Riassunto Analisi 1

Riassunto analisi 1

1 Insiemi cap.

Metodi di rappresentazione

Metodi di rappresentazione Aa Diagrammi Eulero Venn di - - A }{ tabulare Rappresentazione - dba c.= ,, (Tutti )¢ U #sottoinsiemi gli di insiemi universo instare sono ( B) AB AA PaA Quando f- #di sottoinsieme c proprio eµ { } Naturali 1 2,3 n= .. ., .] }{ Interi -3 2,3 -1,0 -2 1 n= . . . .,,, ,. ,. ,.&9315; { Razionali §n= .& Reali n= .

Insieme delle parti

Insieme delle parti - DE.li AA insieme sottoinsiemi Di i tutti di insieme = Intersezione ¢A- B Ah D=è Disgiunti intersezione se LA sono e Loro SE ABA NBA' Di insieme → E sotto = Proprietà intersezione e unione @ )B)( (LA B) c) An A Bunc UUncAn Associativa UC:- == , ANB BUAAUB13nA corruttiva- : = =, AAIDEM UAAAMAPOTENZA- : == , ( )B) ( c)( AUC dell' unione rispetto all' intersezione BuAn n distributiva UC: =- )( dell' )(( Distributiva intersezione B) Ancall' Rispetto BnncAu- Unione u: =( B))(An AA AU AnAUB Assorbimento- : == , tÌ Tutti ° µ AA di elementi Gli di appartenenti non ad complementare =(A) ' A= 'B)( BeAcnA Morgan di prima de Legge v- : = llAC A Principio n Escluso terzo :Del- =(B) AC Bc(DE Morgan u seconda di n- Legge : =MAC Non a contraddizione principio di- : = A&9319; Differenza AIB A Bo - Prodotto cartesiano A xD { }b) bebEA( aa.= : , A 0×0=0 Oxa× == Proprietà ( ) ( c)(B) )(U Ac Distributiva A BxcU U- x ×: = )B) ( )((( ) Bxcan Distributiva cI Axe n- =: x ( c)) B) (( C) I# A Differenza BCIdistributiva X ×- ×=: xDA A allora EC xDDEB- ECSE e ,

Relazioni

Relazioni refezione in Rb Relazioni AEA tra beAEB B binarie Axb sottoinsieme a di sono un , Parallelismo {- DPIÌÉÈÌIIÌN{ }N Rb eb entrambi Binaria Relazione in a za:- poria sono=, | Riflessiva:#ÌTIÌIÌFA Equi risurabilità- rispettano propri ⇐ HaRa .EA riflessiva a> : , Equivalenti ELEMENTI bRb Ra e allora a> Ordine =DD' } Relazione {↳ allora antiseri Rb- b R a • (a)a e XEA se Rea equivalenza EA classe di : axc := , Rbeb transitiva RcRc allora ase a A. dell' partizione insieme relazione altri elementi tutti Agli di A in elemento di è ogni con Totale :✓ loro che elementi relazione esistono A inclusione Parziale Relazione tra Di di almeno due in- sono: non_ Partizione Proprietà vuoto della partizione è insieme n e ss u n-= disgiunti partizione distinti della due insiemi- sono A formano l' è che la degli partizione insiemi unione -

Linguaggio matematico

Linguaggio matematico # TRA€0012# la attraverso dimostrazione verità enunciato dimostrata viene cui= una tipotesi che che circostanze siano- si vere assume= ottenute abol le ipotesi la dimostrazione che derivano tesi conseguenze con- = Diretta dimostrazione < per assurdo suppongo tesi falsa che la sua L'tesi se è ipotesi sarà lo falsa la anche -

Esercizi

Esercizi 1. 1 {} }{ AA 31 37,8 -15,6 11,2 549,10 2 ;3,4 -2 ;;;; ;; o== .,. , ,, }{A0A 4 7,211,32 == .. ,1 Li31. A. {0%3}} }{ {{ {}A } }{ {{A }}xez 0 }{1 dis1 -1 34 ohEx e o 3,0i:= - =. ,. , , ,, , ,}{ {Q 0 }A {=LA } R} fin Afa3 }} }2 xe x :3e: i==. ,,. , ,,,51. //{ { }} µ} f.f. BcENB b.AUE d h EnK1 i.g.ge. ec.a.== =,. ,,{ } / (( E) {B) }IA;D 'A' BlLE2 a e= =.1. 6 0 AIBBlaBla4 875B 6. AIB2 31 . .. .. .." : :*1. 8 F VF F6.F 4 5.V 7F2 fV31 ... ,. . ,1. 9965 Intlo 8F- FateInf Fntn15 F- 220 4I 35 == = =10,81. 25,112.3 3,46. 56,654. Massimo ? minimo e }{ XEQ• xraz: )(texanaxstvà+2<2 va è né va né c'→ minimo → massimo non- - ,III. }non • Indet forma . 2=02- 1 == →a- ( ) •2 nti✓-[ait SUP .

