Riassunto Analisi 1

Successioni

- Sup. Limitata _∃M: ∀n an ≤ M (Limitata definitivamente)

- Inf. Limitata _∃M: ∀n an ≥ M

Limite di successione

_∃l: ∀ε > 0, ∃n₀: ∀n ≥ n₀, |an - l| < ε def.

• ↔ Convergente
• ±∞ Divergente
• - ∉ R irregolare

Proprietà

Teo: (Unico limite) Se convergente, valore del limite è unico.

Prop: Se convergente è limitata.

Tende da sopra: l = lim an = l + ε def.

Tende da sotto: l = lim an = l - ε

Monotona Cresc./Dec.

• _∀n: an ≤ an+1 (crescente) / an ≥ an+1 (decrescente)
• Strett. Cresc./Dec.: an < an+1 / an > an+1

Teo: (1)

• Monotona Cresc. e Sup. Lim. Convergente nel estremo sup. di {an}
• Monotona Dec. e Inf. Limitata Convergente nel estremo inf. di {an}

Corollario: {an}

• Monotona Cresc./Dec.: lim (an) = lim (am) = +∞/-∞

Relazione tra limite e ordinamento

Teo di permanenza del segno (1ª forma)

Se _{{an > 0 ∀n ≥ n₀}} a → 0 ≤ 0 allora a_n ∃ > 0 def.

Calcolo di Limiti

Teo del confronto

cn ≤ bn ≤ an ∀n ≥ n₀

lim (an) = l allora lim (bn) = l

Teo 2° Cambiamento

an <= bn ≤ cn def.

lim (an) = b then lim (bn) = c

Ordini di Infinitesimo e Infinit

{an} si dice infinitesimo se an → 0

{an} si dice infinito se an → +∞ / an → -∞

lim an / bn = 0 allora an è infinitesimo di ordine inferiore

lim an / bn = +∞ allora am è infinito di ordine superiore

lim an / bn = A → 0

azymanz → +∞ finite

Asintotica

se lim_n a_n = 1 sono asintotiche. a_n e b_n hanno lo stesso comp. al limite metodo lim

Gerarchia degli Infiniti

Potenze piu veloce del logaritmo.

F.I. lim x^1/n m log m

N.B. se i termini di ordine massimo si annullano, razionalizzo.

F.I. n⁰. (1 + 1/x)^nx E.

Limiti di Funzioni

Intorno (x₀ - δ, x₀ + δ)/(c - δ, c + δ)

Asintoto orizzontale lim x (x₀), x (c - ∞, c - δ)

Asintoto verticale lim = ∞

Oss. limite quando comportamento della funzione va in un intorno di x₀.

Limite da dx/sx: lim_{x → x0⁺} quindi f(x)₀ + δ)/(c - δ, x₀)

Teorema

Se il limite esiste è unico.

Osservazione

lim f(c) = lim f(c) → lim f(x₀) = l

Cambio del limite per successioni: lim a_n f(x)

x = lim sin(1/2(πx)) o e lim arc(1/2(f(1/x))) = 1

2 successioni differenziali all'interno del dominio hanno assoluta divergenza.

Calcolo dei Limiti

Teorema del confronto, dei due cambiamenti, perm. del segno (sostituisci l'e intorno / al defintivamente)

Continuità

f continua in x₀ se lim = f(x₀).

f continuo in (c, b) se è continua in qnn x ε (c, b/e)

Discontinuità a salto lim = lim con limiti convergenti. Seconda specie: se lim = ē oo

Se lim = f(s) sidice che è continua da dx/sx. 3° specie: ∼ lim max f(x)

Teorema

Funzioni elementari sono continui in tutti i punti del loro dominio anche se sommano o moltiplicano

Limiti Notevoli

quando lim = 0

lim x (1 + x^-2) = 2

lim x ln (x^na) = 1

lim x = 1

lim - e^-x = 1

lim x^na = 1

Conseguenze

lim tg x = 1

lim x - cos x = -π/2

Gerarchia degli Infinitesimi

(log x^-3) è più veloce di x²

x³ è più veloce di x²

lim_{x → ∞} (1/x · log 1/x) = 0

N.B. con infinitesimi i termini più importanti sono quelli di grado minore.

Serie Numeriche

∑_m=0^∞ a_m somma degli infiniti termini S_m = somma parziale: a₀+a₁+...+a_m lim _m→∞ S_m = ∑_m=0^∞ a_m somma delle serie

• Serie di Mengoli: ∑_m=1^∞1/m! S_m=1:1
• Serie Geometrica: ∑_m=0^∞a^m Divergente a≥1 Convergente 0≤|a|1 divergente 0≤∝≤1 A=∞
• ∑_m=2^∞1/(m(lnm)^∝) Convergente ∝>1 divergente 0≤∝≤1

Serie a termini positivi

• ∑_m=0^∞ a_m e a_m a termini positivi se a_m≥0 monotona crescente ⇒ ∑_m=0^∞ a_m può essere solo: convergenza divergente a=∞

Criterio del confronto

• Se a_m a termini positivi ∑_m=0^∞ a_m ≤ ∑_m=0^∞ b_m lim se a_m≤ b_m definitivamente: Se S₁ diverge → S₂ diverge
• Se S₂ converge → S₁ convergente

Criterio del confronto asintotico

• Se a_m a termini positivi ∑ a_m ∑ b_m lim (a_m/b_m) _m→∞ = l ⇒ S₁ e S₂ hanno lo stesso comportamento cioè div. a=∞ convergono.
• Ques. se una serie converge non è poss. una serie diverga Sarle non gabia (varia solo la somma della serie se è convergente)
• Quindi posso usarle criterio anche per serie con termini definitivamente positivi.

Criterio della radice

• Se a_m≤0 def. lim _m→∞ a_m^1/m = l se l > 1 serie div com. l_≤1 conv. _{non posso affermare nulla}

Criterio del rapporto

• Se a_m≤0 def. lim _m→∞(a_m+1)/a_m = l se l > 1 serie div com. l_≤1 conv. _{non posso affermare nulla}