Analisi 1 - parte terza

6) INTEGRAZIONE PER PARTI

∫_a^bf'(x)·g(x) dx = [f(x)·g(x)]_a^b - ∫_a^bg'(x)·F(x) dx

esempio

∫₀²(x+1)e^xdx = [e^x(x+1)]₀²-∫₀²e^xdx = [e^2(x+1)-e⁰]₀² - ∫₀²e^xdx =

= 3e^2·1-(e²-1) = 2e²+c

7) CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE

∫_α^βf(x)dx = ∫_α^βf(φ(t))·φ'(t)dt

α=φ(α)≤φ(t)≤φ(β)=b

esempio

∫₄⁴dx/(1+x^2) ↔ x=t² → dx=2t/(1+t²) dt= ∫2t/(1+t²) dt = 2∫(t+1-1)/(t+1) dt=

= 2∫((t+1)/t-1)dt - ∫dt/(1+t)= 2(t-ln|1+t|)₀^∞=

= [2(t-ln|1+t|)]₀^∞ = 2(2-ln[3])-2(0-ln[1])=

= 4-2ln3

METODO CON LA FORMULA

∫₁⁴dx/(1+x²) → x=t² → dx/(1+t²)

⁰≤x≤⁴ → ⁰≤t≤√x≤√(4)=²

Applicazioni del calcolo integrale

T = { (x,y) ∈ R²: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) }

_a∫^b f(x) dx = Area (T)

* f ≥ g ⇒ |f-g| = f-g ≥ 0

Z = Z₁ ∪ Z₂ ∪ Z₃

Area(Z) = Area(Z₁) + Area(Z₂) + Area(Z₃)

Area(Z₁) = {f - g = {f - g = ⇒ * ⇒ |f-g|

⇒ Area(Z₂) = _c∫^d|f-g|

⇒ Area(Z₃) = _d∫^b|f-g|

⇒ Area (Z) = _a∫^b |f(x) - g(x)| dx

... ESEMPIO -> CALCOLO LUNGHEZZA DI UN GRAFICO

f ∈ C⁰ (̅a, b̅) ∩ C¹ (a, b)

L = ∫_a^b√1 + (f'(x))² dx

Esempio 1

f(x) = x² _{[0, 2]}

L = ∫₀² √1 + (1²)² dx = √5₂ ∫₀² dx = √5₂ [x]₀² = √5

Esempio 2

f(x) = e^x + e^-x _[2] - sinh x seno iperbolico (pari) _{[-1, 3]}

L = ∫_-1³ √1 + f'(x)² dx = 1₂ ∫_-1³ (e^x + e^-x) =

= 1₂ [e^x]_-1³ - [e^-x]_-1³ = 3₂ (e³ - e^-4 - e³ + e) =

f(x) = e^x - e^-x _[2] - coseno iperbolico

CALCOLO LUNGHEZZA CIRCONFERENZA SU QUADERNO

E S E M P I

₀∫^{π sin x}/_√x dx   ~   ₀∫^{π 1}/_√x < ∞

₀∫^{∞ sin x}/_x² dx   ~   ₀∫^{∞ 1}/_x³ dx   =   ∞

π/2∫^{∞ 1}/_{cos x}   ~   1/_{cos x}   ~   ?

x → π/2         1/_{(cos x)}   ~   1/_f(x)

Conviene scegliere una f lineare che approssimare il

coseno in π/2   →   una tangente quindi

Equazione della retta tangente:   y = f(c) + f ′(c)(x − c)

⇒   cos(π/2) + cos ′(π/2)(x − π/2) = 0. − sin(π/2)(x − π/2) =

= − (x − π/2) − π/2 − x

π/2∫^{∞ 1}/_{cos x}   ~   π/2∫^{∞ 1}/_π/2x

  ~          = (b − x)^∞