Appunti Analisi 1

Teoria degli insiemi

• Lettere maiuscole: insiemi
• Lettere minuscole: elementi dell'insieme

x ∈ X

Enumerazione: X = {x₁, x₂, x₃, ...}

{x ∈ X / p(x)}

proprietà caratteristiche (che deve essere soddisfatta da x)

• Insiemi numerici:

• N: insieme dei n° naturali (parte da zero)
• Z: relativi (0, ±1, ±2...)
• Q: razionali: {m/n / m ∈ Z, n ∈ N, n ≠ 0}
• R: reali
• C: complessi

∅ = insieme vuoto, ovvero non contiene elementi

Inclusione: X ≠ ∅, A ⊆ X oppure A ⊂ X

A sottoinsieme di X

⊆ = incluso

⊂ = propriamente incluso

Esempio: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

∅ è sicuramente incluso in ogni insieme

Insieme delle parti di X = ℘(X), l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

Esempio: X = {a, b, c} cardinalità=3 elementi

℘(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X}

cardinalità ℘(X) = 2ⁿ elementi = 2³ = 8 elementi

complementare

C_XA = {X ∈ X / X ∉ A} = insieme degli elementi di X che non stanno in A

Esercizio: A ∩ B = {1, 3, 13, …}

A ∪ B = {1, 3, 6, 8, 10, 12, 13}

Elementi di logica matematica (6 - 12)

Proposizione logica: Valori di verità assegnabili (vero o falso) oggettivamente

Esempi: p = "6 è un numero pari" V

x = "Torino è lontana da Roma" !

z = "Milano è più lontana di Torino da Roma" F

s = "6 < 7" V

- Negazione logica: ￢p = non p

   - ￢p è vera se p è falsa

   - ￢p è falsa se p è vera

Esempio: p = "π è un numero razionale" F

￢p "π non è un numero razionale" V

ℝ = ℝ \ ℚ

Predicato logico enunciato che diventa una proposizione logica quando si fissano gli argomenti.

Esempio: p(x)="x è un numero pari"

p(7) è F   p(10) è V

Esempio: X = docenti universitari.

P(x,y)= "x e y sono docenti dello stesso ateneo"

P(Tabacco, Saracco) V

Nota: le operazioni logiche si applicano ai predicati:

"p(x), p(x) ∨ q(x)"...

Nota: legami con le operazioni insiemistiche

A={x∈X/p(x)};   ∠A={x∈X/¬p(x)}

B={x∈X/q(x)}

A∪B={x∈X/p(x)∨q(x)}

A∩B={x∈X/p(x)∧q(x)}

Quantificatori:

• ∀ = per ogni (universale)
• ∃ = esiste (esistenziale)
• ∃! = ed è unico

0 è un minorante ma anche ∀ x≥0 è un minorante.

A=[-2,4] insieme limitato ⇒ A ⊆ [-2,4]

[3,+∞) inferiormente limitato

A= { ⁿ/_n+1 : n∈ℕ }= [0,¹/₂,²/₃,³/₄,...]

0 < ⁿ/_n+1 < 1 ∀ n∈ℕ o è un minorante 1 è un maggiorante

A ⊂ [0,1]

Massimo: A ⊂ ℝ ammette massimo se

∃ x_n∈A / x≤x_n ∀ x∈A

x_n è sempre un maggiorante di A e appartiene all'insieme A

Minimo: A ⊂ ℝ ammette minimo se

∃ x_m∈A / x_m ≤x ∀ x∈A

x_m è sempre un minorante di A e x_m∈A

Nota: A ammette massimo/minimo se superiormente/inferiormente limitato

Esempio: A= {ⁿ/_n+1 : n∈ℕ }

0 < ⁿ/_n+1 < 1

1=1 è il più piccolo dei maggioranti, ma non è il massimo

Proprietà:

n, k ∈ ℕ    0 ≤ k ≤ n

1. _nC_k = _nC_n-k = ^n!/_k!(n-k)! → _nC_k = _nC_n-k
2. _nC₀ = _nC_n = 1
3. _nC₁ = _nC_n-1 = n → n = ⁿ/_n = n
4. _nC_k = _n-1C_k-1 + _n-1C_k    con 0 ≤ ​k ≤ n, n > 1

= ^(n-1)!/((_k-1)!(_n-1-(k-1))!) + ^(n-1)!/(_k!(n-k-1)!)

