Analisi 1: Teoria ed esempi (prof. Piccirillo)

Insiemi

lunedì 17 settembre 2018 12:25

Devono esistere concetti primitivi, non ulteriormente scindibili per poter dare una definizione.

Un insieme è concetto primitivo che indica una pluralità di oggetti e si indicano con le lettere maiuscole.

Gli oggetti sono chiamati elementi e si indicano con le lettere minuscole. È possibile descrivere un insieme nel seguente modo:

X = { a, b, 1, 4/3 }

Possono presentarsi più elementi uguali, ma non vanno ripetuti nella descrizione sopra riportata. Due insieme si definiscono uguali se

sono costituiti tutti da elementi uguali. X = Y

Si dice che un elemento appartiene ad un insieme :

Si dice che un elemento non appartiene ad un insieme :

Quindi ogni elemento di X appartiene ad Y e viceversa. Se esistono elementi di un insieme che non appartengono all'altro, ma un

insieme ha tutti gli elementi di un altro si dice che è un sotto insieme. Es:

H = { 1, a}

X = { 1 ,2, a, b, c}

Quando un insieme è costituito da un solo elemento si chiama singleton.

L'insieme vuoto è un insieme privo di elementi, introdotto per velocizzare

l'espressione di molti concetti successivi, nonostante il contro senso della

definizione stessa, si indica con:

Ogni elemento di B è anche elemento di A

Il quantificatore universale si esprime negli insiemi e intende per ogni, o qualunque…

Il simbolo logico :

Ogni volta che accade l evento alla sua sinistra avviene anche l evento alla sua destra.

Una condizione necessaria è una condizione che deve essere vera per verificare un evento, in caso contrario non

può essere verificato.

Il simbolo non esclude una uguaglianza. Es: È stato trovato almeno un elemento x nell'insieme A che

non sta nell' elemento B :

A : { 1,a,7,b,e}

B : {1,7,b}

C : {a,1,7,e,b} Può anche essere scritto con " : "

Include o strettamente contenuto, esiste almeno

un elemento in A che non è contenuto in B. B è

un sottoinsieme di A.

Operazioni degli insiemi

Generano un nuovo insieme Unione

A, B A u B = { x A o x B } È inclusiva

Vengono presi gli elementi appartenenti

ad un insieme o ad un altro

A : { 1, 7, e}

B : { 1, a, 5}

A u B : { 1, 7, e, a, 5

} Intersezione

Si prendono gli elementi che sono presenti in entrambi gli insiemi

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Intersezione

Si prendono gli elementi che sono presenti in entrambi gli insiemi

Non esistono elementi che

appartengono ad entrambi gli insiemi.

Si dice che i due insiemi sono disgiunti.

Differenza

Sono gli elementi di A che non stanno in B

A \B

Si dice A meno B

Proprietà L'intersezione è commutativa

A u B = B u A

L'unione è commutativa : L'intersezione è associativa

A u ( B u C) = (A u B) u C

L'unione è associativa:

L'unione e intersezione sono distributive di una rispetto all'altra:

Dimostrazione } associativa Leggi di Morgan per lunedì

} distributiva

Bisogna osservare due casi, quello in cui x appartiene ad A e quello in cui x appartiene all'intersezione tra B e C ( quindi appartiene sia B

che a C). ∈ ∪ ∈ ∪

Nel primo caso si osserva la seconda operazione insiemistica e si nota che X A B e x A C sono soprainsiemi di A e quindi gli

elementi di esso sono appartengono all'intersezione tra i due, e quindi anche x appartiene a tale insieme.

∈ ∪ ∈ ∪

Nel secondo caso x appartiene sia a B che a C, quindi x A B e x A C .

∈(A∪B)∩(A∪C ∈

Deve valere anche il viceversa, cioè se x )⇒ x A∪(B∩C).

∈

Sia dunque il generico elemento x (A∪B)∩(A∪C); per esso è possibile che

∈ ∉

X A o viceversa che x A (e certo non altri casi !).

∈ ∈ ∪ che è quanto volevasi dimostrare.

Se x A è evidente che avremo x A (B∩C)

∉

Se invece x A, pur appartenendo sia ad A∪B che ad A∪C ne deduciamo che

∈ ∈ ∈ e per ciò stesso A∪(B∩C).

deve essere sia x B che x C: dunque x B∩C

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∈ ∈ ∈ e per ciò stesso A∪(B∩C).

deve essere sia x B che x C: dunque x B∩C

(leggi di De Morgan) Siano A, B e C insiemi. Allora

∪ ∩ (A \ C);

(1) A \ (B C) = (A \ B)

∩ ∪

(2) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).

