Analisi 2 (Esercizi Svolti)

a) Continuità

f continua in (x,y) ≠ (4,0)

lim (x,y) → (4,0) f(x,y) = lim ρ → 0 ^ρ3sin3θ/_{ρ⁴sin³θcosθ} = 0

f continua ovunque

b) Esistenza derivate parziali

∇f(x,y) = (x³(2x-2), y³(x-4)) / [(x-4)² + y²]^1/2

f_x(4,0) = lim _{t → 0} f(4+t,0) - f(4,0) / t = 0

f_y(1,0) = lim _{t → 0} f(4,t) - f(4,0) / t = 1

derivate parziali esistono ovunque

c) Differenziabilità in (4,0)

(1,0)?

lim (x,y) → (4,0) x³_{y(x^-1-2) =} 0^x3sin3θ

sinθ - cos²θ ≠ 0

→ non differenziabile in (4,0)

w = ⁴⁄_4+(x+y²)²dx + ^8y⁄_4+(x+y²)²dy

a) affinché w esatta in R²

R² stellato w esatta ↔ w chiusa ↔ X_y = Y_x

↔ ^{-4(4y² 4xy)}⁄_{(4+(x+y²)²)²} = ^-2y(2y2+2x)⁄_4+(x+y²)²

4 = 8

b) Per calcolare la primitiva di w che in (0,0) vale 0

F_x(x,y) tale che F_x(x,y) = X e F_y(x,y) = Y

∫⁴⁄_4+(x+y²)² dx = ∫¹⁄_1+(x+y²)² dx = 2arctan^(x+y2)⁄₂

+ C(y) = F(x,y)

F_y(x,y) = ^2y⁄_1+(x+y²)² + C' (y) = ^8y⁄_4+(x+y²)²

→ C' (y)=0 → C(y) = K

F(x,y) = 2arctan^(x+y2)⁄₂ + K

F(0,0) = 0 → K = 0

primitiva cercata: 2 arctan^(x+y2)⁄₂

f(x,y) = -2x³ + 4x²y + 5x² - 12xy + 4y²

a) Punti critici

∇f(x,y) = (6x² + 8xy + 10x - 12y, 4x² - 12x + 8y)

∇f(x,y) = (0,0) ⇔ (x,y) = (0,0) (1,1) (2,1)

b) Punti di estremo locale

D²f(x,y) = (-12x + 8y + 10                 8x - 12)                  8x - 12                   8

D²f(0,0) = (10     -12) -12      8)

det D²f(0,0) = -64

⇒ (0,0) punto di sella

D²f(1,1) = (6      -4) -4       8)

det D²f(1,1) = 32

f_xx(1,1) = 6

⇒ (1,1) punto di minimo locale

D²f(2,1) = (-6       4)    4       8)

det D²f(2,1) = -64

⇒ (2,1) punto di sella

f(x, y) = e^x₂/3 + y²

a) Massimi e minimi vincolati al triangolo T di vertici A = (-1, √(3)), B = (-1, -√(3)) e C = (1, 0) e punti in cui vengono raggiunti.

∇f(x, y) = (⅔ x² + y², 2y) e ⅔ x + y = 0

∇f = 0 ⟺ (x, y) = (0, 0) ⟺ (x, y) = (0, 0) ∈ T

D²f(0, 0) = ³/₂ 0

det D²f(0, 0) = ⅓ f_xx (0, 0) = ⅔ ⟶ (0, 0) punto minimo locale

F(0, 0) = 1

N.B. Lato AB: x = -1

- √(³/₂) ≤ y ≤ √(³/₂)

