Appunti di Analisi Matematica 1 - Analisi 1

Corso: Edile - Architettura

Massaruti Francesco

WWW: www.mat.uniroma1.it/~cilibepi

Ricev.: martedì 9:45/10:30

Analisi Matematica I

I semestre

orari:

• lun. 11:30/13:15 Aula1
• merc. 11:30/13:15 Aula1
• giov. 14:00/15:15 Aula3

Prof. Emanuele Ciliberti

Teorema 1

Non esiste alcuna frazione ^m/_n tale che (^m/_n)² = 2.

Dimostrazione. Per Assurdo (P.A.). Faccio finta che sia vero il contrario di quello che devo dimostrare.

Quindi: P.A. esiste ^m/_n t.c. (^m/_n)² = 2.

Si ha: ^{m2 = 2_n2 → m è pari (il suo quadrato è pari)}

m = 2k

(2k)² = 2n²

2k² = n²

anche n è pari perché il suo quadrato è pari.

Contraddizione: Se sono pari tutti e due non possono essere anche primi (minimo non più divisibili).

Quindi è assurdo supporre che esisto ^m/_n t.c. (^m/_n)² = 2.

Parte Serie

Definizioni di Massimo Minimo Maggiorante Minorante

Definizione di Massimo e Minimo:

Def. A ⊂ R diremo che X₀ ∈ A è massimo/minimo di A (X₀ = Max/Min (A)) se ∀X ∈ A X ≥ X₀.

Definizione di Maggiorante e Minorante:

Def. A ⊂ R diremo che X₀ ∈ R e maggiorante/minorante di A se ∀X ∈ A X ≤ X₀.

• Esempio A = [0, 1]
  • o = Min(A) ma anche minorante.
  • Appartiene ad A ed
  • è il più piccolo.

Operazioni e relazioni tra insiemi

1. Definizione 1: Unione

   Dati A e B definiamo A ∪ B l'insieme degli oggetti che stanno in A o in B.

2. Definizione 2: Intersezione

   Dati A e B definiamo A ∩ B l'insieme degli oggetti che stanno sia in A che in B.

3. Definizione 3: Differenza

   A - B: l'insieme degli oggetti che stanno in A ma non in B.

4. Definizione 4: Complementare

   Dato un insieme U (universo) ed A ⊂ U definiamo A^c = {x ∈ U / x ∉ A} (tutto - A).

5. Definizione 5: Inclusione

   A ⊂ B se ogni elemento di A appartiene a B. ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

Proprietà operazioni tra insiemi

Teorema:

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

1. A ∩ (B ∪ C)
2. (A ∪ B) ∩ A

> ∃ I a x t₀ t₁ c I ⊂ A

> I ⊂ B∪A, (x è intorno di A∪B)

⇒ I ⊂ I x t₀ c I ⊂ B

Quindi x è interno ad A∪B; questo vuol dire che per ogni x∈A∪B, A∪B è aperto.

N.B. Se i due insiemi di cui ce una funzione non si definiscono insiemi aperti, l’unione non è propriamente aperta.

∀ x : A∩B ≠ ∅ x∈A∩B

tale che, A = aperto se ∃p > 0 t.c. Iᵢf_a(x) ⊂ A

anch A e B = aperto se ∃p/2 > 0 t.c. Iᵢf_b(x) ⊂ B

premi (p₁, p₂), sì ho

• Iᵢf_a(x) ⊂ Iᵢf(x) ⊂ A
• Iᵢf_b(x) ⊂ Iᵢf(x) ⊂ B

Dimostrazione 2.

A e B = chiusi (A e B quali equilibri)... sfruttiamo i complementari

(A∩B)¯ = A¯ ∪ B¯ = aperto perché unione di aperti

(A∪B)¯ = P ¬ ∩ B ¬ = aperto parecchie intersezioni di chiusi

ESEMPIO

U = _n∈N ∩ ^{1 / n+1, +∞} = ]0; +∞[

= _k∈N ∪ ^{-n±1, +∞}

[±∞, +∞[∩[−1/2, +∞[∪[−1/3, +∞[∪ ... ∪[−1/4, +∞) n _infiniti

<→ U <

[−n+1, +∞)

[−∞, +∞[ ∪ (1/3, +∞] ∪ (1/3, +∞] ∪ ...