∈ ∪ ∈ ∪

Dimostrazione. (1). Sia x A \ (B C), allora x A e x 6∈ B C. Quindi

∈

x A , x 6∈ B e x 6∈ C.

In particolare, perciò:

∈

x A

{ x 6∈ B

e ∈

x A

{ x 6∈ C ∈ ∈

da cui segue, rispettivamente, x A \ B, e x A \ C.

∈ ∩ (A \ C). Abbiamo cos`ı provato l’inclusione:

Dunque: x (A \ B)

∪ ⊆ ∩ (A \ C).

A \ (B C) (A \ B)

∈ ∩ (A \ C); allora x ∈ ∈

Viceversa, sia x (A \ B) A \ B e x A \ C. Cioè:

∈

x A , x 6∈ B e x 6∈ C.

Ora, da

{ x 6∈ B

x 6∈ C ∪ ∈ ∪

, segue x 6∈ B C, e pertanto x A \ (B C); dimostrando così

l’inclusione inversa

∩ ⊆ ∪

(A \ B) (A \ C) A \ (B C) ∩ ∪

e dunque l’uguaglianza (A \ B) (A \ C) = A \ (B C).

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Insiemi numerici

lunedì 24 settembre 2018 09:02

Insiemi i cui elementi sono numeri.

I numeri naturali o interi naturali sono semplicemente quei numeri utilizzati per contare. Si rappresentano con la lettera N.

N : { 1,2,3 …}

n< n+1

0 è l' elemento neutro dell'addizione. 1 è l' elemento neutro della moltiplicazione …

L' insieme N non è soddisfacente perché l'operazione della sottrazione è possibile effettuarla solo se:

Nell'insieme N il prodotto dei primi interi naturali si denota con il fattoriale:

1*2*…. (n-1) * n = n!

0! = 1

L' insieme dei numeri relativi si rappresenta con Z.

Z : {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}

È ora possibile effettuare senza restrizioni l' operazione di sottrazione. È possibile vedere

geometricamente il concetto di tale insieme attraverso una retta orientata dove è stato preso un punto

che la divide in due semirette:

La divisione non è una operazione sempre svolgibile, quindi anche Z non è soddisfacente:

L'insieme dei numeri razionali si rappresenta con Q:

I numeri razionali sono positivi quando i segni sono concordi, negativi se discordi.

numeratore

rappresentazione

frazionaria denominatore

Oltre a esprimerli sotto frazione è possibile rappresentare sotto forma decimale i numeri di Q.

Se esiste un numero con cifre decimali infinite esiste una parte che si continua a ripetere chiamato periodo.

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Due numeri si dicono primi tra loro ( o ridotto ai minimi termini) se l'unico termine comune è 1 .

proprietà

(Q, +, *) commutativa

associativa

distributiva reciproco

Un campo è una struttura algebrica nella quale le proprietà di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà

sopra elencate. Il sostegno sono le operazioni necessarie per definire il campo. Es: (Q, +, *)

Un campo totalmente ordinato è un campo in cui si è in grado di confrontare due numeri contenuti in esso e capire

se uno è maggiore, minore o uguale rispetto ad un altro, si dice che hanno una relazione di ordine.

Se si considerano due numeri razionali esiste sempre un numero compreso tra essi. Si dice che Q è denso.

È possibile rappresentare l'insieme Q sempre nella stessa maniera attraverso una retta orientata.

Due segmenti P e Q sono commensurabili se esiste un numero razionale n/m tale che P = (n/m)Q.

Q non è soddisfacente visto che non è commensurabile tra 0 e 1. Anche perché in Q non è risolvibile

Una dimostrazione è composta di una ipotesi(condizioni) e una tesi.

Una di queste tecniche di dimostrazione è quella per assurdo. Si parte col pensare che la tesi sia falsa per arrivare ad una

contraddizione, ovvero nell'affermare un fatto platealmente falso, oppure dimostrare che l'ipotesi sia falsa.

Dimostriamo che non esista un numero razionale il cui quadrato è 2. Ragioniamo per assurdo e ammettiamo che in realtà esista.

È assurdo, entrambi sono pari e non primi tra loro, quindi non esiste un numero

razionale il cui quadrato è 2

Sono necessari numeri decimali di infinita lunghezza non periodici per riempire i "buchi" di Q. Questi numeri sono definiti irrazionali. Questi numeri sono inclusi

nell'insieme reale R.

Ha le stesse proprietà elencate di Q.

