Analisi 1 - parte terza

... CONTINUA PROPRIETA

b) INTEGRAZIONE PER PARTI

_a∫^bf'(x)⋅g(x) dx = [f(x)⋅g(x)]_a^b - _a∫^bg'(x)⋅f(x) dx

esempio

₀∫²(x+1)e^xdx =

= [e^x(x+1)]₀²- ₀∫²e^xdx = [e²(2+1) - e⁰] - ₀∫²e^xdx =

= 3e² -1 - (e² -1) = 2e² + c

1) CAMBIAMO DI VARIABILE

_α∫^βf(x) dx = _φ(α)∫^φ(β)f(φ(t))⋅φ'(t) dt

x = g(t)

α = φ(α) ≤ φ(t) ≤ φ(β) = β

esempio

₁∫³dx/√(4-x) = ₀∫^√3dt/1+t² =

METODO SENZA FORMULA

x = t² dt/1+t² = (2t dt/1+t² = 2 ₀∫^√3t dt/1+t²

= 2(₀∫^√3t+1/t+1 dt - ₀∫^√3dt/1+t) =

= 2(t - ln|t+1|)₀^√3= 2(2-ln|3|) - 2(0-ln|1|) =

= [2(√x - ln|√x|)]₀³ = 2(2-ln|3|) = 4 - 2 ln 3

METODO CON LA FORMULA

₁∫³dx/√(4-x) = x=t² = ₀∫^√3dt/1+t²

0 ≤ x ≤ 4 => 0 = √0 ≤ √x ≤ √2 = 2

b) INTEGRAZIONE PER PARTI

^b∫_a f'(x) g(x) dx = [f(x) g(x)]^b_a - ^b∫_a g'(x) f(x) dx

esempio

²∫₀ (x+1) e^x dx = [e^x(x+1)]²₀ - ²∫₀ e^x dx =

= [e²(2+1) - e⁰] - ²∫₀ e^x dx =

= 3e² - 1 - (e² - 1) = 2e² + c

1) CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE

^β∫_α f(x) dx = ^φ(β)∫_φ(α) f(φ(t)) φ'(t) dt

x = φ(t)

α = φ(α) ≤ φ(t) ≤ φ(β) = b

esempio

∫ dx / 4 + √x

Metodo senza formula

= ²∫₀ dt(1)^t2 / 1 + t = ²∫₀ dt / 1 + t - ²∫₀ √x

= 2(∫ [(t + 1) dt - ∫ (1) dt / 1 + t])

=[2(√x - ln |t₁|)]⁴₀ = 2(2-ln |3|) - 2(0-ln|1|) =

= 4 - 2 ln 3

Metodo con la formula

∫ dx / 4 + √x = ²∫₀ dt / 1 + t²

0 ≤ x ≤ 4 ⇒ 0 = √0 ≤ √x ≤ √4 = 2

Applicazioni del calcolo integrale

T = { (x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) }

∫_a^b f(x) dx = Area (T)

* f ≥ g ⇒ |f-g| = f - g ≥ 0

f, g ∈ C⁰[a, b]

Z = Z₁ ∪ Z₂ ∪ Z₃

Area(Z) = Area(Z₁) + Area(Z₂) + Area(Z₃)

⇒ area(Z₁) = ∫_a^c |f-g|

⇒ area(Z₂) = ∫_c^d |f-g|

⇒ area(Z₃) = ∫_d^b |f-g|

⇒ Area (Z) = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx

Esempio

Calcolare l'area compresa tra i grafici di

f(x) = x e g(x) = 2x - x² con x ∈ [-1, 3]

A = ∫_-1³ |x - (2x - x²)| dx = ∫_-1⁰ f-g + ∫₀¹ -f+g + ∫₁³ f-g =

f ≥ g [ -1, 0 ]

g > f [ 0, 1 ]

f ≤ g [ 1, 3 ]

= calcoli su quad. = 6 - ¹/₃ = ¹⁷/₃

Altro esempio

Area del disco di raggio R

x² + y² = R²

y = √(R² - x²)

Area Disco = 4 · area(Q)

Area = 4 ∫₀^R √(R² - x²) dx

∫₀^R √(R² - x²) dx = x = R · sin(t)

⇒ Già visto

⇒ 4 R² ∫ cos(t) · cos t dt = 4 R² ∫₀^π/2 cos² t dt = ... = ... = π R²

tra 0 e π/2: cos t ≥ 0, quindi si può togliere il valore assoluto

• 0 ≤ x ≤ R
• 0 ≤ R sin t ≤ R
• 0 ≤ sin t ≤ 1
• 0 ≤ t ≤ π/2

Altro esempio - Formula di Guldino

(ci permette di calcolare il volume dei solidi di rotazione)

Vol = π ∫_a^b f²(x) dx

f(x) = π R²

Volume di una sfera

V = π ∫_-R^R R² - x² dx =

= π [ R² x ]_-R^R - ∫_-R^R x² dx = π [ x³/3 ]_-R^R =

= π [ R² (2R) - (R³/3 + R³/3) ] = π [ 2R³ - 2/3 R³ ] =

= 4/3 π R³

... esempio -> calcolo lunghezza di un grafico

f ∈ C⁰[a, b] ∩ C¹(a, b)

L = ∫_a^b √1 + (f'(x))² dx

es F(x) = x² [0, 2]

L = ∫₀² √1 + (x²)² dx = √6/2

= ∫₀² dx = √5/2 [x]² = √5

es f(x) = (e^x + e^-x)/2

sinH x seno iperbolico (pari)

[-1, 3]