[−n+i, +∞])

• [±∞, +∞[
• [−∞, +∞[
• [−∞, +∞[
• [−∞, +∞
• [−∞, +∞
• [−∞, +∞

modi seguenti:

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A t.c. f(a)=b.

ESEMPIO: P3, 8, 10, 11 a 1, 3.

1. f: ℝ → ℝ

x → x²

• se prendo (-1,1) — No INIETTIVA
• f(a) = f(-a) => 1-1(f)? No quindi!
• No SURRIETTIVA perché ∀ y negati non sono ottenuti
• ad esempio 1 < |x| nessun x soddisfa f(x)=-1
• No BIETTIVA

2. f: ℝ → ℝ₊

x → x

• No INIETTIVA (come primo)
• SURRIETTIVA si perché ∀ b ∈ ℝ² x² b ha soluzioni
• No BIETTIVA

3. f: ℝ₊ → ℝ₊

x → x²

• INIETTIVA si perché X₁, X₂ ≥ 0 t.c. X
• SURRIETTIVA no (come 1^o), perché f(x)=-1
• BIETTIVA no

4. f: ℝ → ℝ

x → -x²

• -INIETTIVA SURRIETTIVA E BIETTIVA
• FUNZIONE COMPOSTA:

Relazione 3

Detti A, B, C insiemi e g: A → B

e f: B → C

definiamo f∘g: A → C

ed è la funzione che manda ogni a ∈ A nell'elemento f(g(a))

OSS: La composizione non è commutativa

f∘g composizione si esprime:

f∘g(a)

e g∘f: f(g(x))

c < p < c

Corollario

Tutte più facili di 1 forse sì che il sia pùi facile di 1.

Esempio 2. (proprietà degli insiemi)

lim n → +∞ 1+∞

∀ ε > 0 ∃ N t.c. ∀ n > N ➝ | x - λ |

Per ogni λ che prendo c’è sempre un n₀ che lo supera e un n che supera n₀.

Esempio 3. Pari → dispari -1

(a_n)=(-1)ⁿ

non ha limite.

o_n→+∞ o_n→0.

...n.c. non esiste frontiera che non viene sempre rotta.

Prendere x, 2|x| non supera la frontiera.

o_n→+∞ → basta prendere 2. No!

- Se limite t.c. a_n →? λ ?

(-1)* . +.

π/2 -π/2 limite.

(-) - - >

Stai frequentemente fuori

Idem non è più che il limite sia limite con dispari. Stai spesso.

Teoremi (unicità del limite)

Dato (a_n) se il suo limite esiste allora è unico.

• Dimostrazione P.A. supponiamo che l₁, l₂ ∈ ℝ distinti t.c. a_n→l₁ e a_n→l₂

Basta prendere un ε più piccolo della metà della dist. Preso ε=3/0 t.c. ∀ n > N₁, avo che |a_n - l₂| < ε. 2|a_n - l₂|

Se a_n ... intorni (cioè disgiunti).

2)

Voglio ora dimostrare che:

∀ε > 0... |a_n b_n - l| < ε

a_n b_n - l = = (a_n - b_n) (l - b_n) (l - L)

Quindi ∃ K > 0 t.c. ∀n ∈ N |b_n| ∈ K

∀K quindi... |b_n - L| |a_n - l| + |l| + |b_n - L|

Quartini def.: m...|a_n| |l| ge... • m... e dal m... so che: |b_n| < ε / 2K; ε / 2L

Bisogna... del primo

3)

Osservando che a_n → 1... esiste |a_n - b_n|... ε... 0

n ➝ ∞ a>0 a^1/n➝1 a^1/n➝0

1 ^casoa ➝ 1/2

0^χ

a ➝ δ ... ➝ 0

1 ⁿ

2 ... ➝ s(0) ➝ (g^b)n

II ^caso caso al generico positivo ^χ:0⁰0

log a(c^{k log n})

b ➝ log b^{c... ...} - a^2α

non si conclude nulla

(6) _lim

n log n n ➝ ∞

log n log n log n ➝ 0... ➝ 0

log^ax