(R; +, *)

Con X si denoterà l'insieme dei numeri razionali o reali

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Sono necessari numeri decimali di infinita lunghezza non periodici per riempire i "buchi" di Q. Questi numeri sono definiti irrazionali. Questi numeri sono inclusi

nell'insieme reale R.

Ha le stesse proprietà elencate di Q.

(R; +, *)

Con X si denoterà l'insieme dei numeri razionali o reali

Un insieme si dice limitato superiormente: Se si considera R allora k può essere sia razionale che irrazionale rispetto a

considerare Q che era solo razionale

Nel caso E sia limitato superiormente, K è un maggiorante di E

Insieme limitato inferiormente h è un minorante di E

Quando un insieme E è limitato sia superiormente che inferiormente, l'insieme E si dice limitato.

Minimo e massimo di un insieme

Se nell'insieme E si trova un elemento minore uguale di tutti gli altri elementi di questo insieme, esso si chiamerà minimo. È un minorante dell'insieme E

(invece di considerare l'insieme di X come prima)

È sensato trovare il minimo di un insieme E se limitato inferiormente, avendo dei minoranti, ma bisogna anche verificare che ne esista qualcuno appartenente ad E.

Un insieme finito è sicuramente sempre limitato e ha sempre quindi un minimo e

un massimo

Non potendo dire quale sia il minimo, non esiste…

Il massimo di un insieme E è un numero maggiore o uguale di tutti gli altri elementi di E. E deve essere limitato superiormen te.

Se viene preso un insieme come ad esempio E e rappresentato graficamente, per notare i buchi di Q consideriamo il segmento che lo

3

rappresenta e poi rappresentiamo allo stesso modo i maggioranti, si nota che i maggioranti appartengono ad R, se escludiamo l a radice di 2

allora diventa razionale, ma notiamo il buco tra tali segmenti.

Si chiama proprietà di continuità o di Dedekind. Si dice struttura completa se in una struttura è verificata tale proprietà.

Se è vera la proprietà allora se un insieme è limitato inferiormente allora l'insieme dei minoranti ha un massimo.

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R rappresentato geometricamente

Valori assoluti e proprietà 1.Usiamo la disuguaglianza triangolare aggiungendo e sottraendo |y| ad |x|.

2.Eseguiamo la stessa operazione su |y|

3.Consideriamo nel primo membro |y| (eliminando x -x) e portiamo a destra |x|

Se prendiamo il modulo di |x| -|y| sapremo che è minore o uguale di |x -y| per le proprietà dei moduli

prima spiegati

Sottoinsiemi di R, Intervalli Intervallo limitato di R(limitato inferiormente e superiormente) e chiuso/compatto

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Sottoinsiemi di R, Intervalli Intervallo limitato di R(limitato inferiormente e superiormente) e chiuso/compatto

a deve essere minore di b, ad esempio [-1,1] esiste,

ma [1,-1] =

Intervalli

non limitati

chiusi(a

appartiene) E solo necessario il verso di percorrenza, ma non l origine per rappresentarlo

Effettuiamo l`intersezione

Semiretta negativa di origine a Semiretta positiva di origine a

Intervallo non limitato superiormente

Intervallo non limitato inferiormente Intervalli aperti non limitati

Intervallo limitato aperto

Intervalli limitati semi aperti

raggio del segmento

Centro dell'intervallo

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Potenze, logaritmi e principio di induzione

giovedì 11 ottobre 2018 20:15

Potenze radice

n esima di a

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Esempio voglio addizionare i primi n interi naturali e trovare il valore.

Controlliamo mano a mano la veridicità della nostra formula ipotizzata.

Non potremo mai dire con certezza se la formula è verificata visto che sarebbe necessario controllare ogni caso.

Allora usiamo il principio. Prendiamo un n e verifichiamo che la formula sia vera.

0

Ammesso che per un certo n la formula vada bene bisogna verificare che anche per n+1 sia la stessa cosa. 1. Fisso un numero per n e verifichiamo la disequazione per quel valore

2. Si ammette per ipotesi (induttiva) che valga anche per il generico valore n+1

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Concetto di funzione

lunedì 5 agosto 2019 18:55

Prodotto cartesiano (operazione insiemistica)

L'insieme è costituito da coppie ordinate il cui primo elemento appartiene

ad A e il secondo a B

Una coppia ordinata è un concetto primitivo in cui è insito l' ordine

E' l'insieme di tutte le coppie ordinate dei numeri reali

Per rappresentare geometricamente questo insieme vengono usate due rette non parallele e avente una origine( un punto di intersezione tra esse)

ogni retta rappresenta un insieme che bisogna essere espresso. Nel sistema cartesiano le rette sono perpendicolari (mutualmente or