Analisi matematica 1

A

in

contenuto

è insieme

qualsiasi

CA

numeri naturali

[112 3

4

3

= , , , ...

(2nInEIN3

[2n EIN3

In

+1

A insieme telemento

a

[a}

E

a eun insieme

20 3

INo 2

,

1

= ...

,

,

Z razionali

numeri

( 3

2 +3

1 0 2

-2 +

, +,

3 - , . . . .

,

- ,

= ,

...,

~ razionali

numeri

Q

I 0]

[G/pt2 gez

Q +

a

= ,

Unione xEA xEB

fAUB solo oppure

se

X e

se A B AUB

>

Intersezione extB

xEA

XEANB solo

se se

e A B

AnB

Meno xEB

AlB xtAe

X solo se

se e A B

Y

AlB

Osservazioni

AUB BUA

= BRA

ARB = ANA A

A

AUA =

= 0

A A 10

AUD =

= AUB B

B cA > =

-

AcB AUB A

> =

- (BUC)

(AVB)UC =

Au AUBUC

= A B

C

A Az An

insiemi

n ---

, , , =

E Ai

A MAzlAn

UAzUAn

A Ai ,

=

,

= VA

A :

Equazioni di Morgan

(Anc)ulBNC)

(AUB)nc = A B xflAnCUlBNC)

sexflAUB)nC allora

(And) (AUB)

(BNC) nC

allora xe

sexe

C

n (BUC)

(AnB)Uc (Auc)

= A B

C

Insieme complementare

: UlA

A [2n)nEN3

A = EN]

(2n 1/n

A +

=

Prodotto cartesiano

B

A 33

b)(atA 33

btB (

51

((a A 2,

B

AxB 1, -

-

2 -

=

= , , =

,

, delle

sinsieme 2)

G (1

1) 3)

(1

ordinate ;

coppie AxB (1 -

: , :

-

-

: ,

= (2

1) -2) (21 - 3

(2 : ; ; ;

- , 3)}

2)

(3

1) (3

(3 ; : ;

- -

, ,

AxBF BxA di insiemi

fare più

prodotto

Si il cartesiano

può

AxBxC delle

cinsieme terne ordinate

cE(}

G(a A

c) la f btB

AxBxc b ,

= , ,

,

Ax0 0

=

Un logica

pó di [x1 x0]

=

allora

è X)) sex

positivo xo

X 0

+

X

X = +

X 1

X = que

pc e

allora

è

se vere

vera

Pu a(x)

=

4x(px everaz

A = + x pas

1

pax + 1 = 3 E(R) xx3

R

f((x ( x

[x x

1

1

+ A

=

A = =

= condizione

sufficente

q(x)

=

p(x condizione

necessaria

>

vera]

[x/pc) XEAp

Ap xEAa

è acte

e pcx vera

vera ,

= vera3

Ex /qcx e

Aq = Ad ApcAq

Ap

EVERA

= NON

> X1

X0 X0

↓ Si = 3

Se

patat px

equivalenti

sono

-

>B

A = EQUIVALENTI

SONO

A

B) non

non 3

Teoremi B test

A ipotesi

A B

) DIMOSTRAZIONE

= DIRETTA

& A

A-

> i

-

A Az

>

-

-

Az An

>

=

An B

=

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

A B

non

A

B ) non

=

non

Quantificatori xAtic ExtA

IxEA pCH)

FxEA (ExEA t

almeno < pax

c

esiste

EA un > non

c non

ogni -

per . .

. cqm)

FERx1 (ExtAt

ExtAtcnonpul ExtA

AxEA

perognixERx1 falsa c <

< gee

passe non

non .

/Se Quantificatori

Posto

di

scambio I

CAMBIA Senso

IL Frase

DELLA

Proprietà numeri razionali

ba EQ

*

la

SOMMA

· b

b commutativa

d

+

a

+ = 1)

b)

(a (b

a

c associativa

+

+

+

+ = elemento neutr

a

a +o =

1- a) elemento

o

a = opposto

+ Proprietà collegamento

di

Prodotto

· distributiva

b C

c

a

b)

( + .

+ .

c =

.

b .

b commutativa

a a

=

. c)

(a (b

b) associativa

C a

= -

.

. . elemento neutr

a 0

1 =

. elemento

a reciproco

a 1

=

.

AxEQ FyEQ 14 4

=

x

ExEQ 1 XIX )

42z Xzz

14

2 x =

, =

yx

3x + = y

x

Se FzEQ

= zzy

: 24 z

+ +

Somma +

= Fz10

Sexy =

prodotto z2z 4

x

: . .

Proprietà reali

numeri

razionali

quelle

uguali a retta

S razionale

iiii -

-2

- - -

12

12

c2 +

=

[

I C 2

= lo posso

non

s

& esprimere un

con

razionale

numero

Teorema erazionale

allora

t c 2

cho c non

se e =

.

Dimostrazione assurdo

per cEQ

(per esista cso t

assurdo)

supponiamo 2

C

che 12 =

.

.

P comuni

fattori

c hanno

pe non

= a (pépari pari) p=

allora pe

p

2 22

= ,

(2k)2 292

= 292

24k2 =

la paril

allora

è pari, anche è

2k2

92 q

= ,

Assurdo fattori comuni

avevano

detto non

pari che

avevamo

ma

sono

q

e

p ,

Si retta

estendere la razionale

deve

Intervalli

all 4x ER(axb3

b)

(a =

,

- a

b[

Ja , 4 b]

f((a(x

b)

[a =

x h

=

, x b]

4x

b]

[a R(ac 8

+ h

, =

[a b[

, b)

(x ER(ac

b] x O

o

(a =

,

aEIR (x 4(xa}

(a y) t o

+

: = a}

(x ER)

[ai x) + ⑳

+ = A

( a}

1 a) f() >

+ x -

y =

- = 4x ER(

( a)

a) + -

v = =

- ExtA

AcR EMER XIM

limitato t

superiormente se c

. .

Tmaggiorante

superiormente ExEAxM

FMER

vimitato

non