Appunti Analisi 1

Revisionato il 22/06/2026

di Massimo_Ambrosano

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Il documento contiene appunti ed esercizi d'esempio sui primi capitoli del programma di Analisi Matematica 1. In particolare, sono trattati i seguenti argomenti:-Teoria degli insiemi-Elementi di …

Esame Analisi Matematica 1

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Tabacco Anita

Università Politecnico di Torino

A.A. 2020-2021

57 pagine

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Teoria degli insiemi

Introduzione agli insiemi

Lettere maiuscole: insiemi
Lettere minuscole: elementi dell'insieme
x ∈ X

Elencazione e rappresentazione degli insiemi

Elencazione: X = {x₁, x₂, x₃,...} = {x ∈ X / p(x)}
Retta: x₁, x₂, x₃
Rappresentazione: X (insieme ambiente)
Diagramma di Venn

Insiemi numerici

N = insieme dei n^o naturali (parte da zero)
Z = relativi (0, ±1, ±2...)
Q = razionali = {m/n / m ∈ Z, n ∈ N e n ≠ 0}
R = reali
C = complessi
∅ = insieme vuoto, ovvero non contiene elementi

Inclusione e insiemi delle parti

X ≠ ∅. A ⊆ X oppure A ⊂ X
A sottoinsieme di X
⊆ = incluso
⊂ = propriamente incluso
Esempio: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
∅ è sicuramente incluso in ogni insieme

Insieme delle parti di X = 𝛽(X) = l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X
Esempio: X = {a, b, c} cardinalità = 3 elementi
𝛽(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X}
cardinalità 𝛽(X) = 2ⁿ elementi = 2³ = 8 elementi

Operazioni sugli insiemi

X - A = complementare {x ∈ X / x ∉ A} = insieme degli elementi di X che non stanno in A

Proprietà degli insiemi

⊄ X = ∅
⊄ ∅ = X
⊄ (⊄ A) = A

Esempio: X = N
A = numeri pari: {2n/n ∈ N}
⊄ A = dispari: {2n+1/n ∈ N}

Unione e intersezione

Unione: A ∪ B con A, B ⊆ X
Indica l'insieme degli elementi di X che stanno in A oppure in B, oppure in entrambi.
A ∪ B = {x ∈ X / x ∈ A oppure x ∈ B}

Intersezione: A ∩ B con A, B ⊆ X
Indica l'insieme degli elementi di X che stanno in A e B.
A ∩ B = {x ∈ X / x ∈ A e x ∈ B}

Proprietà booleane

A ∩ ⊄ A = ∅
A ∪ ⊄ A = X

Proprietà commutativa e associativa

A ∩ B = B ∩ A ; A ∪ B = B ∪ A
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
(A∪B)∪C = A∪(B∪C)

Proprietà distributiva

(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)

Leggi di De Morgan

ᶜ(A∩B) = ᶜA ∪ ᶜB
ᶜ(A∪B) = ᶜA ∩ ᶜB

Verifica

1^a legge di De Morgan: ᶜ(A∩B) ᶜB ᶜA ᶜA ∪ ᶜB

Nota: A ⊆ B ⇒ A∩B = A ∧ A∪B = B

Differenza e differenza simmetrica

Differenza (non simmetrica): A \ B
Indica l'insieme degli elementi di X che stanno in A, ma non in B.
A \ B = { x ∈ X / x ∈ A ∧ x ∉ B } = A ∩ B̅

Differenza (simmetrica): A Δ B
A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Esempio

X = IN
A = { 2n + 1 / n ∈ IN } = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... }
B = { n ∈ IN / 5 ≤ n ≤ 12 } = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
B \ A = { 6, 8, 10, 12 }

Esercizio

A ∩ B = {1,3,13...}
A △ B = {1,3,6,8,10,12,13}

Elementi di logica matematica

Proposizione logica

Valori di verità assegnabili (oggettivamente) (vero o falso)

Esempi

p = "6 è un numero pari" V
V* = "Torino è lontana da Roma"
!z = "Milano è più lontana di Torino da Roma"
Fs = "6 ≤ 7" V

Negazione logica

¬p = non p
¬p è vera se p è falsa
¬p è falsa se p è vera

P ¬P
V F
F V

Esempio

p = "π è un numero razionale" F
¬p "π non è un numero razionale" V
ℚ̅= ℝ \ ℚ

Congiunzione logica

p ∧ q (et)
p ∧ q è vera solo se p e q sono vere
p ∧ q è falsa in tutti gli altri casi

p    q    p ∧ q
V    V    V
V    F    F
F    V    F
F    F    F

Disgiunzione logica

p ∨ q (vel)
p ∨ q è falsa se p e q sono false
p ∨ q è vera in tutti gli altri casi

p    q    p ∨ q
V    V    V
V    F    V
F    V    V
F    F    F

Anteprima

Vedrai una selezione di 13 pagine su 57