Analisi 1: Teoria ed esempi (prof. Piccirillo)

TEOREMA SUL LIMITE DELLA FUNZIONE COMPOSTA

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Funzione continua in un punto

giovedì 14 marzo 2019 10:19

Una funzione è sempre continua in punti isolati, quindi tutte le successioni sono continue.

Prendiamo il caso in cui x0 è punto di accumulazione per X

Quindi basta che x0 appartenga ad X, ma può esserci il caso in cui sia di accumulazione

Una funzione si dice continua in X se in ogni suo punto la funzione è continua.

Teorema di continuità delle funzioni elementari

Le funzioni elementari sono continue in tutti i punti del proprio dominio (visto che ogni punto del dominosono punti di accumulazione vale (rapporto tra una funzione costante e una composta)

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Discontinuità in un punto

lunedì 18 marzo 2019 10:15

Si dice che x0 è punto di discontinuità per f se:

1. x0 appartiene ad X ma f non è continua in x0
2. x0 non appartiene ad X (ma è di accumulazione)

accumulazione)Diremo che x0 è punto di discontinuità eliminabile se si presenta una delle due seguenti eventualità:

Analisi 1 Pagina 67Si dice che x0 è punto di discontinuità di f se:

Analisi 1 Pagina 68Rapporto tra funzioni infinite/infinitesimegiovedì 21 marzo 2019 09:15Se non regolare si dirà che il rapporto non è confrontabile

Analisi 1 Pagina 69Analisi 1 Pagina 70Teoremi sulle funzioni continue (degli zeri)lunedì 25 marzo 2019 09:04Presa una funzione f continua in un intervallo compatto D, si ammetta che il prodotto tra le immagini degli estremi della funzione sia minore di zero, allora esiste almeno un punto per il quale la funzione assume valore zero.(Tecnica dei dimezzamenti successivi)Consideriamo il punto medio c dell'intervallo [a,b]Andiamo a fare l'immagine di tale punto, ed essa può essere o 0 (verificando il teorema) o diverso da 0Nel caso l'immagine sia diversa da 0 allora andiamo a

Considerare l'intervallo di estremo c che verifichi dinuovo l'ipotesi, ovvero in modo che gli estremi siano opposti. Con questo nuovo intervallo andiamo a ad iterare il procedimento precedente fino a quando troveremo un punto la cui immagine della funzione è 0. Con questo procedimento troveremo sicuramente almeno uno zero oppure ci avvicineremo molto, con un errore a noi noto. Se non riusciamo a trovare il punto succede che:

Analisi 1 Pagina 71 (per teorema sulla permanenza del segno, dato che una potenza pari non può essere negativa, al massimo può essere uguale a 0). Se la funzione è continua e monotona esiste solo uno zero.

È possibile estendere il teorema dimostrando che la tesi vale per un intervallo non compatto e di un infinito. Dobbiamo ragionare con i limiti (visto che a o b possono essere infiniti ed f(a) o f(b) non possono essere definiti in questi casi). Visto che l'argomento tende a 1 e il log a 0.

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73Asintoto obliquolunedì 25 marzo 2019 11:00 Analisi 1 Pagina 74

Teorema dei valori intermedi e di Weierstrasslunedì 1 aprile 2019 09:03 Teo. di Bolzano detto anche dei valori intermedi

Sicuramente il codominio è un intervallo

Se una funzione è continua in un intervallo compatto, il codominio è un intervallo compatto(di conseguenza avrà sicuramente un minimo e un massimo).

Rispetto al precedente teorema riusciamo ad esplicitare il tipo di intervallo del codominio di f(che è compatto)

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Derivata per un punto di una funzionelunedì 1 aprile 2019 09:31

Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua in esso:

Quindi è inutile osservare la continuità di una funzione in un punto in caso sappiamo già che sia derivabile in tale punto.

E' possibile trovare un punto di flesso a tangente verticale effettuando la derivata della funzione nel suopunto di ascissa e verificando che sia

infinita.Per disegnare degli esempi di non derivabilità nei casi in cui la derivata sx e dx sono diverse disegniamoprima le tangenti e poi possiamo ricavarne degli esempi

Punto angoloso: punto del grafico di f nell'ascissa del quale la f non è derivabile ma almeno una delle due derivate (sx o dx) esiste finita.

Cuspide: un punto del grafico di f ne quale f ha derivata sx e dx infinite con segno opposto

Quindi le cuspidi sono solo di due tipi:

L'insieme di derivabilità di f è costituita da tutti i punti di ascissa per la quale la tangente per f per taleascisse è obliqua.

Per punti di X non appartenenti a X' ci saranno punti angolosi, cuspidi o punti di flesso a tangente verticale per essi.

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Se una funzione si può derivare a qualsiasi ordine si dice indefinitamente derivabile.

