/∂x = 3x² - 3y² ≡ 0
{ ∂f/∂y = -6xy + 3y⁴ ≡ 0
⇒ { x² = y²
{ y³ = 2x
L’unica soluzione di questo sistema è il punto stazionario (0,0)
H = | ∂_xxf(P) ∂_xyf(P) | = | ∂_xxf(P) ∂_xyf(P) | = | 6x -6y || ∂_yxf(P) ∂_yyf(P) | | -6y 4y³ |
= | 6x -6y | | -6y 12y² | = 36x² - 36y²
H(0,0) = 0 nulla si può dire uso da DEF tracciando un intorno I(0) in cui f(x) - f(P) ha segno constante e vice sa se f(x) - f(P) < f(P) è un max
quando studio il segno:
x³ - 3xy² + y⁵ > 0 nell’intorno del punto xy
f(0,1) = f(0) + f(1,0) < f(∅), si potrebbe solo nel x>0, quindi f(P) = f(a) non ha segno constante
comunque segno prova
{ x ≡ y³/2x², 0 < p, p < 0
{ x³ - 3xy² + y⁵ ≡ 0
{ (0,0) è un punto di sella

Estremi liberi e vincolati

f(x,y) = x⁴ + y⁴ - 4xy + 2

Dam = ℝ

∇f(x) = 0 ⇒

⎧ fx = 4x³ - 4y = 0

⎩ fy = 4y³ - 4x = 0

⇒ ⎧ x³ = y

⎩ y³ = x

⇒ x⁹ = x

x(x⁸ - 1) = 0

x = 0, x = ±1

I punti stazionari sono (0,0), (1,1), (-1,-1)

H =

⎡ f_xx(P) f_yx(P) ⎤

⎣ f_xy(P) f_yy(P) ⎦

= ⎡ 12x² -4 ⎤

⎣ -4 12x² ⎦

= - (-4)² = 16

H(0,0) = 0

H(1,1) = -128 < 0

H(-1,-1) = -128 < 0

f(1,1) = 12 > 0 è un punto di minimo assoluto

f(-1,-1) = 12 > 0 è un punto di minimo assoluto

f(x,y) = x³ - 3xy² + y⁵

Dam = ℝ

∇f(p) = 0 ⇒

⎧ fx = 3x² - 3y² = 0

⎩ fy = -6xy + 3y² = 0

H =

⎡ f_xx(P) f_yx(P) ⎤

⎣ f_xy(P) f_yy(P) ⎦

= ⎡ 36x² -36y² ⎤

Nulla in PIU dià la loro DCF tranne I(xo) in cui

Quando studi il segno:

x³ - 3xy² è O

f(0,0) = y⁵ = 0

(0,0) è un punto di sella

3)

f(x,y) = x^4 + (y - 1)^2

Dom = Ω = ℝ^2

∇f(P) = 0 ⟺ {∂f/∂x = 4x^3 = 0} ⟺ {4x^3 = 0} ⟺ {x = 0}

{∂f/∂y = 2(y-1) = 0} ⟺ {2y-2 = 0} ⟺ {y = 1}

L'unico punto stazionario è (0,1)

H = | f_xx(P) f_xy(P) |

| f_xy(P) f_yy(P) |

= f_xx(P)f_yy(P) - f_xy(P)^2 = f_xx(P) = 12x (2) = 2 ⋅ x

H(0,1) = 0 nulla si può dire choc DEF riducendo il ragion nell’intorno (0x) dei punti di x ^4+(y-1)^2 > 0 non ammettono di x min o due punti x riduci a dui casi :

se x =! 0 allora in un int. ( x; y) > 0, ed esempio x^4 + (5-1)^2 >= 0
se x < 1 allora in un (x ; y) > 0, ed esempio x^4 + (3-1)^2 >= 0

e regime ridotto in dui in due (f(0) , f(1_ qui è un punto ) di unirario identico

1)

f(x,y) = y(x-y)^2

Dom = Ω = ℝ^2

∇f(P) = 0 ⟺ {∂f/∂x = 2y(x-y) = 0} ⟺ {x=x =>}= { x=x} ⟺ {x = y}

∇f/∂y = (x-y)^2 + 2y(x-y) = (x - y)^2 = 2y (x-y) (-1)Ω={(x-y)^2 = 0}, =y(= = f(x)>0}{

{Ω: x=x =x = y=y}y = f(x , y(x-y + (x-y)x-x ->x - x/t (z-x+y)/z = d/p) => x-0 ,y=0

L'unico punto stazionario è (0,0)

H = | f_xx(P) f_xy(P) |

| f_xy(P) f_yy(P) |

= f_xx(P)f_yy(P) - f_xy(P)^2 = 2y [2(x-y)(x-2) - 2x + 4y] = - [2x-x] -

= 2y [2x+ 2y^2] (64 * x42xxy/x-1)

{2x =! 2} (x-y-1)

=> H = f_xx 2xy +12 - [6y^2 (x^4-2xy^2 - 2\sqrt {16x3

= H(0,1) = 0 nulla si può dire ridotto idragono in I(0) dei punti di yX-y > 0 y < 0 ed più dync pro x < 0 y

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