Analisi 1 - riassunto

Teoria 1^a titolare:

• CAMPO:

X insieme è detto "campo" se esistono due operazioni:

• Somma: \(\times: X \times X \rightarrow X\)
• Prodotto: \(\times: X \times X \rightarrow X\)

Devono valere le proprietà commutativa, associativa, distributiva e devono esistere gli elementi neutri \((0, e)\) ed opposti \((-x \text{ e } x^{-1})\).

• ORDINE:

X è un campo ordinato se è un campo ed esiste una struttura d'ordine su X e deve valere la proprietà transitiva.

• MAGGIORANTE e MINORANTE:

M è detto maggiorante per E se: \(m \geq x \quad \forall x \in E\)

• E è limitato inferiormente se ha un minorante.
• E è limitato superiormente se ha un maggiorante.
• E è limitato se è limitato inf. e sup.

• ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE:

L'estremo superiore di E è il minimo dei maggioranti, se questi esistono.

• Si dicono \(\inf(E)\) o \(\sup(E)\)
• Se E non è limitato: \(\inf(E) = -\infty\), \(\sup(E) = +\infty\)

• MASSIMO e MINIMO:

• Se \(\inf(E) \in E\) E è detto minimo di E

• CARDINALITÀ:

• Se A e B, insieme, hanno la stessa cardinalità se fra A e B c'è un legge corrispondente che associa ogni elemento di A ad un elemento B e viceversa.
• Se A ha la stessa cardinalità di N si dice che A è numerabile.

• NUMERI COMPLESSI:

Il campo di numeri complessi C è l'insieme \(C = \{ z \in C: z = a + ib, a, b \in R \}\) con le operazioni:

• Somma: \(z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)\)
• Prodotto: \(z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_2 b_2 + a_2 b_1)\)

Elemento neutro (0 e 1) ; elemento opposto (-a,-ib; ¹/_z)

z = -1

|z| = √_a²+b² ; |z| = |w| se z = w

z = x+y

|z₁ - z₂| = √_{(a1-a2)² + (b1-b2)²} distanza tra due punti

conjugato di z

conjugati hanno lo stesso modulo

se conjugo due volte z ottengo z

z₁ + z₂; z₁ - z₂; a = z₁z₂; z₁z₂ = z₁z₂

• FORMA TRIGONOMETRICA:

z = a + ib = P (cosθ + i senθ) a = P cosθ, b = P senθ

P = √_{a² + b²} => cosθ = ^a/_P ; senθ = ^b/_P

• PRINCIPIO INDUZIONE MATEMATICA:

Sia n∈ℕ e sia P(n) una proprietà definita per ogni n∈ℕ. Se sono verificate le seguenti condizioni:

1. P(n₀) è vera.
2. ∀ n≥n₀ se P(n) è vera => P(n+1) è vera

Allora P(n) è vera ∀ n≥n₀

es: Dimostrare che P(n): ⁿ/_k=1 = n_(n+1)/² ∀ n>0

Dim:

P(1): ∑ⁿ/_k=1 = 1 = ¹⁽¹⁺¹⁾/₂ - 1 = vero

Suppongo che sia vero P(n) e verifico P(n+1) : ∑ⁿ⁺¹/_k=1 k = ^(n+1)(n+2)/₂

[(Pⁿ)

Ref. ipotesi induttiva

P(n) è vera ∀ n>1

• FORMULA di EULERO:

e^iπ + 1 = 0 ← Formula di Eulero

i² - (e^iπ/2 i) - e^-iπ/2

Prolungamento di Funzioni

ES 1: f(x) = sen x D = ℝ\{3π}

f(x) = { sen x x ≠ 0 0 x = 0

è continua in ℝ ed è detta prolungamento per continuità di f

ES 2:

DF = ℝ\{0} f(x) = (x-1) / x x ≠ 1 x ∈ DF

lim_x→0 x_x→0 = -1

Poiché i limiti destro e sinistro sono uguali e finiti allora f è prolungabile per continuità:

