Syllabus Analisi Matematica 1

G

Sia e una sua primitiva, allora

f :[ab] = − =

→R a

a

Dimostrazione:

€ x

€ ∫ f (t)dt

Consideriamo = una primitiva (per il teorema fondamentale del calcolo integrale).

F(x) €

a

G

Se è una primitiva = + costante (per la caratterizzazione delle primitive).

G(x) F(x) a

€ ∫

F(a) f (t)dt 0 0 c

Quindi ma

G(a) F(a) c G(a)

⇒

= = = +

= +

€

€ € € a

e possiamo scrivere .

G(x) F(x) G(a)

= +

x

∫ G(b) F(b) G(a)

F(x) f (x)dx

Ora e

= = + €

€

€ €

€

a b

€ ∫

G(b) G(a) F(b) f (x)dx

e dunque .

− = = a

€

€ 62. Dare la definizione di integrale generalizzato su intervalli illimitati per funzioni non negative.

Scrivere poi anche la definizione di integrale generalizzato su intervalli limitati per funzioni non

€

negative.

Intervalli illimitati: 0

Sia continua su e . Si dice che è integrabile in senso generalizzato su se

[a [a

f f f

≥

• + ∞) + ∞)

b

+∞

∫ ∫

f (x)dx f (x)dx l R

lim

= = ∈

b → +∞

a a

e si dice che l’integrale converge. Se il limite è l’integrale diverge e la funzione non è

f

+∞

€

€ €

€ € €

integrabile su .

[a + ∞) 0

Sia continua su e . Si dice che è integrabile in senso generalizzato su se

(−∞a] (−∞a]

€ f f f

≥

•

€ €

a a €

∫ ∫ €

l R

f (x)dx lim f (x)dx = ∈

= c → −∞

€ c

−∞

e si dice che l’integrale converge. Se il limite è l’integrale diverge e la funzione non è

f

+∞

€

€ €

€ € €

integrabile su .

(−∞a] € 0

Sia continua su e . Si dice che è integrabile in senso generalizzato su

(−∞ (−∞

f f f

≥

• + ∞) + ∞)

€ se € €

a

+∞

∫ ∫

€ l R

f (x)dx lim f (x)dx = ∈

= b → −∞ c → −∞

€

€ €

€ € €

c

−∞

e si dice che l’integrale converge. Se il limite è l’integrale diverge e la funzione non è

f

+∞

integrabile su .

(−∞ + ∞) €

€ Intervalli limitati: € €

0

Sia continua su [a b) e . Definiamo

f f ≥

• €

b x

∫ ∫

f (t)dt lim f (t)dt

= −

x b

→

a a

e diremo che è integrabile su [a b) se il limite è finito. Se il limite è l’integrale diverge e la

f +∞

€

€ €

funzione non è integrabile su [a b).

f

€ €

€

€ 0

Sia continua su (a b] e . Definiamo

f f ≥

• b b

∫ ∫

f (t)dt lim f (t)dt

= +

x a

→

a x

e diremo che è integrabile su (a b] se il limite è finito. Se il limite è l’integrale diverge e la

f +∞

€

€ €

funzione non è integrabile su (a b].

f

€ 0

Sia continua su (a b) e . Definiamo

f f ≥

• €

€

b c x

∫ ∫ ∫

€ f (t)dt lim f (t)dt lim f (t)dt

= +

+ −

x a x b

→ →

a x c

e diremo che è integrabile su (a b) se il limite è finito. Se il limite è l’integrale diverge e la

f +∞

€

€ €

funzione non è integrabile su (a b).

f

€ 63. Enunciare il criterio del confronto per gli integrali generalizzati su intervalli illimitati (o limitati,

€

€

a scelta).

€

Intervalli illimitati:

g

Siano e continue su con per (è sufficiente che valga questa condizione

x a

[a

f 0 f (x) g(x) ≥

+ ∞) ≤ ≤

per ) allora:

x →+∞

+∞

∫ g(x)dx

se converge è integrabile su [a

f

⇒

• + ∞)

€

€

€ €

€ a

+∞

€ ∫ f (x)dx g

se diverge non è integrabile su [a

⇒

• + ∞)

a € €

€

Intervalli limitati:

€ x

g

Siano e continue su [a b) con per [a b) allora:

f 0 f (x) g(x) ∈

≤ ≤

€ €

b €

∫ g(x)dx

€ se converge è integrabile su [a

f

⇒

• + ∞)

a

b €

€ €

€ ∫ f (x)dx g

se diverge non è integrabile su [a

⇒

• + ∞)

a € €

€

€

64. Enunciare il criterio del confronto asintotico per gli integrali generalizzati su intervalli illimitati.

g 0

g €

Siano e continue su con e allora:

