Appunti Analisi 1

Teoria Analisi

Insiemi Numerici

• numeri naturali ℕ
• numeri interi ℤ
• numeri razionali ℚ
• numeri irrazionali
• numeri reali ℝ

• m ∈ ℕ allora m+1 ∈ ℕ
• n ∈ ℕ e m ∈ ℕ allora n+m, n⋅m ∈ ℕ

ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}

ℚ = {^p/_q} p≠0, q ∈ ℕ

= {..., √2, ...}

ℝ = {ℚ ∪ irrazionali}

Calcoli Approssimati (*)

Calcolare √2

• passo 1    ^m2 = 2    m=1    Δ=2    ^λ/₂    → m=1
• m=2    Δ=2    → 2
• passo 2    (1 + ^q/₁₀)² = 2    trovare q risolvendo
• passo 3    (1 + a/10 + b/100)² = 2    trovare b risolvendo

√2 ≈ m,ab

Principio di Induzione (*)

Permette di dimostrare la validità di una tesi

• da utilizzare quando l'enunciato è: «Dimostrare che ∀m ∈ ℕ vale...»
• stabilisce che se valgono le seguenti condizioni:
• passo 1    P(m) è vera per m=1, cioè P(1) è vera
• passo induttivo    supponendo che P(m) sia vera, ne consegue che P(m+1) è vera

P(m) ⇒ P(m+1) vera

Allora P(m) è vera per tutti gli m ∈ ℕ

Analisi Combinatorie

M = n^o oggetti totali

K = n^o sottogruppo

• Permutazioni M_n = m! = m(m-1)!

Fattoriale O! = 1

• Disposizioni → l'ordine conta k < = m D_m,k = m(m-1)(m-2)...(m-k+1)
• Combinazioni → non interessa l'ordine C_m,k = ^D_m,k/_k! = ^(m)/_(k) = m(m-1)(m-2)...(m-k+1) / k! o m! / [k!(m-k)!]

Formula del Binomio di Newton

= lim_x→0 (√x² - a√x + 3)(√x² + √x + 3) / (√x² - a + √x + 3) = - 7 / +∞ = 0

∞ con radici → razionalizzazione

Esempio: lim_x→+∞ √ax² + x + 1 / x + 1 = ∞ / ∞

= lim_x→+∞ √ax²(1 + x / ax² + 1 / ax²) / x(1 + 1/x)

= √a(√ + 1/4) = √a

LIMITI NOTEVOLI

1. lim_x→0 senx / x = 1, lim_x→+∞ senx / x = 0
2. lim_x→0 (1 - cosx) / x = 0
3. lim_x→0 (1 - cosx) / x² = 1/2
4. lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x = e, lim_x→0 (1 + x)^1/x = e

Esempio: lim_x→+∞ (1 + 1/3x)^3x = e

Esempio: lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x2, lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x(1 - 1/x²) = e

5. lim_x→0 log_a(1 + x) / x = 1 / loga _{CASO PARTICOLARE:} lim_x→0 ln(1 + x) / x = 1
6. lim_x→0 a^x - 1 / x = lna _{CASO PARTICOLARE:} lim_x→0 e^x - 1 / x = 1
7. lim_x→0 (1 + x)^k - 1 / x = k, k ∈ ℝ

FUNZIONI y = f(x)^g(x) = e^{g(x) ln f(x)}

3) se esiste un numero reale L e fissato un qualunque numero reale ε > 0 |a_n - e| < ε => -ε < a_n < e + ε si dice che la

successione CONVERGE e si scrive lim a_n = L

N.B. se L = 0, ovvero se lim a_n = 0, la successione si dice INFINITESIMA

2) se non si verifica nessuna dei casi precedenti lim a_n non esiste

e la successione si dice INDETERMINATA

Esempio: lim (n²-3n)/[(2n²+1] = lim [(1-(3/n))/1+(1/n²)]

PER RISOLVERLI => COME I LIMITI!!

SERIE NUMERICHE

data una successione di numeri reali {a_n} si chiama SERIE di

termini la somma degli infiniti termini della successione.

La serie viene indicata con Σ_m=0^∞ a_n che si legge "serie per m che va da 0 a ∞ di a_n"

S₀ = a₀

S₁ = a₀ + a₁

S₂ = a₀ + a₁ + a₂

S_m = a₀ + a₁ + ... + a_m = Σ_k=0^m a_k

La successione {S_m}

detta SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI DELLA SERIE

Se esiste il limite di S_m per m->+∞ allora Σ_m=0^∞ a_m = lim S_m =

= lim Σ_k=0^m a_k

1) se lim S_m = L ∈ R si dice che la serie CONVERGE AD L

2) se lim S_m = +∞ si dice che la serie DIVERGE A +∞

3) se lim S_m = -∞ si dice che la serie DIVERGE A -∞