Analisi matematica 1

Scuola di Ingegneria

Analisi matematica 1

Prof: Claudio Marchi

Allievo: Marco Campagnaro

Canale: 4

Anno accademico: 2015/2016

Elementi di logica

Definizione di proposizione

Una proposizione o enunciato è una frase che possiede un valore di verità ben definito: o è vera o è falsa.

Esempi:

• Tutte le rose sono fiori V
• Tutte le tigri sono pesci F
• Tutti i numeri sono pari F
• Tutte le sedie sono comode: non è una proposizione poiché è una questione soggettiva

Connettivi logici

Le proposizioni possono essere legate fra loro da connettivi logici; sono 5:

• Negazione, simbolo ¬, si esprime con "non": data la proposizione P, la proposizione ¬P (non P) è vera/falsa se solo se P è falsa/vera.

Esempi:

• ¬ tutte le rose sono fiori F
• ¬ tutte le tigri sono pesci V
• ¬ tutti i numeri sono pari V

• Congiunzione, simbolo ˄, si esprime con "e": date due proposizioni P e Q, la proposizione P˄Q (P e Q) è vera solo quando P e Q sono entrambe vere.

Tabella di verità:

• Disgiunzione, simbolo ˅, si esprime con "o": date due proposizioni P e Q, la proposizione P˅Q (P o Q) è vera solo quando almeno una delle due proposizioni è vera.

Tabella di verità:

• Implicazione, simbolo ⇒, si esprime con "implica" o con "se P allora Q": date due proposizioni P e Q, la proposizione P⇒Q (P implica Q) è falsa solo quando P è vera e Q è falsa.

Tabella di verità:

• P⇒Q viene anche espresso come:
  • P è condizione sufficiente per Q
  • Q è condizione necessaria per P
• In P⇒Q si usa indicare P come ipotesi e Q come tesi.

• Doppia implicazione, simbolo ⇔, si esprime con "P se solo se Q": date due proposizioni P e Q, la proposizione P⇔Q (P se solo se Q) è vera quando P e Q sono entrambe vere o entrambe false.

Tabella di verità:

• P⇔Q viene anche espresso come:
  • P è condizione necessaria e sufficiente per Q
  • e viceversa

Esercizio

Verificare che "P⇒Q" e "¬P˅Q" hanno la stessa tabella di verità:

Osservazioni

• La proposizione "P˄(P⇒Q)⇒Q" è una tautologia, cioè è sempre vera indipendentemente dai valori di verità di P e Q. Ne deduciamo che se P˄(P⇒Q) è vera, allora deve essere vera anche Q. Questo modo di ottenere Q è detto modus ponens, in altre parole voglio avere Q allora provo che: se P è vera, P⇒Q è vera.
• Date due proposizioni P e Q:
  • ¬(P˄Q) è vera se solo se (¬P)(¬Q) è vera
  • ¬(P˅Q) è vera se solo se (¬P)˄(¬Q) è vera
  • ¬(P⇒Q) è vera se solo se P˄(¬Q) è vera
  • P⇒Q è vera se solo se (¬Q)⇒(¬P) è vera: quest’ultima viene detta dimostrazione per assurdo.

Definizione di predicato

Un predicato o proprietà è una frase la cui verità dipende dai valori che vi compaiono.

Esempio:

Il numero n è dispari. Questo predicato è vero per n=3 ma falso per n=4.

Un predicato diventa una proposizione se ogni variabile che vi compare assume un valore preciso o che varia con una legge ben determinata. Nel secondo caso si usano i quantificatori; sono 3:

• Quantificatore universale, simbolo ∀: dato un predicato P(x), la proposizione ∀x: P(x) [per ogni x tale che P(x)] è vera se solo se, per ogni valore di x, il predicato P(x) è vero.
• Quantificatore esistenziale, simbolo ∃: dato un predicato P(x), la proposizione ∃x: P(x) [esiste x tale che P(x)] è vera se solo se esiste almeno un valore x per il quale il predicato P(x) è vero.
• Quantificatore esistenziale unico, simbolo ∃!: dato un predicato P(x), la proposizione ∃!x: P(x) [esiste un unico x tale che P(x)] è vera se solo se esiste un unico valore x per il quale il predicato P(x) è vero.