112 Insieme cap a.

Operazione interna

Operazione interna ( ) interna In che addi AadA legge ordinata elementi di insieme ogni è a ss o c i a coppia una uno un A. elemento solo di un Operazione b Ac*a c e= ordinata coppia Ab Ea , Operazioni : Addizione - Moltiplicazione - Proprietà ( b Commutativa ) b.btaatb- → at ae. = =., (Associativa c)( b)( c) la( b)a) bebe- at c→ atte+a = -.- =., (Distributiva btc)bt→ ca-aa- .. = Esistenza neutri 10t→ a a ae- an .= =. Esistenza f- a) 0 degli opposti- → ate = degli 'inverni 1a-→ a . = reciprochi.- b }{a chiuso bR, intervallo E Ea ×e :×=- - {b }• bRt' inter aperto e a× : < e×=.ano chiuso- limitato, inter non.µ 1 L→ 4L2 <3a . ..£ → L 2C-1 il2 co <<- .. ... .Q ÷ Z→ a O#pe q Econ= qeA

Definizione classi

Definizione classi. PIL B)Darei dell' EA B dell' vuoti se due insiemi sottoinsiemi insieme dice sezione si -e non , , .0EA A nbUB == Fa fb acbhaA B siee e fbA B Se fa ha che b esiste S E reale SEae si e e un n u m e ro , A elemento classi delle è ebS separatore DEDE Assioma Kina di Data ( B) APll l'elemento classi B di esiste qualunque separatore A delle sezione e una , , Massimo MEA M fa EA> a: , Hae Minimo #A Enn€ aun: , Hae A Superiormente limitato Kde: limitazione / maggioranza superiore fa Inferiormente A limitato K Eae: (inferiore limitazione minorarle A Se AA estremo all' Silp appartiene massimo di insieme superiore = Se linkA inferiore AA estremo all' appartiene di insieme minimo =

Teorema e numeri decimali

Teorema termini § ridotta minimi aib ha § solo 1 fattori 5 contiene rappresentazione 2 primi o come se una. decimale )(4,8 limitata hab da -5 rappresentazione diversi da- §2 sia 2 sia unanse .. g), decimale semplice periodica altri 2b 5 rappresentazione ha- §2 decimale numeri oppure una ese. )( 4,87T mista periodica (Massimo intera intero Dato chiama contenuto R parte in ×si XE oun , ]Ix Ixjt) Ix 1 intero ] il è <E ×di n× :. [3,2]3 < 3+1< tIx ] +1

Valore assoluto

Valore assoluto {× ±= o× > se COX se X E K KEK XE-la× 3 VK× E KXI-y×y× .× ±Yy Y× +XTY E triangolare disuguaglianza y × yx =- -

Principio di induzione

Principio di induzione NSupponiamo Se Pln) dipendenti da di insieme proposizioni me :. verifica Pci) si che è ve r a- )(che PP si Supponendo ( ) dimostra è ve r a mt ve r a n- , linea Pcn Allora ) è 1 con → ve r a Disuguaglianza di Bernoulli P )( ( ) 1 tnxe t xn :

