Riassunto Analisi 1

Successioni e limiti

Successioni limitate

Sup. limitata: ∃ M: ∀m > m_M {lim. a_m ≤ M}

Inf. limitata: ∃ M: ∀m > m_M {lim. a_m ≥ M}

Limitata definitivamente

Limite di successione

Lim a_m = l ⇔ ∀ε > 0 ∃m_ε a_m ε (l-ε, l+ε) Def.

l = ±∞ ⇒ a_m > M Def.-∞

Proprietà

Teo. Unicità limite: Se convergente, il valore del limite è unico.

Prop.: Se convergente, è limitata.

Tende da sopra: l' ≥ l ∃ε a_m ε (l, l+ε) Def.

Tende da sotto: l' ≤ l ∃ε a_m ε (l-ε, l) Def.

Monotonia

Monotona cresc./decresc.: a_m ≤ a_m+1 / a_m ≥ a_m+1

Strett. cresc./decresc.: a_m < a_m+1 / a_m > a_m+1

Teoremi

Teo.: Monotona cresc. e sup. lim. ⇒ Convergente nell'estremo sup. di B (Insieme dei maggioranti)

Monotona dec. e inf. limit. ⇒ Convergente nell'estremo inf. di B

Corollario: {∃ε} Monotona cresc./dec.; l = lim inf a_m; l = any exact value

Se una successione è monotona non può essere ineguale!

Relazione tra limite e ordinamento

Teo. di permanenza del segno

• (1° Form): ∃m: a_m > 0 ∀m ≥ m₀ ⇒ l ≥ 0
• Def.: ∃m: a_m > 0
• Def.: ∀m > m₀ Def.
• (2° Form): ∃m: a_m < 0 ∀m > m₀ ⇒ l ≤ 0
• N.B. Gli uguali!

Calcolo di limiti

Teo. del confronto

a_m < b_m Def.: a_n ≈b ⇒ lim a_m ⇒ +∞

α x = x₀∃ α ∃ε: a_m < b_m Def.: +∞

Teo. Zamab: a_m ⊃ b_m Def.: a_oi ↦ o ≅b ⇐ lim c_m = b_mR_i

Corollari

Σ*φ = ∃c:∃EΣ∏, c = ½c + c ½ Def.: ∑ a_{lim → f am}

Ordini di infinitesimo e infinito

{a_n} Si dice infinitesimo se a_n → 0

{a_n} Si dice infinito se a_n → ± ∞

lim^m→0 ∃шa_x∃ε- ∃a_n à infinito di ordine inferiore. ≡ O(^-)

A_m ≤ B_M

lim^m=0 ∃ ш ∃ε ш=m / → non sono comparabilia

∞esimo di ordine superiore

∃ b∃ε &Coll;a_m / ≈ ∃SUCCESSIONISUP. LIMITATA LIM INFLIMITE DI SUCCESSIONEDEFINITIVAMENTE

Proprietà

TEO. UNICITÀ LIMITE: Se il limite esiste è unico.

Propr.: Se convergente, è limitata.

Termine da sopra

Termine da sotto

Monotona cresc./decresc.

ORDINI DI INFINITESIMO E INFINITO

<a_m> è un infinitesimo se a_m → 0

<a_m> è un infinito se a_m → ±∞

lim resto dello stesso ordine non sono confrontevoli

Asintotica se _{lim n} a_n = l sono asintotiche a_n e b_n, hanno lo stesso comp. al limite

Gerarchia degli infiniti

• Potenze più veloce del logaritmo.
• Esponenziale > Potenza
• Fattoriale > Esponenziale

Limite di funzioni

Intorno (c, x₀ + ε, x₀ - ε) / (c - ε, ε)

Asintoto orizzontale: lim_x→±∞

Asintoto verticale: lim_x→x0 = ±∞

Oss.: Limite guarda comportamento della funzione in un intorno di x₀.

Limite da Dx/Sx

lim⁺x→x₀ lim₋x→x₀ quindi f∈x₀, x₀ + δ) / (x₀ - δ, x₀)

Teorema

Se il limite esiste è unico.

Osservazione: lim f(x) = L = lim f(x)₋ l ➝ lim f_{bsup>l = l.}

Cambio del limite per successioni

lim_n→∞ a_i f() perché lim _{atn n→∞(ai-tnlim) = 1m}

Due successioni differenti all'interno del dominio hanno assoluta divergenza.

Calcolo dei limiti

Teorema del confronto, due cambi in aria, perm. del segno (sostituisci costantini al definit. variabile)

Continuità

f continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

f continua in (a,b) se è continua in o