Analisi 1 parte seconda

Dato f: (a, b) → R

Def. f è continua in (a, b)

se continua ∀ c ∈ (a, b)

Dato f: [a, b] → R

Def. f è continua in [a, b]

se:

1. F ∈ C⁰ (a, b)
2. lim_x→a⁺ f(x) = f(a)
3. lim_x→b^- f(x) = f(b)

√_x ∈ [0, +∞) → R⁺

√₂ ∈ (0, +∞)

1/x² ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞)

1/x² ∈ C⁰ (R \ {0})

Altri es. su conv.

Teorema degli Zeri

Data f: [a, b] → R con a, b ∈ R tale che:

• f ∈ C ([a, b])
• f(a) < 0

⇒ ∃ almeno un c ∈ (a, b) tale che f(c) = 0.

Chiamo c il punto in cui la funzione attraversa l'asse x, cioè lo zero (o gli zeri) della funzione.

Def Metodo di Newton (Bisezione)

quindi: f(a_n) > 0

f(b_n) < 0

lim_n→∞ a_n, b_n = c ⇒ f(c) = lim_n→∞ f(a_n) ≥ 0

f(c) = lim_n→∞ f(b_n) ≤ 0

Quindi la definizione di derivata è:

f:(a,b) → R con c ∈ (a,b) si dice derivabile in c se esiste

finito, lim _x→c frac(f(x)-f(c)) x-c = f'(c) "derivata della f variabile x"

Ricordando 2 della pagina precedente, osserviamo la tangente:

ne conosciamo le pendenze e il punto in cui tocca la funzione f di ordinata (c,f(c)), quindi possiamo valutare la seguente equazione:

eq_! .. . ...

equazione della retta che passa per un punto

y-y₀ = m(x-x₀)

⇒ t_: y = f(c) + f'(c)(x-c)

T_: sulla continuità delle funzioni derivabili

Se f è derivabile in c

f è continua in c

Dim. lim _x→c f(x) = f(c) (se è vero e continua)

⇔ lim _x→c (f(x)-f(c)) = 0

f(x)-f(c) = R_f,c(x) * (x-c) ⇔ PASSANDO A LIMITE ⇔

⇔ lim _x→c (f(x)-f(c)) = lim _x→c [R_f,c(x) * (x-c)]

⇔ lim _x→c (f(x)-f(c)) = f'(c) * 0 = 0 ⇔ QED

(|x|^') = lim_x→0 |x| - |0| / x - 0 = lim_x→0 |x| / x

Dim. lim_x→0⁺ |x| / x = lim_x→0⁺ x / x = 1 → pendenza di ℓ₁

lim_x→0^- |x| / x = lim_x→0^- -x / x = -1 → pendenza di ℓ₂

Quando è richiesto di calcolare (|x|^') formalmente si fa così:

|x| = x / |x| { 1 x > 0 0 x = 0 -1 x < 0 }

Esempio di studio di funzioni

f(x) = x⁶ - 6x₄ + 1

Cerchiamo di capire come la f si comporta tendendo a ∞

lim x → ∞ f(x) = +∞

Cerchiamo i punti critici

f'(x) = 0 ⇒ 6x⁵ - 6 = 0 ⇒ x⁵ - 1 = 0 ⇒ x = 1

PC: (x = -1, y = -4)

(Criterio di monotonia)

• x⁵ - 6 ≥ 0
• x - 1 ≤ 0
• x ≤ 1
• x ≥ 1

f(0) = 1

Es. tipo

1. Trova il codominio
• Codom. [4, +∞]
2. Trovare estremi per x ∈ [0, 3]
• m assoluto = -4 = f(-1)
• M relativo = 1 = f(0)
• M assoluto = 3⁶ - 1 = f(3)

es.

x³ = o(x³)

? ⟷ o(x³)

^x3⁄_x → 0

x → 0

⇒ x³ ≈ o(x³)

x² = o(x²)

? ⟷ o(x²)

^x2⁄_x → 0

x → 0

⇒ x² ≈ o(x²)

