Hass, Villè, Thomas
Analisi, I parte 1
Professori
gozzo e chiocciola
MARTEDÌ 12.30 - 13.30 — RICEVIMENTO
EDIFICIO PRINCIPALE, PIANO TERRA, QUOTA 155, DIP. SCIENZE MATEMATICHE
LOGICA
INSIEMISTICA
INS. NUMERICI (N, Z, Q, R, IR)
FUNZIONI GENERALITÀ
FUNZIONI ELEMENTARI (potenze, radici, esponenziale, logaritmi, goniometriche)
cotx = tgx
arctgx = tau-1(x)
a ↔ b ⇔ f(a) = f(b)
a(x) = b(x)
Ogni passaggio è l'applicazione di una funzione
f si dice iniettiva se x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
diagrammi di Venn
P → Q
Q → P (negazione)
metodi equivalenti
dimostraz per assurdo
dimostraz: prova che una certa implicazione è vera
f(x1) = f(x2) ⟹ x1 = x2 è vero solo se la funzione è iniettiva — scrivi tutte
nella equaz.
vada bene tutti
passaggi
rette parallele agli assi
posso poi intersecare...
Hass, Vilis, Thomas
Analisi, parte 1
Professori
Martedì 12.30 - 13.30 → Ricevimento
Edificio principale, piano terra, quota 155, dip. Scienze matematiche
Logica
Insiemistica
Ins. Numerici (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ)
Funzioni generalità
Funzioni elementari (potenze, radici, esponenz., logaritmi, goniometriche)
cot x = 1/tgx = (tg x)-1
arc tg x = tau -1(x)
a→b ↔ f(a)→f(b)
a(x)→b(x)
ogni passaggio è l'applicazione di una funzione
f si dice iniettiva se x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
implica
diagrammi di Venn
P → Q
Q → P (negazione)
metodi equivalenti
dimostrar per assurdo
dimostri → prova che una certa implicazione è vera
f(x1) = f(x2) → x1 = x2 è vero solo se la funzione è iniettiva → nello sviluppo vanno bene tutti i passaggi
rette parallele agli assi
solo per iniettive
a ≤ b f(a) ≤ f(b)
a(x) ≤ b(x) f(a) = f(b)
FUNZ. CRESCENTE/DECRESCENTE
f si dice crescente se x1 ≤ x2 -> f(x1) ≤ f(x2)
... decrescente se x1 ≤ x2 -> f(x1) ≥ f(x2)
funz. monotona (e solo aumentamento) si può definire col grafico
disequaz, no reciproco a meno che sappiamo che termini entrambe negativi o positivi
f ↠ A → B biettiva (=invertibile, vale la funz inversa)
f⁻¹(f(x)) = x ∀x ϵ A
f (f⁻¹(y)) = y ∀y ϵ B
funz inverse, prop. fondamentali
ex f: R → (0;+∞)
log f⁻¹: (0;+∞) → R
f: [-€.0; +∞) → [-€; +∞) f⁻¹: [-€; +∞) → [-€; +∞)
sen: [-π⁄2,π⁄2] → [-1,1]
arcsen: [-1,1] → [-π⁄2,π⁄2]
arcsen (sen x) = x ∀ x ∈ [-π⁄2,π⁄2]
sen ( arcsen y) = y ∀ y ∈ [-1,1]
sen x ≥ 1⁄2
x1 < x < x2
π⁄6 < x < 5π⁄6
sen x ≤ 1⁄3
x1 = arcsen 1⁄3
x2 = π − arcsen 1⁄3
x1 < x < x2
iniettive → monotone → invertibili
f è strettamente crescente se x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
non strettamente
strett. decrescente x1 < x2 → f(x1) > f(x2)
23/09/2014
A ⊂ ℜ, A ≠ ∅
A si dice limitato superiormente se esista almeno
se ∃ K ∈ ℜ, K ≥ a ∀ a ∈ A
(K si dice maggiorato di A)
└ se esistono solo infiniti
ex. A = [ 0, +∞ ) sì
ex. A = ℕ no
ex. A = ( 0; 1 ) sì
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