Analisi 1 parte seconda

Continuità delle funzioni

Definizione di continuità

Dati f: (a, b) → ℝ, definiamo che f è continua in (a, b) se è continua per ogni x ∈ (a, b) (f ∈ Ċ(a, b)).

Dati f: [a, b] → ℝ, definiamo che f è continua in [a, b] se:

1. f ∈ Ċ(a, b)
2. lim (x → a⁺) f(x) = f(a)
3. lim (x → b^-) f(x) = f(b)

Funzioni specifiche

√x: [0,+∞) → ℝ⁺, con √2 ∈ (0,+∞).

1/x² : (-∞, 0) ∪ (0, +∞) è continua in Ċ(R \ {0}).

Teorema degli zeri di Bolzano

Dato f: [a, b] → ℝ con a, b ∈ ℝ tale che:

1. f ∈ C([a, b])
2. f(a) ⋅ f(b) < 0

Allora esiste almeno un c ∈ (a, b) tale che f(c) = 0. Chiamo c il punto in cui la funzione attraversa l'asse x, cioè lo zero (o gli zeri) della funzione.

Metodo di Newton (bisezione): Se f(a_n) > 0 e f(b_n) < 0, allora lim_n→∞ a_n, b_n = c → f(c) lim_n→∞ f(a_n) ≥ 0 e f(c) lim_n→∞ f(b_n) ≤ 0.

Esercizio tipico

Consideriamo x⁶ - 6x + 1 = 0. Secondo il Teorema fondamentale dell'algebra, ci sono 6 radici in C, quindi 3 coppie di radici coniugate (Z, Z̅).

Possiamo vedere come f(x) = x⁶ - 6x + 1: R → R. lim_x→-∞ f(x) = +∞ e lim_x→+∞ x⁶ = +∞. Sappiamo che tende a +∞.

In questo intervallo [0,1], f(0) = 1, f(+1) = -4. f(2) = 53, f(1) - f(2) < 0 → in [1, 2] c'è un altro zero della funzione.

Teorema di Weierstrass

Data f : [a, b] → R e continua in [a, b], allora f ha minimo e massimo in [a, b], esistono Cm, CM ∈ [a, b]:

• f(Cm) = min_[a,b] f
• f(CM) = max_[a,b] f

Per lo stesso teorema, il codominio di f è: Codom(f) ⊆ [m, M].

Teorema di Darboux dei valori medi

Data f : [a, b] → R e estesa in [a, b] con M = max f_[a,b] e m = min f_[a,b], allora F assume tutti i valori compresi fra minimo e massimo (∈ [m, M]).

Quindi: ∀ λ ∈ [m, M] esiste almeno un c ∈ ]a, b[ tale che f(c) = λ.

Dimostrazione: Definisco φ(x) = f(x) - λ essendo f(x) e continua e φ(x) ∈ C[a, b] e restringendo l'intervallo, CM e quindi:

φ(CM) = f(CM) - λ = M - λ e dato che λ ∈ (m, M) allora M-λ > 0,

φ(Cm) = f(Cm) - λ = m - λ per lo stesso motivo ⇒ m - λ < 0

Per il T. degli zeri esiste c t.c. φ(c) = 0

φ(c) = f(c) - λ = 0 ⇒ f(c) = λ

QED

Derivate di funzioni reali

Dati f: (a,b) → R, c &in; (a,b):

1. Se x &approx; c, x ≠ c, allora F(x) - f(c) / (x - c) = Δf / Δx = tg α_x
2. La funzione f è detta derivabile in c se e solo se esiste e finito il limite del rapporto incrementale lim_x→c (f(x) - f(c)) / (x - c) = f '(c).

Quindi, la definizione di derivata è: Riprendendo ² della pagina precedente, osserviamo le tangenti: ne conosciamo la pendenza e il punto in cui tocca la funzione di origine (c,f(c)), quindi possiamo calcolarne l'equazione.

Equazione della retta che passa per un punto:

Teorema di salvezza: f è derivabile in c se e solo se f è continua in c.

Dimostrazione: lim _{numeratore di {t,x,c}(x)} (se è vero e continua) lim _{numeratore di {t,x,c}(x)} x

Calcoliamo qualche derivata:

Se f(x) = C - costante: In qualsiasi punto c la(t) coincide con f(C)' = lim_{x → c} (C - C)/(x - c) = 0.

Se f(x) = x: In qualsiasi punto c la(t) coincide con f ma la pendenza m è (u/d) = 1(x)' = lim_{x → c} (x - ).