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Teorema sulle derivatelunedì 1 aprile 2019 14:21 Analisi 1 Pagina 78

Derivabilità funzioni

possono anche essere punti angolosi

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Esempi di limite in casi di indeterminazione

lunedì 8 aprile 2019 09:12

Funzione razionale: rapporto tra due polinomi

Basta osservare i fattori di grado più alto al numeratore e al denominatore, essendo funzioni infinite vale la relazione di confronto tra due funzioni infinite. In questo caso hanno stesso ordine.

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I casi di indeterminazione dei casi di potenza si affronta in egual modo a quelli di

Se verifichiamo che è pari allora possiamo lavorare su una restrizione di f

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Teorema sui punti stazionari (Fermat, Rolle, Lagrange)

lunedì 15 aprile 2019 09:07

Dimostrazione teorema di Fermat

Se si considera il segmento tra i punti f(a) e f(b) esiste almeno una retta tangente per un punto della funzione parallela a questo segmento.

In realtà Lagrange e Rolle ottengono lo stesso risultato, ma Lagrange lo dimostra in

Una situazione più generica. Analisi 1 Pagina 88

Si ragiona per assurdo, nel caso esistesse tale intervallo la derivata della funzione in almeno un punto di esso sarebbe uguale a zero, cosa impossibile per l'ipotesi.

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Teorema de l'Hopital

Si occupa solo in forme di indecisione che coinvolgono i rapporti, ovvero i casi di indecisione che coinvolgono rapporti tra infinitesimi o tra infiniti. (Il limite del rapporto delle due funzioni è uguale al limite del rapporto delle derivate delle due funzioni) Questo limite è particolarmente articolato per applicare de l'Hopital, si cercano quindi altri metodi prima di tutto.

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Teorema di prolungamento della derivabilità

Lunedì 29 aprile 2019 10:19

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Funzione convessa/concava

Lunedì 29 aprile 2019 10:30

Definizione geometrica: Prendendo qualsiasi due punti della funzione se si traccia la secante tra essi, se la

funzione è non aldi sopra di tale secante la funzione si dice convessa

Abbiamo bisogno di trovare degli strumenti per calcolare una eventuale concavità/convessità vista la elevata complessità di v erifica per definizione:

Questo secondo teorema si ricava dal primo, dovendo studiare la monotonia di f' studiamo il segno della sua derivata.

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Punto di flesso a tangente orizzontale

lunedì 29 aprile 2019 14:15

Condizione necessaria(NON SUFFICIENTE) per trovare un punto di flesso, la derivata seconda della funzione in tale punto deve essere 0.

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Differenziabilità, Taylor e Mac Laurin

lunedì 29 aprile 2019 14:26 f è differenziabile nel punto x0 se il limite:

Ovvero se il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore di dx

Se non riusciamo a studiare una funzione è possibile approssimarla, l'idea è diprendere due punti x0 e x0+dx, se consideriamo la tangente nel punto P0

Possiamo stimare il valore di f(x₀ + dx) con il punto P₁, ma bisogna essere sicuri che l'errore di approssimazione sia minimo.

Derivabilità equivale a differenziabilità in funzioni ad 1 incognita.

È possibile approssimare una funzione in un intorno di 0 con un polinomio di grado superiore all'1?

SI, più piccolo vogliamo che sia l'errore più possiamo far salire il grado del polinomio. Lo dimostra un teorema: Questa volta il limite esiste.

Essendo tale funzione continua possiamo sostituire x con 0, ma di nuovo ci troviamo un caso di indecisione 0/0.

Quindi tentiamo di riapplicare de l'Hopital su questo nuovo rapporto.

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Scrivere la formula di Mac Laurin di ordine n delle seguenti funzioni:

Analisi 1 Pagina 95 Prendendo il polinomio di Taylor di grado 4 avremo un resto di errore minore di 1/100.

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Serie numeriche giovedì 2 maggio 2019 09:53

Assegnata una successione a ne costruiamo un'altra s (successione

delle somme parziali della successione a )n n n

E' la coppia ordinata tra le successioni

Serie numerica di termine generale a si indica con:

n E' una simbologia che indica la somma di n finiti valori della successione a

(Ricorda che appunto stiamo effettuando una somma di finiti valori, non sapiamo come affrontare la somma tra infiniti valori!!!)

Il carattere della serie numerica di termine generale an è la proprietà di regolarità della successione sn, ovvero, se la successione sn converge allora si dice che la serie numerica di termine generale an ha il carattere della convergenza

Se sn converge s è la somma della serie

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Serie notevoli

lunedì 6 maggio 2019 08:59 Se in una serie cambio un numero finito di termini non viene alterato il comportamento al limite (quindi il carattere), visto che deve essere verificato definitivamente, tuttavia se il