F(-1, y) = e^⅓ + y²

massimo AB per y = ±√(³/₂) ⟹ f(-1, ±√(³/₂)) = e

minimo AB per y = 0, F = (-1, 0) = e^⅓

lato AC: y = ¹/_√(6) x + ¹/_√(6), -1 ≤ x ≤ 1

f( x - ¹/_√(6) x + ¹/_√(6)) = e^x2/3 + (x - ¹/_√(6) + ¹/_√(6))²

massimo AC per x = -1, f (-1, √(³/2)) = e

minimo AC per x = 1, f (1, 0) = e

lato BC: y = ¹/_√(6) x - ¹/_√(6), -1 ≤ x ≤ 1

f( x - ¹/_√(6) x - ¹/_√(6)) = e^x2/3 + (x - ¹/_√(6) x - ¹/_√(6))²

massimo BC per x = -1, f (-1, -√(³/2)) = e

minimo BC per x = 1, f (1, 0) = e

massimo in T: e raggiunto in (-1, ±√(³/2))

minimo in T: 1 raggiunto in (0, 0)

4)

f(x,y) = ^{|x| + |y|}/_{N²x² + y²}

a)

lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y)

lim_{(x,y)→(0,0)} ^{|x| + |y|}/_{N²x² + y²} = lim_ρ→0 f(1cosθ,1sinθ)/ρ = √2

b) Calcolare f_x (1,0) e f_y (4,0)

f_x (1,0) = lim_t→0 ^{f(1+t,0) - f(1,0)}/_t = lim_t→0 ^{1 - 1}/_N = 0

f_y (4,0) = lim_t→0 ^{f(1,t) - f(1,0)}/_t = lim_t→0 ^{1 + |t|}/_N = 1/_t

= lim_t→0 ^{1 + 1 - N1 + t2/_t = lim_t→0 1 + 1/t/_{N1 + t2} = √2}

1.

f(x,y) = - ^{y3sin x}/_x²+y² (x,y) ≠ (0,0)

f(x,y) = 0 (x,y) = (0,0)

a) Continuità in (0,0)

lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = lim_ρ→0 ^{ρ3sin2θ·sin(ρcosθ)}/_ρ³ =

= lim_ρ→0 sin²θ · sin(ρcosθ) = 0

⇒ f continua in (0,0)

b) Derivate parziali in (0,0)

f_x(0,0) = lim_t→0 ^{f(t,0) - f(0,0)}/_t = 0

f_y(0,0) = lim_t→0 ^{f(0,t) - f(0,0)}/_t = 0

c) Differenziabilità in (0,0)

f(x,y) = f(0,0) + ⟨(0,0)|(x,y)⟩ + σ√(x²+y²) per (x,y)→(0,0)

F(x,y) = σ√(x²+y²) per (x,y)→(0,0)

lim_{(x,y)→(0,0)} ^{y3sin x}/_{(x²+y²)√(x²+y²)} = lim_ρ→0 ^{ρ3sin2θ·sin(ρcosθ)}/_ρ⁴ =

= lim_ρ→0 sin²θ · sin(ρcosθ)/ρ = lim_ρ→0 sin²θ · cosθ · cos(ρcosθ)/ρ ≠ 0

⇒ non differenziabile in (0,0)

1) F(x,y) = e^y(y-e) + (x-1)² + (x-1)²

(troppo breve)

∇F(x,y) = [y(e^y + e^y) + 2(x-1)

] = (0,0)

punti critici: (4,1) (3,0)

DF(4,1) = ^y[2

DF = ² (e^y e^y)

(y) (y) (x-1) (e^y e^y)

det D²F(4,1) == e²

(4, 1) punto di sella

DF(3,0) = ² (0 e⁰)

det D²F(3, 0) = 1

F_xx (3, 0) = 2

(3,0) punto di minimo locale

1) f(x,y) =

1. (x,y) ≠ (0,0)
2. (x,y) = (0,0)

a) Continuità in (0,0)

lim (x,y) → (0,0) f(x,y) = lim ρ→0 x² cos²θ / 3ρ²sinα + cosθ = 0

⇔ continua in (0,0)

b) Derivate parziali in (0,0)

• f_x(0,0) = lim f(t,0) - f(0,0) / t = lim t→0 t/ 3|t| = 1/3
• f_y(0,0) = lim f(0,t) - f(0,0) / t = 0

B.2c) Differenziabilità in (0,0)

f(0,0) non esiste

⇒ f non differenziabile in (0,0)

differenziabile ⇒ derivabile