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Analisi Matematica 2
x3 + x2 + y3 + z3 + xy2 = 6
g°df = (∂f/∂x, ∂f/∂y) ∑ (D(xn) − yn)2 tgx = sinx/cosx
x2 + y2 + z2 = 0
λx = 26
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 0
sin2x = 2sinx · cosx
|z| = √(a2 + b2) x(∂f/∂x) = 16 − x2 + 16y2 − 4z > 0
lim x→0 (e2x − 1)/5x = 2/5
Nel caso si affronterà il calcolo differenziale ed integrale di funzioni a più variabili, ossia funzioni f definite in D: ℝn → ℝm.
- È complicato visualizzare funzioni a troppe variabili nello spazio. Tuttavia, una funzione a due variabili nello spazio 3D è rappresentata da una superficie.
Le funzioni a più variabili possono anche essere rappresentate attraverso le linee di livello in cui, data una costante k fissata:
(x,y | f(x,y)=k)
Linee di livello in 3D sono dette superfici di livello.
- Fin'ora abbiamo parlato di funzioni da n variabili a una variabile (ℝn → ℝ), dette funzioni scalari. Introduciamo, ora, le funzioni vettoriali a n variabili (f: D ⊂ ℝn → ℝm, m > 1), che associano un vettore di ℝn ad un vettore di ℝm:
f(x1, x2, ..., xn) = (f1(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))
f1, ..., fm sono le componenti del vettore f, quindi ognuna di esse è una funzione scalare:
fj: D ⊂ ℝn → ℝ , j = 1, ..., m
Il caso più semplice riguardante quanto detto è quello di n = 1 e m > 1. In questo caso si ha σ: I ⊂ ℝ → ℝm la cui variabile sarà t e le componenti:
σ(t) = (σ1(t), ..., σm(t))
- Un'applicazione di questo tipo, dai reali a ℝm, viene detta curva in ℝm (e indica il tempo e σ(t) la posizione di un punto che si muove in ℝm).
- Excursus circa le notazioni: spesso il generico vettore "x" verrà indicato semplicemente con "x". Si dirà, quindi:
x = (x1, x2, ..., xn)
E = {(x,y,z)∈ℝ3 | -3 < x < 4, y2 + z2 ≤ 9}
Ė = {(x,y,z)∈ℝ3 | -3 < x < 4, y2 + z2 < 9}
δĖ = {(x,y,z)∈ℝ3 | -3 < x < 4, y2 + z2 = 9} ∪ {(x,y,z)∈ℝ3 | x = -3, y2 + z2 ≤ 9} ∪ {(x,y,z)∈ℝ3 | x = 3, y2 + z2 ≤ 9}
δE = {(x,y,z)∈ℝ3 | -3 ≤ x ≤ 4, y2 + z2 = 9}
E ⊆ Ė → δE ≠ ∅ E non è chiuso
Ė ⊆ E → Ė non è aperto
- Introduciamo il concetto di LIMITE DI UNA FUNZIONE A PIÙ VARIABILI:
- f: D⊂ℝn → ℝ, Xo ∈ DD, l ∈ ℝ Si dice che limx→xo f(x) = l se ∀ε >0 ∃δ>0 |0<|x-xo|<δ, x∈D ⇒ |f(x)-l|
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