L = ∫_-1³ √1 + f'²(x) dx = 1/2 ∫_-1³ (e^x + e^-x) =

= 1/2 [e^x]_-1³ - [e^-x]_-1³ = 1/2 (e³ - e^-1 - e³ - e¹) = ...

f'(x) = (e^x - e^-x)/2 coseno iperbolico

calcolo lunghezza circonferenza su quaderno

Integrali Impropri (Generalizzati)

a∫b f(x) dx

1. f(x) è limitata
2. [a,b] è limitato

Integrali di Riemann (Significato Geometrico? Area Trapezoide con Δxo)

Iginoriamo la Proprietà 1

=>

• f è illimitata
• [a,b] è limitato

lim_x→a f(x) = ∞

=> f ∈ C⁰(a,b]

f(x) dx è Integrale Improprio della Prima Specie

Iginoriamo la Proprietà 2

=>

• [a,b] è illimitato => [a,+∞)
• e f è limitata

f ∈ C⁰(a,+∞)

∫ f(x) = Integrale Improprio della Seconda Specie

Data

e lim_x→a⁺ f(x) = +∞

f ha "singolarità" in a

f ∈

∫_a+ε^b f(x)

E se facessimo variare ε?

lim_ε→0⁺ ∫_a+ε^b f(x)dx =

{

limite non esiste ⇒ ∫_a^b f(x)

lim = ∞ ⇒ ∫_a^b f(x)dx = ∞ ⇒ diverge

limite ∈ = L < ∞

f ha "singolarità" in b

f ∈

∫_a^b f(x) dx = lim_ε→0⁺ ∫_a^b-ε f(x) dx

∫ x^α dx/x

= { -∞ α < 1 0 α = 1 ∞ α > 1 }

∫_a^b x^α dx/x

= { 0 α ≥ 1 ∞ α < 1 }

(x - a) ⇔ (b - x)

STESSA COSA

TEOREMA DEL CONFRONTO

Date f,g: (a,b] → R0 < f(x) ≤ g(x)

∀x ∈ (a,b] ⇒ { 1) se ∫_a^b g(x) < ∞ ⇒ ∫_a^b f(x) < ∞ 2) se ∫_a^b f(x) = ∞ ⇒ ∫_a^b g(x) = ∞ }

ESEMPI SUL QUADERNO

OSSERVAZIONI

Integreremo solo funzioni positive

CRITERIO ASINTOTICO

\(\int_a^b f(x) \sim \int_a^b g(x)\) → \(\int_a^b f(x) \, dx \sim \int_a^b g(x) \, dx\)

• Asintoticamente equivalenti:
  • \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty\)
  • \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R}\)
  • Ciò avviene con la stessa velocità

\(\int y \frac{\sin x}{x^2} \, dx\)

\(f(x) = \frac{\sin x}{x^2} = \frac{1}{x} \frac{\sin x}{x}\)

\(g(x) = \frac{1}{x}\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \frac{\sin x}{x} \left / \frac{1}{x} \right . = 1\)

→ \(\int \frac{\sin x}{x^2} \sim \int \frac{1}{x} = \infty\)

E S E M P I

∫₀^{∞ sin x}/_x√x dx     ^{(sin x)}/_(x√x) ~ ¹/_√x < ∞

∫₀^{∞ sin x}/_x dx     ∫₀^{∞ 1}/_x^3/2 dx = ∞

∫₀ ^dx/_{cos x}     ¹/_{cos x} ~ ?

x → π/2     ¹/_{cos x} ~ ¹/_f(x)

Conviene scegliere una f lineare che approssima il coseno in π/2 —> una tangente quindi.

EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE: y = f(c) + f'(c)(x-c)

=> cos(π/2) + cos'(π/2)(x - π/2) = 0 — sen(π/2)(x - π/2) =

— (x - π/2) - π/2 - x

∫₀^{π/2 1}/_{cos x}     ~     ∫₀^{π/2 1}/_{π/2 - x}     ~ (b - x)^-1

Esempio

∫₀¹ dx / x^1/3 √(1-x)

con x = 0 √x = 0

con x = 1 √1-x = 0

> 0 e 1 sono singolaritá

con c ∈ (0, 1)

∫₀^c dx / x^1/3 (1-x)^1/2 + ∫_c¹ dx / x^1/3 (1-x)^1/2

per x = 0 questa è una singolaritá

per x = 1 questo è una singolaritá

∫₀^c dx / x^1/3 (1-x)^1/2 ~ ∫₀^c dx / x^1/3

e ∫_c¹ dx / x^1/3 (1-x)^1/2 ~ ∫_c¹ dx / e(1-x)^1/2

∫₀^c dx / x^1/3 + ∫_c¹ dx / (1-x)^1/2

< ∞ > ∞

Altri esempi sul quaderno

Integrali della 2^a specie

f : [a, +∞) → ℝ

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_R→+∞ ∫_a^R f(x) dx = {

1. non esiste
2. integrale divergente = ∞
3. L ∈ ℝ < ∞

f : (-∞, a] → ℝ

∫_-∞^a f(x) dx = lim_z→-∞ ∫_z^a f(x) dx

f : (-∞,+∞) → ℝ

∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫_a^+∞ f(x) dx + ∫_-∞^a f(x) dx ...

Criterio del confronto

0 < f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a

1. ∫_a^+∞ g < ∞ => ∫_a^+∞ f < ∞
2. ∫_a^+∞ f = ∞ => ∫_a^+∞ g = ∞

∫₀^+∞ e^x dx , ∫₀^+∞ e^-x dx ⟶ Campana di Gauss

∫₀^+∞ e^-x² dx + ∫₀^+∞ e^x² dx

x > 1 => x² > x=> -x² < -x=> ∫^e-x < ∫^e-x²