Analisi 1 Teoria "I Numeri Complessi" [cap. III]

I NUMERI COMPLESSI

x² = -1 non ha soluzioni in campo reale ma le ha in campo complesso

I numeri complessi: coppie di numeri reali, ossia numeri bidimensionali

su cui vengono definite opportune operazioni di somma e prodotto

Si denota l'insieme complessi con .

Si può identificare tramite un sistema di riferimento cartesiano con l'insieme dei punti del piano R².

Piano complesso o di Gauss

Dati z₁ = (a₁, b₁) ϵ C

z₂ = (a₂, b₂)

Definiamo:

Somma Vettoriale di Complessi

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)

Valgono le proprietà 1, 2, 3 già viste per R

Prodotto di Complessi

Z₁ × Z₂ = (a₁ × b₁ b₂, a₁ b₂ + b₁ a₂)

Si tratta del prodotto vettoriale

Anche qui valgono le proprietà già viste per numeri ∈ ℝ

In questo caso l'elemento neutro è la coppia (1,0)

(a,b) (1,0) = (a,b)

Dato z ∈ ℂ

1. a = parte reale = Re z
2. b = parte immaginaria = Im z

L'asse x prende il nome di Asse Reale mentre l'asse delle ordinate l'asse Imagginario

Le coppie (a) (b) quali saranno appartenenti od ℝ

ℝ>ℂ

Le coppie (a, b) si dicono numeri immaginari, tra essi si trova

I'unità immaginaria = (0,1)

L'unità immaginaria si denota quindi i

Osserviamo che:

1. (0,1)² = (0,1)(0,1) = (0×0 - 1×1,0+1×0) = (-1,0) cioè i² = -1 ; i = √-1

Ma non solo:

∀ a ∈ ℝ i·a = (0,a)

Forma Canonica di un Numero Complesso

Z = (a,b) ∈ ℂ

Z = a + i b

Z₁ = √3 + i

Z₂ = -1 + i √3

Z₁·Z₂ = -i √3 + 3 i = i (-√3 + 3)

Θ₁ = π / 6

Θ₂ = 2/3 π

Z₁·Z₂ = 2 (cos π / 6 + i sin π / 6)

-i √3 = 2 (cos 2/3 π + i sin 2/3 π)

Z = 4 (cos (2/3 π - π / 6) + i sin (2/3 π - π / 6))

Prossimo alla torta:

Elevamento a potenza

Z₁···Z_n = |Z₁|···|Z_n

arg(z₁···z_n) = arg Z₁ + ... + arg Z_n

Zⁿ { |z tⁿ| = |z|ⁿ

arg(zⁿ) = n arg z

Da ciò si deduce la formula di De Moivre per elevamento a potenza di un numero complesso.

Dato Z = ρ (cos Θ + i sin Θ)

Z ⁿ = ρⁿ (cos (nΘ) + i sin (nΘ))

Es:

(1 + x)¹¹ = ?

1 + 1 = √2

arg (1 + i) = π / 4

(√2)¹¹ = (√2)¹⁰ · √2 = 2⁵ √2 = 32 √2

11 / 4 π = 3 / 4

(+x)¹¹ = 32 √2 (cos 3/4 π + i sin 3/4 π)

Dal teorema di Ruffini sappiamo che:

P(z)+0 ↔ P(z) è divisibile x (z-z₀)

Cioè P(z) si può scrivere nella forma:

P(z)= (z-Z₁) Q₁(z)

se Q₁ ≠ 0 né è costante posso scriverlo nella forma:

Q₁(z) = (z-Z₂) Q₂(z)

Proseguendo in questo modo n volte si ottiene la scomposizione:

P(z)= c_n (z-Z₁)(z-Z₂)...(z-Z_n)

Diciamo dunque che l’equazione P(z)=0 ammette sempre “n zeri” complessi, n soluzioni purché contate con la loro molteplicità

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Polinomio a Coefficienti Reali

Sia P(z) un polinomio di grado n≥1 a coefficienti reali, e sia Z_i ∈ C tale che P(z_i)=0 allora

P(z)=0

Dimostrazione

O= P(z_i) se P(z_i) è a allora

O= P(z_i) – P(z)= C_nzⁿ+…+ C₁z +C₀

= C_nzⁿ + … + C₁z +C₀ = C_nzⁿ + … ±( C₁z +C₀

Trqf: U R = Ẏк = C

(С_пᶻⁿ+…+ (zt)+C₀ = P(z)

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Scomposizione di un polinomio a coefficienti reali

Sia P(z) un polinomio a coefficienti reali. Allora, P(z) si può sempre scomporre nel prodotto di polinomi di grado (i=1 o i=1 e ii=1)!!

Dim P(z) = C_n (z-Z₁) (z-Z₂) … (z-Z_n)