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Hass, Villis, Thomas
Analisi I vetto 1
Professori Griggio e Cuccolino
MARTEDI 12.30 - 13.30 RICEVIMENTO
EDIFICIO PRINCIPALE PIANO TERRA, QUOTA 155, DIP. SCIENZE MATEMATICHE
LOGICA
INSIEMISTICA
INS. NUMERICI (N, Z, Q, R, IR)
FUNZIONI GENERALITA
FUNZIONI ELEMENTARI (potenze, radici, esponenz., logaritmi, goniometriche)
1cgtg = tgx = (tgx)-1
arctg x = tg-1(x)
a - b = ⟨f(a) - f(b)⟩
a (x) b = (x)
ogni passaggio e l'applicazione di una funzione
f si dice iniettiva se x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
⟨⟩ diagrammi di Venn
P → Q
Q → P (negazione) metodi equivalenti
(dimostri per assurdo)
dimostrato → prova che una certa implicazione è vera
⟨f(xc) = f(xc) ⟩ → x1 = x2 è vero solo se la funzione è iniettiva
nella operaz. vanno bene tutti i passaggi
rette parallele agli assi
f solo per intersec.
a ≤ b → f(a) ≤ f(b)
a(x) ≤ b(x) → f(a) ≥ f(b)
FUNZ. CRESCENTE/DECRESCENTE
- f si dice crescente se x1 ≤ x2 → f(x1) ≤ f(x2)
- decrescente se x1 ≤ x2 → f(x1) ≥ f(x2)
funz monotona (≠ sob aumentette) - si può definire al quadrato
cambio segno
iniettiva
no monotona
disequuo ma reciproco
{A → B biunivoca (e inversi bil, valli la firme inverse)
- f-1(f(x)) = x ∀x ∊ A
- f(f-1(y)) = y ∀y ∊ B
A → B
FUNZ. INVERSE E PROP. FONDAMENTALI
ex |R → (0;+∞) - log e(ex) = x ∀x ∊ R
log |(0;+∞) → R - ey ⇔ y ∀ x > 0
logaritmo
- (x2 = x ∀x > 0
√(x2 = |x| ∀x ∊ R
(√ xy) 2 = y ∀y > 0
m si dice massimo di A (maxA)
- m ∈ A
- m ≥ a ∀ a ∈ A (maggiorante ∈ A)
Supponiamo m1, m2 massimi di A
- m1 ∈ A
- m2, a ∈ A e A
- m2 ∈ A
- m2, a ∈ A e A
A = [0, +∞) limite sup m0 max
- sono uguali (prop. di un massimo)
μ(mi) si dice minimo di A (min A) se
- μ ∈ A
- μ ≤ a ∀ a ∈ A
come il max, se c'è è unico (come sopra)
Def
Se A ⊂ Re limite sup, un numero s si dice estremo sup di A
- (sup di A) se s è il minimo dei maggioranti cioè
- s ≥ a ∀ a ∈ A
- s ≤ ∀ K (maggioranti di A)
√2 = 1,x da 2
A = [1, 4) {1, 4, 1, 4 …}
numeri razionali con basi, non sempre estremo sup
[…], si usino numeri reali
si differenziano per ASSIOMA DELLA COMPLETEZZA
ogni coppia (A, B) di insiemi separati (tale che a ≤ b ∀ a ∈ A)
- ∃ almeno un elemento separatore c (tale che a ≤ c ≤ b)
- ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B
Teorema (esistenza estremo superiore)
Ogni insieme A ⊂ R, A ≠ 0 limitato superiormente, ammette estremo sup
lun dome ex. analisi
24/09/2014
f(x) = 1/xx
D = IR / {0}?
- limitate inf. = 0
- 2 varia x = lim inf. sup.
- 3 inf lim f(x) = 0
-
non lim. sup.
∀ K, ∃ xe D, P(x) = 1/K
xx = K
x log x
x > 0
x ≤ e
-
x x ≠ 0 1/
∀ ε ≠ 0, ∃ xe:
0 < ε < 1
1 < ε
log ε
x x < ε
- x < 0
- 0 < ε < 1
- 0 < x < ∞
- x < ∞
- x < 0
- log ε
K non ricande
positivi
29/09/2016
LIMITI SUCCESSIONI
(an)n converge ad ℓ ∈ ℝ se
∀ ε > 0 ∃ mε ∀ m ≥ mε |am - ℓ| < ε
(distanza arbitrariamente piccola)
† al crescere di m
(detta successione nulla)
Solo un l—pimento di punti di (+)
I punti convergono verso ℓ
am → ℓ
(an)n diverge a ± ∞ se
∀ K > 0 ∃ mK ∀ m ≥ mK
am ≥ ±K
am ↘ ±∞
L'opposto am → -∞
Se an è convergente o divergente, si dice regolare
(ammette limite)
am = (1 + 1/n)n
successione irregolare
Teoremi di calcolo
Siano (an), (bn) regolari
- an → a
- bn → b
an + bn → a + b
Limiti
- Se a = +∞ e b = ±∞ ⇒ an + bn → ±∞
- Se a = ±∞ e b = ∓∞ ⇒ an + bn → forma di indecisione
∞ - ∞
- Se a ±∞ ⇒ an - bn → a - b
- Se a → ∞ ⇒ an - bn → ±∞
Rapporto succ. diver.
- ∞/∞
- 0/0
- ∞/0
Sia a, b ∈ ℝ, b ≠ 0 ⇒ an/bn → a/b
an/bn
se bn tende a 0 oscillando (1/n (-1)n) non esiste lim perché cambia segno
bn → 0+ ⇒ bn → 0 bn → definito
bn → 0- ⇒ bn → 0 bn → 0 definito
- se a > 0 e bn → 0+ ⇒ an/bn → ±∞
- se b ±∞ o a ∈ ℝ ⇒ bn anbn o bn 0
EX.1
m tende sempre a +∞
m2/m2+4 → 0
2/m4 → 0
m3-5 → +∞
2m4-7m2+2m-5 → m4 (2/m - 7/m - 5/m4) → +∞
-4m3-5m2 → +∞
x0 e l possono essere finiti o infiniti
Sia f: D → Iℝ, x0 di accumulazione per D
Si dice che f ammette limite l per x → x0
(scr. f(x) = l)
- ∀ (xn) ⊂ D, xn → x0 → f(xn) → l
In qualunque modo mi avvicini ad x0, devo tendere a l
Se ∃ (xn)m, (x'n)m ⊂ D, x → x0, xm → x0
f(xn) → l f(xm) → l' con l ≠ l'
allora ∄ limx→x0 f(x)
∃ limx→x0 sen x
xm = m ⋅ π + π/2 → +∞
sen (xm) → γm
sen xm → 0
x1 = - π/2 + 2πn → +∞
sen (- xn) → γm
sen xn → 1
non ha limite, due valori della f (successione) hanno lim ≠
ε valori piccoli nel dominio, come anche K
δ " " " " codominio, come M
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