Appunti di Analisi Matematica 1 - Analisi 1

Corso : Edile - Architettura

Massarut Francesco

Prof. Emanuele

Rit. martedì 8/95/10:30

Analisi - Matematica I

I Semestre

LUN 11:30/13:15 Aula3

MERC 11:30/13:15 Aula4

GIOV 14:00/17:15 Aula3

Corso: Edile - Architettura

Massaru Francesco

www.mat.uniroma1.it/~

Ric. martedi 8/95/10:30

LUN. 11:30/13:15 Aula 3

MERC. 11:30/13:15 Aula 4

GIOV. 14:00/15 Aula 3

ANALISI - MATEMATICA I

I SEMESTRE

Argomenti Teoria Analisi:

• Insiemistica
• Successioni
• Funzioni
• Differenziabilita.
• Integrali.
• Serie.

I LEZIONE ANALISI MATEMATICA - 3/10/18

ARGOMENTI - I SEMESTRE

1. Successioni
2. Funzioni (limiti e continuità)
3. Differenziabilità
4. Integrali
5. Integrali in senso improprio
6. Serie

Questo serve come approccio:

• Assiomi (postulati), dimostrazioni e teoremi pur non essendo stati dimostrati sono considerati veri

Reali

Naturali

N = {0, 1, 2, 3, n} - Insieme dei numeri naturali.

Interi

Z = {..., -2, -1, 0, +1, +2, ...} - Insieme dei numeri interi (anche i negativi).

Razionali

Q = {^m/_n | m ∈ N, n ∈ N, n ≠ 0} - Insieme di tutte le frazioni.

Sbagliata

ES: ²/₃ e ⁴/₆ infatti i razionali son frazioni.

Reali

R - Insieme dei numeri, godendo anche limiti e illimitati periodici (Sia periodici che non). Illimitati periodici.

Inizio

• Consideriamo le proprietà mediante o assioma di R
• (0, 1, 2, ...) - Sia un corpo totalmente ordinato e comp.

Limiti

• R - insieme dei reali, illimitati periodici
• Corpo totalmente ordin. àché (< 5/1) illimitati non periodici.

Teorema 1

Non esiste alcuna frazione ^m/_n tale che (^m/_n)²=2.

• Dimostrazione: Per Assurdo (P.A.). Faccio finta che sia vero il contrario di quello che devo dimostrare.
• Assumiamo ÷P: ∃m_n tale che (^m/_n)²=2.
• Si ha: m²-2n²=>m è pari (il suo² è pari)
• m=2k
• (2k)²-2n²/divido ×2.
• 2k²=n²
• anche n è pari perché il suo quadrato è pari.

Contraddizione: Se sono pari tutti e due non possono essere anche primi (minimo non più divisibili).

Quindi è assurdo supporre che esista ^m/_n tale che (^m/_n)²=2.

Parte Seria

• Definizioni di Massimo, Minimo, Maggiorante, Minorante
• Definizione di Massimo e Minimo:

Dato A⊆ℝ diciamo che X_o∈A è massimo/minimo di A (X_o=Max/Min(A)) se ∀X∈A X≤X_o.

Definizione di Maggiorante e Minorante:

Dato A⊆ℝ diciamo che X_o∈ℝ è maggiorante/minorante di A se ∀X∈A X≤X_o.

Esempio A=[0,1]

• 0=Min(A) ma anche minorante.
• A tinieme ad A ed è il più piccolo.

Definizione di Estremo Superiore e Inferiore

• Dato A ⊂ ℝ e λ ∈ ℝ diciamo che λ è estremo superiore/inferiore di A (λ = sup/inf A) se λ = min{m ∈ ℝ / x è maggiorante di A}

ES. SÌ e il maggiorante minimo → Mon dritto che ↑͜ moEnd↑.E è il minorante massimo → se ﹣1 lo chiama cos.

ESEMPIO Q: (ad es. numeri razionali) ℚ

Il massimo non c'è perché non c'è razionale, ma ha sicuramente dei maggioranti

Definizione di Superiormente e Inferiormente Limitato

• Dato A ⊂ ℝ diciamo che A è superiormente/inferiormente limitato se ha almeno un maggiorante/minorante.
• Se per A è limitato sia superior che inferiore, allora diciamo che è limitato.

Teorema di Completezza

Dato A ⊂ ℝ, se A è superiormente/inferiormente limitato, allora sup/inf{A} esiste in ℝ.

Dimostrazione Omessa

Teorema 3

Proprietà Archimedea

∀λ∈ℝ ∃n∈ℕ t.c. n > λ

Quindi:

• Non c'è il massimo λ che non sia superato dai numeri n e non c'è il massimo λ che sia maggiore dei n naturali.
• Quindi ℕ non ha maggioranti.

Dato un numero reale λ c’è sempre