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!x : x è pari F
{3,6,8}
∃ ∈
Osservazioni:
bisogna prestare attenzione all’ordine dei quantificatori all’interno della proposizione poiché non
possono essere invertiti
quando si vuole negare una proposizione in cui compare un quantificatore, bisogna seguire la regola:
x: P(x) ha negazione x: “¬P(x)
∀ ∃
x: P(x) ha negazione x: “¬P(x)
∃ ∀
Esempio:
sia A un insieme di studenti.
x A: x ha occhi verdi ha negazione x A: x non ha occhi
∀ ∈ ∃ ∈
verdi x A: x si chiama Mario ha negazione x A: x non si chiama Mario
∃ ∈ ∀ ∈
Sommatorie n
Definizione: siano dei numeri, scriveremo (sommatoria per i che va da 1 a n di x con i) per
∑
x , … ,x x
1 n i
i = 1
indicare la somma .
x + x + ... + x
1 2 n
Più in generale, dati e , con , e dati i numeri , scriveremo
n n n < n x , x , … ,x
0 1 0 1 n n n
0 0+1 1
n1 per indicare la somma dei numeri .
∑ x + x + … + x
x n n n
i
i = n0 0 0+1 1
Esempio: 1 1 1 1
2
∑ = + +
2 2 2 2
k = 0 k ‒ 3 0 ‒ 3 1 ‒ 3 2 ‒ 3
Proprietà delle sommatorie:
n n
1. ∑ ∑
= C ∙
C ∙ a a
i i
i = 1 i = 1
n n n
2. le due sommatorie devono avere lo stesso intervallo
∑ ∑ ∑
+ =
a b (a + b )
i i i i
i = 1 i = 1 i = 1
n+m n n+m n+1 n
3. in particolare, con m=1
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
= + = + a
a a a a a n + 1
i i i i i
i = 1 i = 1 i = n + 1 i = 1 i = 1
n n+m
4. ∑ ∑
=
a a ‒ m
i i
i = 1 i = 1 + m
n n
5. ∑ ∑
=
a a
i j
i = 1 j = 1
Principio di induzione
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