F(x) = -1 x=0

Infiniti e Infinitesimi

Sia _x→∞. Si dice che f(x) è:

1. Infinitesimo di ordine α per x→x₀ = 1 una costante C per cui: f(x) ≈ C (x-x₀)^α
2. Infinito di ordine α per x→x₀ tra una costante C per cui: f(x) ≈ C*
3. Infinitesimo di ordine α per x→∞ ≠ una costante C per cui: f(x) ≈ C / x^α
4. Infinito di ordine α per x→∞ da una costante C per cui: f(x) ≈ C

Altri Teoremi

• Una funzione monotona può avere solo discontinuità di salto
• Sia f: I→R continua allora f è invertibile ⇔ f è strettamente monotona
• Se f è continua in I ed è invertibile ⇔ f è anche continua

Calcolo Differenziale

• Sia f: I→R x₀ e I. f si dice derivabile in x₀ se è finito lim x₀ [f(x₀+h)-f(x₀)] / h
• Se la funzione f è derivabile nel punto x₀, → retta tangente al grafico di y=f(x) nel punto (x₀;f(x₀)) ha equazione: y = f(x₀)(x-x₀) + f(x₀)
• Teorema (Test di monotonia):

Sia f: I→R derivabile. Allora f è crescente ⇔ f' (x)≥0 x∈I

• Funzione integrale:
• Sia f, a, b ∈ R integrabile (f è limitata e le succ. di Cauchy-R. convergono e il limite non dipende dalle scelte)
• Sia x ∈ (a, b], si definisce la funzione F: (a, b] → R
• F(x) = ∫_x0^xf(t) dt - F è detto funzione integrale di f
• Integrali generalizzati:
• A) Funzioni illimitate:
• Sia f: (a, b] → R (lim f(x) = ±∞ supponiamo integrabile in [a, b-ε] ∀ ε > 0)
• Diremo che f è integrabile in senso generalizzato in (a, b] se è finito
• lim_ε→0∫_a^b-εf(t) dt =: ∫_a^bf(t) dt
• Se è finito tale limite, diremo che l'integrale di f converge per t → b
• Se il limite è ±∞ diremo che l'integrale di f diverge per t → b
• In generale: ∫₀^+∞x^αdx con ∫_a^+∞x^αdx converge ⇔ α < 1 _1°tipo
• B) Intervalli illimitati:
• Diremo che f è integrabile in senso generalizzato in [-a, +∞) se è integrabile in [-a, a] ∀ a ∈ (0, w] e ∃ finito lim_w→+∞∫_-w^wf(t)dt =: ∫_-∞^+∞f(t) dt
• In generale: ∫_-∞⁰(1/x^α) dx converge ⇔ α > 1 _2°tipo
• • Criteri di convergenza:
• 1) CRITERIO di CONFRONTO:
• Siano f, g integrabili in [a, b-ε] ∀ ε > 0 con f ≤ g, x ∈ (a, b) ⊂ R: lim_x→bf(x) = lim_x→bg(x) = +∞
• Supponiamo che 0 ≤ f(x)≤g(x) definitivamente per x→b
• Se g è integrabile in [a, b] ⇒ f integrabile in [a, b]
• 2) CRITERIO DI CONFRONTO ASINTOTICO:
• Siano f, g: (a, b) → R (lim f(x): lim g(x) ± ∞
• Se f(x) ~ g(x) ovvero φ(x) definivamente per x → b, φ(x)/g(x) = 0 ⇒ f è integrabile in tutto (a, b], b=0 ⇒ g integrabile in (a, b]
• Se f(x) ≤ g(x) ⇒ f(x) converge ⇔ g(x) converge
• 3) CRITERIO della CONVERGENZA ASSOLUTA:
• Sia f: (a, b) → R: lim_b→af(x) = ±∞
• Se ∫_a^b|f(t)|dt ≤ ∞ integrabile in (a, b] ⇒ f(t) integrabile in (a, b]