Appunti di Analisi Matematica 1 - Analisi 1

Corso: Edile - Architettura

Massarut Francesco

Prof. Emanuele

Rit. martedì 8/9, 5/10:30

Analisi - Matematica II Semestre

Orario delle lezioni

• Lun 11:30/13:15 Aula 3
• Merc 11:30/13:15 Aula 4
• Giov 14:00/17:15 Aula 3

Corso: Edile - Architettura

Massaru Francesco

www.mat.uniroma1.it/~Ric

Ric. martedì 8/9, 5/10:30

Lun. 11:30/13:15 Aula 3

Merc. 11:30/13:15 Aula 4

Giov. 14:00/15:00 Aula 3

Analisi - Matematica II Semestre

Argomenti teoria analisi

• Insiemistica
• Successioni
• Funzioni
• Differenziabilità
• Integrali
• Serie

I lezione analisi matematica - 3/10/18

Argomenti - I semestre

1. Successioni
2. Funzioni (limiti e continuità)
3. Differenziabilità
4. Integrali
5. Integrali in senso improprio
6. Serie

Questo serve come approccio: assiomi (postulati), dimostrazioni e teoremi pur non essendo stati dimostrati sono considerati veri.

Numeri e insiemi

• Reali
• Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, n} - Insieme dei numeri naturali.
• Numeri Interi: Z = {..., -2, -1, 0, +1, +2, ...} - Insieme dei numeri interi (anche i negativi).
• Numeri Razionali: Q = {^m/_n | m ∈ N, n ∈ N, n ≠ 0} - Insieme di tutte le frazioni.
• Es: ²/₃ e ⁴/₆. Infatti i razionali sono frazioni.
• Reali: R - Insieme dei numeri, godendo anche di limiti e illimitati periodici (sia periodici che non). Illimitati periodici.

Inizio: consideriamo le proprietà mediante o assioma di R (0, 1, 2, ...) – sia un corpo totalmente ordinato e completo.

Limiti

R - insieme dei reali, illimitati periodici. Corpo totalmente ordinato perché (Teorema 1) non esiste alcuna frazione ^m/_n tale che (^m/_n)² = 2. Dimostrazione: Per Assurdo (P.A.). Faccio finta che sia vero il contrario di quello che devo dimostrare. Assumiamo ∃m_n tale che (^m/_n)² = 2. Si ha: m² - 2n² = > m è pari (il suo ² è pari) m = 2k. (2k)² - 2n² / divido × 2. 2k² = n², anche n è pari perché il suo quadrato è pari. Contraddizione: Se sono pari tutti e due non possono essere anche primi (minimo non più divisibili). Quindi è assurdo supporre che esista ^m/_n tale che (^m/_n)² = 2.

Parte seria

Definizioni di Massimo, Minimo, Maggiorante, Minorante.

Definizione di massimo e minimo:

Dato A ⊆ ℝ diciamo che X_o ∈ A è massimo/minimo di A (X_o = Max/Min(A)) se ∀X ∈ A X ≤ X_o.

Definizione di maggiorante e minorante:

Dato A ⊆ ℝ diciamo che X_o ∈ ℝ è maggiorante/minorante di A se ∀X ∈ A X ≤ X_o.

Esempio A = [0,1]: 0 = Min(A) ma anche minorante.

Definizione di estremo superiore e inferiore

Dato A ⊆ ℝ e λ ∈ ℝ diciamo che λ è estremo superiore/inferiore di A (λ = sup/inf A) se λ = min{m ∈ ℝ / x è maggiorante di A}. Es. Sì è il maggiorante minimo → Mon dritto che ↑ moEnd↑. E è il minorante massimo → se ∃1 lo chiama cos. Esempio Q: (ad es. numeri razionali) ℚ. Il massimo non c'è perché non c'è razionale, ma ha sicuramente dei maggioranti.

Definizione di superiormente e inferiormente limitato

Dato A ⊆ ℝ diciamo che A è superiormente/inferiormente limitato se ha almeno un maggiorante/minorante. Se per A è limitato sia superior che inferiore, allora diciamo che è limitato.

Teorema di completezza

Dato A ⊆ ℝ, se A è superiormente/inferiormente limitato, allora sup/inf{A} esiste in ℝ. Dimostrazione omessa.

Teorema 3: Proprietà Archimedea

∀λ ∈ ℝ ∃n ∈ ℕ t.c. n > λ. Quindi: non c'è il massimo λ che non sia superato dai numeri n e non c'è il massimo λ che sia maggiore dei n naturali. Quindi ℕ non ha maggioranti.

Dato un numero reale λ c’è sempre...