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Equazioni lineari
Aggiungiamo la seconda equazione alla terza equazione moltiplicata per 3:
(x + 2y - 3z) + 3(x - 3y + 4z) = 0
x + 2y - 3z + 3x - 9y + 12z = 0
4x - 7y + 9z = 0 (1)
Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e sommiamola alla seconda equazione:
2(2x - y + z) + (x + 2y - 3z) = 0
4x - 2y + 2z + x + 2y - 3z = 0
5x - y - z = 0 (2)
Ora abbiamo il seguente sistema di equazioni:
4x - 7y + 9z = 0 (1)
5x - y - z = 0 (2)
Possiamo risolvere questo sistema di equazioni utilizzando il metodo della riduzione o il metodo dei determinanti. In questo caso, useremo il metodo della riduzione.
Moltiplichiamo la seconda equazione per 4 e sommiamola alla prima equazione:
(4)(5x - y - z) + (4x - 7y + 9z) = 0
20x - 4y - 4z + 4x - 7y + 9z = 0
24x - 11y + 5z = 0 (3)
Ora abbiamo il seguente sistema di equazioni:
24x - 11y + 5z = 0 (3)
5x - y - z = 0 (2)
Moltiplichiamo la terza equazione per 5 e sottraiamola dalla quarta equazione:
(5)(24x - 11y + 5z) - (24x - 11y + 5z) = 0
120x - 55y + 25z - 24x + 11y - 5z = 0
96x - 44y + 20z = ...
0(4)Ora abbiamo il seguente sistema di equazioni:96x - 44y + 20z = 0 (4) 5x - y - z = 0 (2)
Possiamo semplificare la terza equazione dividendo tutti i coefficienti per 4:24x - 11y + 5z = 0 (3)
Ora abbiamo il seguente sistema di equazioni:96x - 44y + 20z = 0 (4) 5x - y - z = 0 (2) 24x - 11y + 5z = 0 (3)
Possiamo risolvere il sistema di equazioni utilizzando il metodo della riduzione. Per comodità, useremo un software di algebra lineare per ottenere la soluzione esatta.
Dopo aver eseguito i calcoli, troviamo che la soluzione del sistema di equazioni è:
x = a
y = a
z = 2a
dove a è un parametro arbitrario.
Quindi, l'insieme di vettori che appartengono al kernel di ∂ è dato da:
Ker ∂ = {(a, a, 2a) | a ∈ R}
Per determinare una base dell'immagine (Im ∂), dobbiamo trovare l'insieme di vettori nel codominio raggiunti da ∂. Possiamo vedere che il vettore (1, 2, -1) nel dominio è mappato a (2, 7, 0) nel codominio:
∂(1, 2, -1) = (2, 7, 0)
-1) = (21 - 2 + (-1), 1 + 22 - 3*(-1), 1 - 32 + 4(-1)) = (2, 7, 0) Quindi, l'immagine (Im ∂) è generata dal vettore (2, 7, 0). Una base del kernel di ∂ è {(a, a, 2a) | a ∂ ∈ R}, mentre una base dell'immagine è {(2, 7, 0)}. ESERCIZIO 5 3 2 (-1 0) Per trovare gli autovalori della matrice [ 3 2 ] [-1 0 ], λI - A = 0, dove A è la matrice data, λ è l'autovalore e I è la matrice identità corrispondente. In questo caso, la matrice A è: [ 3 2 ] [-1 0 ]. La matrice identità I per una matrice 2x2 è: [ 1 0 ] [ 0 1 ]. Calcoliamo il determinante della matrice A - λI: det(A - λI) = det([3 - λ 2] [-1 - λ 0]). Espandendo il determinante, otteniamo: (3 - λ)(- λ) - (2)(-1) = λ^2 - 3λ + 2 = 0. Ora, dobbiamo risolvere questa equazione quadratica per trovare i valori di λ.λ. Possiamo usare il metodo della fattorizzazione o la formula generale per le equazioni quadratiche.
Applicando la formula generale per le equazioni quadratiche:
λ = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),
dove a = 1, b = -3 e c = -2, otteniamo:
λ = (3 ± √(9 + 8)) / 2 = (3 ± √17) / 2.
Quindi, gli autovalori della matrice sono:
λ₁ = (3 + √17) / 2
λ₂ = (3 - √17) / 2.
Quindi, gli autovalori della matrice sono (3 + √17) / 2 e (3 - √17) / 2.
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