[a

f f 0 ≥

€

+ ∞) ≥

€

€ +∞ +∞

f (x) ∫ ∫

lim l R \ {0} f (x)dx g(x)dx

se converge converge

⇔

= ∈

• x → +∞ g(x) a a

(cioè se )

f (x) g(x)l

≈

€

€ €

€ €

+∞ +∞

f (x) ∫ ∫

lim 0 g(x)dx f (x)dx

se allora se converge converge

⇒

=

• €

x → +∞ g(x) € €

€ a a

(cioè se per )

x

f (x) o(g(x)) →+∞

=

€ +∞ +∞

f (x) ∫ ∫

lim g(x)dx f (x)dx

se allora diverge diverge

⇒

= +∞

• €

x → +∞ g(x) € €

€ a a

(cioè se per )

x

g(x) o( f (x)) →+∞

= €

€ €

65. Enunciare il criterio del confronto asintotico per gli integrali generalizzati su intervalli limitati.

€ €

€ g 0

g

Siano e continue su [a b) con e allora:

f f 0 ≥

≥

€

€ f (x)

lim l R \ {0} g

se è integrabile su [a b] è integrabile su [a b]

f ⇔

= ∈

• −

x b

→ g(x) −

x

(cioè se per )

f (x) g(x)l →b

≈

€ €

€ €

f (x)

lim 0 g

se se è integrabile su [a b] è integrabile su [a b]

f

⇒

=

• €

€ €

−

x b

→ g(x)

€ €

€ € €

€

€ −

x

(cioè se per )

f (x) o(g(x)) →b

=

f (x)

lim g

se se diverge diverge

f

⇒

= +∞

• −

x b

→ g(x) €

€ −

x

(cioè se per )

g(x) o( f (x)) →b

= € € n

€ R

66. Scrivere la definizione di intorno sferico per x per n = 2 e n = 3. Definire un insieme aperto,

∈

€ 2

chiuso, limitato in R . €

€ di raggio

n

0 0

R

x x 0

Sia , si chiama intorno sferico di e si indica con

δ

∈ >

€

n 0 n 10 2 20 2 0 2 2

{x R | x x | }

B ( ) {x R (x x ) (x x )

= … x ) }

δ

δ ∈ − < = ∈ − + − + δ

+(x − <

0 1 2 n n

x €

€

€

€ € 2 2 2

B ( ) {(x, y) R (x x ) (y y ) }

Per n = 2 l’intorno sferico si definisce come δ δ

= ∈ − + − <

(x ,y 0 0

0 0) €

€

€

€ 2

2 2

dove indica la circonferenza di centro , raggio .

(x x ) (y y ) δ δ

x y

=

− + −

0 0 0 0

Per n = 3 l’intorno sferico si definisce come

€ 2

3 2 2 2 2 2 2

B ( ) {(x, y,z) R (x x ) (y y ) (z z ) } dove (x x ) (y y ) (z z ) δ

δ δ =

= ∈ − + − + − < − + − + −

€

€ € €

€ (x ,y ,z ) 0 0 0 0 0 0

0 0 0

indica la sfera di centro , , e raggio .

δ

x y z

0 0 0 2

67. Scrivere la definizione di per f : Domf R

lim f (x) l ⊆ →R

= €

€

€ x →∞

n €

X

Sia dove contiene un intorno di . Allora diremo

f : X R

€ € €

⊆ →R ∞ f (x) l M

R 0 0

se tale che I (M)

lim f (x) l ∀ε − <

∈ > ∃M >

• ∀x ∈

= ∞

x →∞ €

€ x M

(ossia con )

∀x > €

€

€ 0 0

€ € €

oppure se tale che

(−∞) f (x) k ( f (x) I (M)

lim f (x) ∀k > ∃M >

• > < −k) ∀x ∈

= +∞ €

€ ∞

€ x →∞ x M

(ossia con )

∀x >

€ € € 2

€

lim f (x) l

68. Scrivere la definizione di per f : Domf R

€ = ⊆ →R

€ € €

€ x x

→ 0

n

€ € x X x x

Sia , con , definita in un intorno sferico di , escluso al più . Diremo

f : X R ∈

⊆ →R 0 0 0

0 f (x) l

R 0 B ( ) \ {x }

lim f (x) l se tale che

∃δ δ

∀ε > δ

− <

∈ > ∀x ∈

=

• x 0

0

€

x x

→ 0 €

x x x x

(ossia , )

δ

∀ − < ≠

0 0

€ € € €

0 0 B ( ) \ {x }

lim f (x) oppure tale che

(−∞) ∃δ f (x) k ( f (x)

∀k > > δ

∀x ∈

= +∞

• > < −k)

se

€ € € x 0

0

€

x x

→ €

0

€ 69. Scrivere la definizione di derivata direzionale per una funzione di due variabili. Dire quando le

€

€

derivate direzionali si riducono a derivate parziali. Scrivere la definizione di gradiente.

€ €

€ € € €

€ Derivata direzionale

2 D D ( , )

Sia con aperto e e sia un versore (cioè un vettore unitario,

f : D R P (x , y ) υ υ υ

∈ =

⊆ →R = x y

0 0 0

2 2 1 ). Diremo che ha derivata direzionale i