Analisi 1 - riassunto

Teoria 2 1^a timore:

• CAMPO:

  X insieme è detto "campo" se esistono due operazioni:

  • somma: +: X × X → X _{"la d x per X x"} (a, b) ↦ a + b
  • prodotto: · : X × X → X (a, b) ↦ a · b

  e devono valere le proprietà commutativa, associativa, distributiva e devono esistere gli elementi neutri 0 e 1 ed opposti (-x e x)

• ORDINE:

  X è un campo ordinato se è un campo ed esiste una struttura di ordine su X e deve valere la proprietà transitiva

• MAGGIORANTE e MINORANTE:

  M è detto _maggiore se m ≥ x ∀ x ∈ E

  E è limitato superiormente se ∃ un _maggiorante

  E è limitato se è limitato Inf. e Sup.

• ESTREMO SUPERIORE ed INFERIORE:

  L'estremo superiore di E è il _minimo dei maggioranti se questi esistono.

  Si dicono inf (E) o sup (E)

  Se E non è limitato inf (E) si scrive inf (E) = -∞

  sup (E) = +∞

• MASSIMO e MINIMO:

  sup (E) _massimo

  - Se inf (E) ∈ E è detto _minimo di E

• CARDINALITÀ:

  A e B _insieme hanno la stessa cardinalità se ∃ una _{corrispondenza biunivoca} fra A, B con B e esiste una legge che associa ogni elemento di A ad uno solo elemento di B _o viceversa.

  Se A ha la stessa cardinalità di N, si dice che A è _numerabile

• NUMERI COMPLESSI:

  - Il campo di numeri complessi C è l'insieme C̅: {z ∈ C : z = a+ib, a,b ∈ R} con le operazioni:

  • somma: z₁ ± z₂ = (a₁ ± a₂) + i(b₁ ± b₂)
  • prodotto: z₁ · z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + i(a₁b₂ + a₂b₁)

Teoria 2 1^a lezione:

• CAMPO:

  X insieme è detto "campo" se esistono due operazioni:

  • SOMMA: + : X × X → X
  • PRODOTTO: · : X × X → X

  e devono valere le proprietà commutativa, associativa, distributiva e devono esistere gli elementi neutri ed opposti.

• ORDINE:

  X è un campo ordinato se è un campo ed esiste una struttura di ordine su X e deve valere la proprietà transitiva.

• MAGGIORANTE e MINORANTE

  M è detto maggiorante per E se m ≥ x ∀ x ∈ E

  E è limitato superiormente se ∃ un maggiorante

• ESTREMO SUPERIORE ed INFERIORE:

  L'estremo superiore di E è il minimo dei maggioranti se questi esistono.

  Si dicono inf(E) o sup(E)

  Se E non è limitato inf si scrive sup(E) = +∞

• MASSIMO e MINIMO:

  se inf(E) ∈ E è detto minimo di E

• CARDINALITÀ:
  • A e B insieme hanno la stessa cardinalità se ∃ una corrispondenza biunivoca fra A e B. Cioè ∃ una legge che associa ogni elemento di A ad un solo elemento di B e viceversa.
  • Se A ha la stessa cardinalità di N si dice che A è numerabile.
• NUMERI COMPLESSI
  • Il campo di numeri complessi è l’insieme C; z ∈ C : z = a + ib, a,b ∈ R
  • SOMMA: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂)
  • PRODOTTO: z₁ · z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + i(a₂b₂ + a₂b₁)

Elemento neutro (0 e 1); elemento opposto (-a - ib; ¹/_z)

i² = -1

|z| = √(a² + b²) > 0

|z₁ - z₂| = √((a₂ - a₁)² + (b₁ - b₂)²)

|z₂| = |w| |z| |zw| = |z| |w|

z = a - ib congugato di z

|z| = |z| =

conugati hanno lo stesso modulo

Se coniugo due volte z ottenga z

z · z =

1 = z

z₁ + z₂ = z₁ + z₂ = z₁ + z₂

FORMA TRIGONOMETRICA:

z = a + i + ib; |bsen|

a = |cos| a · |b| = b; cos|a; senb b

PRINCIPIO INDUZIONE MATEMATICA:

- + t | die a | P(n) una proprietà definita per ogni n ≥ n_o Se sono verificate le

DP(n_o) ° vero,

1) ∀ n ≥ 1 ≤ IPOTESI INDUTTIVA P(n) ad | P(m⁺1) è vera

A