= ^k!n-k/_k!(n-k)! =

= ^(n-1)!n/(_k!(n-k)!) = ^n!/(_k!(n-k)!) = _nC_k

Ho preso solo k!(n-k)! perché gli altri fattori sono contenuti al loro interno. Inoltre, ho raccolto (n-1)!

Triangolo di Tartaglia:

            (0)                    (1)      (1)

(  1)        (1)     (2)          (1)     (2)   (1)(1)    (3)   (3)  (1)

  (3)    (3)     (3)

Nota: la scelta del nome della variabile è ininfluente.

y = F(x) = 4 · xx · F(y) = 4 · ys = F(t) = 4 · t

rappresentano tutte la stessa funzione

Immagine e controimmagine (26-29)

f: domf ⊆ X → Y

A ⊆ X

f(A) = {F(x) : x ∈ A} ⊆ imf

immagine di A attraverso f

y ∈ Y

f⁻¹(y) = {x ∈ domf: f(x) = y}

controimmagine di y attraverso f

È l'insieme di tutti gli x ∈ domf che hanno come immagine y

È un sottoinsieme di domf

Nota: se y ∉ imf ⟹ f⁻¹(y) = ⌀

B ⊆ Y, f⁻¹(B) = {x ∈ domf: f(x) ∈ B} ⊆ domf

f(x) = |x| ≠ iniettiva né suriettiva

f(x) = sign(x) ...

Considerando f: [0, +∞) → [0, +∞)

f(x) = xⁿ con n pari

→ La funzione è biiettiva (ho ristretto l'insieme di partenza e quello di arrivo)

Funzione inversa (31-32)

f: dom f ⊂ X → Y iniettiva

f^-1: im f ⊂ Y → dom f

dom f^-1 = im f

im f^-1 = dom f (dominio e immagine invertito)

Nota: f è invertibile ⟺ È iniettiva

{ (y, f^-1(y)) | ∈ Y } × x: y ∈ dom f^-1 = f(x), x ∈ X | x ∈ dom f

→ Ho scambiato le componenti delle coppie di R(f),

Ho ribaltato la funzione rispetto a y = x.

Funzioni composte (36-37)

f: domf ⊆ x → y

g : domg ⊆ y → z

Applico in successione le due funzioni:

h : domh ⊆ x → z ➝ h(x) = g(f(x))

h = g∘f

x ∈ dom g∘f ⇔ x ∈ dom f ∧ f(x) ∈ dom g

dom g∘f ⊆ dom f

Nota: g∘f ≠ f∘g (non è commutativa)

Esempio: f(x)= ¹/_x g(x)= ¹/_1+x

h(x) = g∘f(x) = g(¹/_x) = ¹/_1+¹/x = ^x/_1+x

k(x) = f∘g(x) = f(¹/_1+x) = ¹/_¹/1+x = ¹/_1+x

Nota: f, g iniettive ➝ g∘f iniettiva

(g∘f)^-1 = f^-1∘g^-1

Nota: f, g monotone ➝ g∘f monotona

se f e g sono monotone dello stesso tipo ➝ g∘f è crescente

Negli altri casi g∘f è decrescente

y = cotanx

(0, π) → ℝ

f^-1(x) = arccotan(x)

Limiti (I_x)

Intorno: x_o ∈ ℝ, r > 0

I_r(x_o) = (x_o - r, x_o + r) = {x ∈ ℝ: |x - x_o| < r}

↳ intorno di x_o di raggio r

Nota: {I_r(x_o), r > 0} famiglia di intorni di x_o (al variare di r)

se r₁ < r₂ ⇔ 0 ⟼ I_r1(x_o) ⊂ I_r2(x_o)

se x₁ ≠ x₂, ∃ r > 0 ⟼ I_r(x₁) ∩ I_r(x₂) = ∅

↳ gli intorni non hanno punti in comune

Definizione: +∞, -∞ , a > 0

I_a(+∞) = (a, +∞)

I_a(-∞) = (-∞, -a)

se a₂ < a₁ ⟼ I_a2(+∞) ⊂ I_a1(+∞)