Esempi:

• ∀x: x è pari V {2,4,6} ∈
• ∀x: x è pari F {3,6,8} ∈
• ∃x: x è pari V {3,6,8} ∈
• ∃!x: x è pari F {3,6,8} ∈

Osservazioni sui quantificatori

• Bisogna prestare attenzione all’ordine dei quantificatori all’interno della proposizione poiché non possono essere invertiti.
• Quando si vuole negare una proposizione in cui compare un quantificatore, bisogna seguire la regola:
  • ∀x: P(x) ha negazione ∃x: ¬P(x)
  • ∃x: P(x) ha negazione ∀x: ¬P(x)

Esempio:

• Sia A un insieme di studenti. ∀x ∈ A: x ha occhi verdi ha negazione ∃x ∈ A: x non ha occhi verdi
• ∃x ∈ A: x si chiama Mario ha negazione ∀x ∈ A: x non si chiama Mario

Sommatorie

Definizione: siano x₁, x₂, ..., x_n dei numeri, scriveremo ∑_i=1ⁿ x_i per indicare la somma x₁ + x₂ + ... + x_n.

Più in generale, dati n₀ e n₁, con n₀ < n₁, e dati i numeri x_n0, x_n0+1, ..., x_n1, scriveremo ∑_i=n0ⁿ¹ x_i per indicare la somma dei numeri x_n0 + x_n0+1 + ... + x_n1.

Esempio:

∑_k=0³ 1/2^k = 1/2⁰ + 1/2¹ + 1/2² + 1/2³

Proprietà delle sommatorie

• ∑_i=1ⁿ C ∙ a_i = C ∙ ∑_i=1ⁿ a_i
• Le due sommatorie devono avere lo stesso intervallo: ∑_i=1ⁿ a_i + ∑_i=1ⁿ b_i = ∑_i=1ⁿ (a_i + b_i)
• In particolare, con m=1: ∑_i=1ⁿ⁺¹ a_i = ∑_i=1ⁿ a_i + a_n+1
• ∑_i=1^n+m a_i = ∑_i=1ⁿ a_i + ∑_i=n+1^n+m a_i
• ∑_i=1ⁿ a_i = ∑_i=1^m a_i
• ∑_i=1ⁿ a_i = ∑_j=1ⁿ a_j

Principio di induzione

Teorema (forma del principio): sia n₀ un numero naturale; per ogni n naturale con n ≥ n₀, sia P(n) una proposizione.

Se:

• 1. P(n₀) è vera
• 2. P(n) è vera (allora) P(n+1) è vera per ogni n ≥ n₀

Allora P(n) è vera per ogni n ≥ n₀.

"Dimostrazione" per induzione (va eseguita solo con numeri naturali):

• P(n₀) è vera per il punto 1
• Applicando il punto 2 con n=n₀ si ottiene che P(n₀+1) è vera
• Applicando il punto 2 con n=n₀+1 si ottiene che P(n₀+2) è vera
• ...

Dimostrazione (vera) per assurdo:

• Si afferma che ∃n: P(n) è falsa = numero elevatissimo
• Per il punto 2 P(n-1) deve essere falsa
• A ritroso arrivo a dire che P(n₀) è falsa, contraddice il punto 1

Esempio di induzione

Esempio: Dimostrare che ∑_i=1ⁿ i = n(n+1)/2 ∀n ≥ 1

Dimostrazione per induzione:

• Verifico che per n=1 è vera: ∑_i=1¹ i = 1(1+1)/2
• Suppongo che sia vera per n (cioè ∑_i=1ⁿ i = n(n+1)/2, chiamata ipotesi induttiva) e dimostro che sia vera per n+1, cioè devo dimostrare ∑_i=1ⁿ⁺¹ i = (n+1)(n+2)/2
• Per la proprietà 3 delle sommatorie: ∑_i=1ⁿ⁺¹ i = ∑_i=1ⁿ i + (n+1)
• Applico l’ipotesi induttiva al primo termine: n(n+1)/2 + (n+1)
• m.c.d. = (n+1)n/2 + 2(n+1)/2
• Ottengo ciò che volevo dimostrare: (n+1)(n+2)/2

Esempio: Dimostrare che ∑_k=0ⁿ r^k = (rⁿ⁺¹-1)/(r-1) ∀n ∈ ∀r ≠ 1 (progressione geometrica).

Dimostrazione per induzione (eseguito su n in quanto numero naturale):

• Verifico che per n=0 è vera: ∑_k=0⁰ r^k = (r⁰⁺¹-1)/(r-1)