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio A risulta temporali 1° fase fasi possibili realizzato esperimento diverse due [ min := .✓ fase possibili risulta 2° : n .indipendenti 06am Esperimento Mr su.= oggetti scelta degli : tra sceglierne K oggetti cui n Ripetizione senza - Ripetizione - con Disposizioni ( ) Ripetizioni serpilli senza Dm 1) )( (( a) retinx n n- n= - -., .. L' ha #importanza K ordine m, Permutazioni ( ) semplici Ripetizioni senza Dum !e) 2)(Pm ( 21 M3-n =.n .n= -- - . . . L' ha ordine K impor tanza n=, Disposizioni ripetizione con DInkn Nn n .ru-.. ==. . . . L' ha #importanza K ordine m, Permutazioni Ripetizione con !P~ch.ie ) n_, . . = ln° !! K (. f)-ri . .. L' ha ordine K impor tanza n=, 11 Combinazioni semplici !~)1) (( 2)(Dm n nnCm K re te- n.- . -. - =.= .× .=, ,PK ! !( )K KKI n -• L' ha importanza ordine non combinazioni Ripetizione con ) 1) a)(( (^;mt m t kcin m t k- • .Cntk n•--A- 1K = .= .= ., , !K( )-1KmaIL' ha importanza ordine 1n non -(2) HA= (E) -1tre )(2) (5) ,= = Binomio Newton di; )I( "an b "§b)( n' -a t = Formula Stirling di #! )C-nnexp=m n

Numeri complessi

Complessi mezzi ¢v. ,bia t unità immaginaria= 3=-11-32=1%-1 il parte i.1 reale = - immaginaria Parte 2 sarebbe Reale i sennò è positivo; ovviamente n non un Rb ea -↳ I numeri immaginari della parte complessi numeri reale privi = Operazioni : bi di92 at Ct== Addizione d))• ( ((2+9 atbi ( b)) ic tdi +t tatc= =( ) ( ) )() crctbdatbi ( i •adtbccadi Rodotto +• a -3 = .= .( 2+(-21--0)(b)• Opposto 2 i soddisfa a X- -= - : /(^ )2- Reciproco inverso batbi 0• # #2 # 0 0acon : o=2-1=12. 1 bi bbi ai a2- a- -- i= == = +) ( ) citta( atbi bi 'bi aztbzoetbza-+•B-° -1fa 270con=d.9a-i-etdisf.at?zai) adactbd bc-= i+-b2c e t i atbi2 = Tè 1 del la modulo complesso n= . ,bi complesso coniugato àa =- ,E =Lè 2 reale è d. un m= .2T è 5+=I à-= "È ( à ) conato= è27 5.=12 la è2= . IBIIL 1211 t disuguaglianza triangolare Etg Rappresentazione geometrica immaginario asse ← Asgardil Gauss chiama di piano b- atbi sia piano -=µ ReIb bia -=- - reale asse complesso £ 0#n . ) Forma IZI0( tico sa sin trigonometrica Z r + == In ^ O| a Re0 )IZI Iwl( )(2- xisinocosa tiµw ysin= cos= Prodotto IZIIWI )(0+4)( y)Ot(Z isinw +cos=- hache Il il modulo il complesso di complessi prodotto 2 è per nn . . prodotto moduli argomento dei la degli argomenti somma e per Formula Maistrede di )me )lz )In2- (( no(no t i sincos

Funzioni 3 cap.

Definizione

Funzioni 3cap . Definizione A f Siano funzione Una B B dall' insieme A all' dati insiemi è insieme due e una. che relazione A tra elemento elemento A ad ad B di solo B di ogni associa e uno un .f A B→:A B coincidere- possono e . trasformazione anche funzione Una denominata applicazione corrispondenza essere può- : ,, ,operatore mappa ., bA Se ilBbe corrispondente è• di dice a sie- ci e : - elemento l'all' elemento b variabile corrisponde variabile a dipendente indipendente b- l' bf (a)è di immagine a ={ } Grafico filaf EAgraf ( bAb) xDE aa.: : == ,A dominio- =B Codorninio= A hSe ho f restrizione B è C di cB sottoinsieme →A- → una e :: f funzione chiamerà funzioni ho ASe B CB composta →→ due sige ::- )(of fla (funzione of a)(g ) )cagg =fofg t go D Posso f A fare la purché f B C di composizione →→ gg- e ::f Dfl' funzione(A) sottoinsieme della di di immagine sia un .

Grafico e proprietà delle funzioni

Definizione f A grafico il B retta incontra punto solo in → ya: un → elemento il corrispondente # B SU elemento di i è almeno di Riattiva di ogni se un f (A) B= grafico il solo in retta incontra punto X in n e ss u n o un A o → elementi distinti B A elementi Iniettivo di distinti' di due di corrispondenti i sono se ( ) Biettiva b elemento solo elemento esiste Biunivoca- B se e e ogni uno un pert.ci f.A b(a)Ea =che snriertiva' iniettivo sia e biunivoca funzione costruire da partire Versa può. si: una af f-i A:B allora BA →→: A elemento lo( )' stesso ad Identità