α(x) = o(β(x))

per x → 0 se:

^lim⁄_{x → 0} ^α(x)⁄_β(x) = 0

APPLICAZIONI

Lo sviluppo di Taylor con c=0 prende il nome di f. di McLaurin e

infine delle semplificazioni

f⁽¹⁾(x) = sin x

f⁽²⁾(x) = cos x

se

n è derivabile

a volontà

n = n+1

f⁽³⁾(x) = -sin x

f⁽⁴⁾(x) = -cos x

f⁽⁵⁾(x) = sin x

f⁽⁶⁾(x) = cos x

f⁽⁷⁾(x) = -sin x

f⁽⁸⁾(x) = -cos x

f^(_n)(x) = f^(_k)(x)

F. DI McLAURIN CON f(k) = sin x

x → 0

f(0) = 0

f⁽¹⁾(0) = 1

f⁽²⁾(0) = 0

f⁽³⁾(0) = -1

f⁽⁴⁾(0) = 0

sin x = 0 + x + 0 - ^x3⁄_3! + 0 + ^x5⁄_5! - ^x7⁄_7! + 0 + ^x9⁄_9! - ^x11⁄_11!

PARI:

cos x = 1 - ⤊⤊ + ^x2⁄_2! - ⤊⤊ + ^x4⁄_4! - ⤊⤊ + ^x6⁄_6! - ⤊⤊ + (-1)^{k x2k}⁄_2k! + o(x^2k)

e^x = 1 + ^x⁄_1! + ^x2⁄_2! + ^x3⁄_3! + ⋯ + ^xk⁄_k! + o(x^k)

ln x

con x → 0

ln ^(1+x)

(con x = 0 ⟷ y)

⇒ ln x

ln ⁿ³⁄₃ + ⤊

⇒ ln x³

cos y (x diverso) = x - ^x3⁄₃ + ^x5⁄₅ + ⋯ + (-1)^{k x2k+1}⁄_2k+1 + o(x^2k+1)

Derivata Seconda

f''(x)= ^{(8x - 4)(2x - 1)2 -(4x2-4x-8)(2)(2x-4)(2)} / (2x - 1)³ =

^{-16x2+8x-8x+4-76x - 76x+32+32} / (2x - 1)³ = ³⁶ / (2x - 1)³

f''(x) > 0

^{(2x - 7)3} > 0

2x - 7 > 0 ⟹ x > 7/2

Ma a noi interessa |f(x)|, per cui ribaltiamo il grafico quando f < 0, dunque si ribalta anche l'asintoto obliquo a ∞ che diventa:

y = -x - 5/2

Integrazione di Funzioni Razionali Fratte

R(x) = P(x) / Q(x)

P, Q - polinomio

es.

∫ (2x + 3) / (x^2 - 5x + 6) dx

grado(N) < grado(D) - Caso Buono

∫ x^4 + 3 / x^3 - 2x^2 / x^4 + 1 / x dx

grado(N) ≥ grado(D) - Caso Cattivo

Caso Normale (Buono)

grado(P) < grado(Q)

Q si decomporre (Q) => x^2 - 5x + 6 → (x-2)(x-3)

1. Scrivere la forma canonica di Q(x)

Q(x) = a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + ... + a₂ x^2 + a₁ x + a₀ =

= Q_m (x - x_r1)^m₁ (x - x_r2)^m₂ ... (x² + α₂ x + β₂)^m₃ ...

r_i = radice reale

m_i = molteplicità, quante volte si ripete r_i nel polinomio

x² + αx + β

=> Spiegazione Completa Sui Quadrini (sono dovuti alle radici complesse)

2. Decomporre R(x) in somma di fratti semplici

(x - x_r1)^m₁ ↔ A₁ /(x - x_r1) + A₂ / (x - x_r1)^m₁-1 + ... + A_m1 / (x - x_r1)

(x² + α₂)^m₂ ↔ M_ax + N / x² + α₂² = M_x / x² + α₂² + N_x / x

3. Trovare le costanti A, B, M, N...
4. Integrare