Esercizi svolti di Analisi matematica 2

esercizi ANALISI 2

svolti dal libro

Serie

applicazione del criterio del confronto

1. ∑_n=8^{∞ 1}⁄_{n (n+1)} → ∀ n ∈ ℕ si ha o ≤ ¹⁄_n² ≤ ²⁄_{n (n+1)}

   la serie ∑_n=1^{∞ 1}⁄_{n (n+1)} → scritta anche come ¹⁄_n - ¹⁄_n+1 è una SERIE TELESCOPICA

   (della forma: ∑_n=m⁹ (a_n - a_n+1))

   il termine generale non è ¹⁄_n

   poiché lim ¹⁄_n = 0

   _{n→+∞  n→+∞}

   allora la serie ∑_n=1^{∞ 1}⁄_{n (n+1)} CONVERGE =>  per il criterio del CONFRONTO

   ∑_n=1^{∞ 1}⁄_n² è convergente

2. ∑_n=8^{∞ 1}⁄_√n → ∀ n ∈ ℕ si ha o ≤ ¹⁄_n = ¹⁄_√n

   poiché  serie armonica

   ∑_n=8^{∞ 1}⁄_n diverge allora la serie ∑_n=8^{∞ 1}⁄_√n è divergente

3. ∑_n=8^{∞ n+3}⁄_n²+25

   si ha o ≤ ⁿ⁺³⁄_n²+25 ≤ ^c₁⁄_n² ∀ n ∈ ℕ

   ∑_n=8^{∞ c₂}⁄_n² converge => ∑_n=8^{∞ n+3}⁄_n²+25 è convergente

   ∑_n=8^{∞ n+3}⁄_n²+25

4. ∑_n=8^{∞ n+3}⁄_n²+25

   ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 2 :

   ⁿ⁺³⁄_n²+25 ≥ ⁿ⁄_25n² = ¹⁄_25n = ¹⁄₂₅ ¹⁄_n → ∑_n=8^{∞ 1}⁄_n diverge →

   ∑_n=8^{∞ n+3}⁄_n²+25

5. ∑_n=8^{∞ 21+(-1)n}⁄_n²+π²

   si ha: ^21+(-1)n⁄_n²+π² √ 0 e ²⁄_n²+π² ≤ ^c⁄_n² ∀ n ∈ ℕ

   poiché ∑_n=8^{∞ 1}⁄_n² converge anche la serie ∑_n=8^{∞ 21+(-1)n}⁄_n²+π² converge

Ancona sul criterio del confronto

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+7}{n^{3}-8n}\)

uso il CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Si ha:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n+7}{n^{3}-8n} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{7}{n}}{n^{2}(1-\frac{8}{n^{2}})} = 1\]

\[\Rightarrow \text{la serie} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+7}{n^{3}-8n} \text{e} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\]

\[\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+7}{n^{3}-8n} \text{converge}\]

2. \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{n}\right)^n\)

per \(n > u\) si ha:

\[\left(\frac{1}{5} + \frac{3}{n}\right)^n \leq \left(\frac{18}{20}\right)^n\]

Percio` anche \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{n}\right)^n\) converge

Criterio del rapporto e della radice

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}\)

uso il CRITERIO DEL RAPPORTO

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^{n}}{n!}} = \frac{3 \cdot n!}{3^n \cdot (n+1) \cdot n!} = \frac{3}{n+1}\]

dunque \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0\)

\[L < 1\]

La serie e` pertanto convergente

2. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n!}\)

\[-\frac{3^n}{n!} = \frac{(-3)^n}{n!}\]

quindi la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n!}\) converge

3. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^n}\)

usando il CRITERIO DEL RAPPORTO

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5n}\]

\[\Rightarrow \frac{1+\frac{1}{n}}{5} \rightarrow \frac{1}{5}\]

quindi la serie è convergente

2.

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{2n3^n}}\)

applico criterio della radice

\(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2n3^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2n}3} = \frac{1}{3}\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = \frac{1}{3}{L}\)

\(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = 1\)

R = 3 (poiché \(\frac{1}{L} = 3\))

L' = \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|2n|} = L\)

3.

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{3^n}\)

applico criterio della radice

\(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{x^n}{3^n}} = \frac{x}{3}\)

se \(\frac{x}{3} < 1\) cioè \(-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}\) la serie converge

se \(\frac{x}{3} \ge 1\) cioè \(x \le -\sqrt{3}\) V \(x \ge \sqrt{3}\) la serie non converge

\(\Rightarrow R = \sqrt{3}\)

NON ANDAVA BENE FARLO

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3}\) R = 3 No (peccato non funz.)

FUNZIONI DI 2 O + VARIABILI

Curve di livello

Trova le "" della funzione

1. \(f(x,y) = x^2+y^2\)

sono le curve di equazione: \(x^2+y^2 = c\) \( (c \ge 0)\)

per \(c>0\) tali curve sono circonferenze

per \(c=0\) la curva di livello si riduce all'origine

2. \(f(x,y) = x^2-y^2\)

Sono per \(c \neq 0\), le iperboli equilater |x^2-y^2=c|

per \(c=0\) la curva di livello è l'unione delle rette x-y=0 e x+y=0

• il grafico di questa funzione è un paraboloide iperbolico

Derivate

esercizio: Quale è la direzione e qual è il verso di massimo accrescimento della funzione f(x,y) = 18 - 3x² - 2y² nel punto P₀ = (1,2)?

Quanto vale tale accrescimento?

suggerimento:

La curva di livello che passa per il punto P₀ è l'ellisse di equazione

3x² + 2y² = 11

Si ha:

f_x (x,y) = -6x

f_y (x,y) = -4y

Dunque otteniamo:

∇f (1,2) = (-6, -8)

Poiché ||∇f (1,2)|| = 10 si ha che la direzione e il verso di massimo accrescimento della funzione sono quelli del vettore del gradiente. Cioè:

V = ^(-6)/₁₀^(-8)/₁₀ = ^(-3)/₅^(-4)/₅

e il valore di questo accrescimento è ||∇f (1,2)|| = 10.

Usare Taylor

- esercizio: Scrivere la formula di Taylor del 2^o ordine di centro P₀ = (1,2) della funzione:

f(x,y) = ln (1 + 3x² + y²)

Svolgimento:

f_x (x,y) = ^6x/_{1 + 3x² + y²}

f_y (x,y) = ^2y/_{1 + 3x² + y²}

f_xx (x,y) = ^{-6 (1 + 3x2 - y2)}/_{(1 + 3x² + y²)²}

f_xy (x,y) = ^-12xy/_{(1 + 3x² + y²)²}

f_yy (x,y) = ^{2 (1 + 3x2 - y2)}/_{(1 + 3x² + y²)²}

⇒ f (1,2) = ln 8

f_x (1,2) = ³/₄

f_y (1,2) = ¹/₂

f_xx (1,2) = ³/₁₆

f_xy (1,2) = ³/₈

f_yy (1,2) = 0

Applicola formula di Taylor del secondo ordine:

ln (1 + 3x² + y²) = ln 8 + ³/₄ (x - 1) + ¹/₂ (y-2) + ³/₁₆ (x - 1)² + ^?/?₈ (x-1)(y-2) + o [f_{R2 (z2; x,y)}]

= ln 8 + ³/₄ (x-1) + ¹/₂ (y-2) + ³/₃₂ (x-1)² - ³/₈ (x-1)(y-2) + R2 (z₂; x,y)