Analisi 1, Polimi

Condizioni di esistenza

• Funzioni fratte: Condizione: denominatore ≠ 0
• Funzioni con radici con indice dispari: Condizione: nessuna
• Funzioni con radici con indice pari: Condizione: argomento sotto radice ≥ 0
• Funzione logaritmica: Condizione: argomento del logaritmo > 0
• Funzione esponenziale: Condizione: nessuna

Trasformazioni geometriche

Esponenziale

y = e^x
y = e^-x -x = destra/sinistra
y = e^x
y = -e^x -y = sopra/sotto
y = e^x
y = -e^x
y = -e^x
y = -e^-x

Logaritmo

y = ln(x)
y = ln(-x) - x = destra/sinistra
y = ln(x)
y = ln(-x) - y = sopra/sotto
y = ln(x)
y = ln(-x)
y = -ln(x)
y = -ln(-x)

Traslazioni

y = e^x + 1, x = ... opposto sull'asse x
y = e^x + 1, y = ... sull'asse y

Dilatazioni e contrazioni

y = sin x
y = sin 2x, x = ... opposto della x
y = cos² x
y = ^{cos2 x}/₂, y = ... della y

Modulo

y = |x|, x + 1
x _{D: destro / S: sinistra} Lo m. prende |ub. x|
|y| = _{Sotto / S: sopra} Lo m. prende sub x

Funzioni pari e dispari

Funzione pari: f(x) = f(-x)
Funzione dispari: f(-x) = -f(x)

Insiemi

A, B = Lettere maiuscole per indicare l'insieme
a, b = Lettere minuscole per indicare gli elementi
A = {} → scrittura "per tabulazione": l'ordine degli elementi è casuale
A = B → A = B, I_x ( x ∈ B ) → x ∈ A
In parole: A e B posseggono gli stessi elementi
A ⊆ B → A è sottoinsieme di B, quindi I_x ( x ∈ A → x ∈ B )
A ⊂ B → A è strettamente contenuto in B: ∃ elemento in B che non appare in A, quindi
I_x ( x ∈ A → x ∈ B), ∃ x ∈ B, x ∉ A
Sottoinsiemi banali di X → ∅ (insieme vuoto) e X (stesso)
ℕ → numeri naturali (0,1,2,...)
ℤ → numeri interi (...,-1,0,1,...)
ℚ → numeri razionali ( ᵚ⁄𝖾; m ≠ 0)
ℝ → numeri reali (numeri che sopra la virgola hanno cifre ≠ 0)
Insieme delle parti → Insieme dei sottoinsiemi di X (inclusi i banali)

Operazioni su insiemi

• Intersezione: A ∩ B = { x | x ∈ A, x ∈ B }
• Unione: A ∪ B = { x | x ∈ A, x ∈ B }
• Differenza: A \ B = { x | x ∈ A, x ∉ B }
• Complemento
• Prodotto cartesiano A × B = tutte le coppie formate da (a,b) con a ∈ A, b ∈ B, quindi A × B = { (a,b) | a ∈ A, b ∈ B }

Funzioni

f: A → B legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B
Insieme di partenza = dominio della funzione f (Df)
Insieme di arrivo = codominio della funzione f (cdf)
Insieme f: {b(a)} ⊆ B = corrispondente dell'elemento a ∈ A in B
f_-1(b) : {a ∈ A | f(a) = b} = controimmagine; corrispondente dell'elemento b ∈ B in A

Funzioni invertibili (f^-1)

f: A → B è invertibile se ∃ g: B → A |
    g o f = id_A
    f o g = id_B
(f: B → B)               (f: A → A)

Funzioni biunivoche

Per ogni elemento di B esiste uno e un solo elemento di A tale che f(a) = b (=> corrispondenza biunivoca)

Funzioni iniettive

Per ogni elemento di B esiste al più uno elemento di A tale che f(a) = b
Per ricordare: B = A + a

Funzioni suriettive

Per ogni elemento di B esiste almeno un elemento di A tale che f(a) = b

Assiomi di Peano

• I numeri naturali si "creano" aggiungendo un nuovo elemento (il successore) all'elemento dato
• 0 non è successore di nessuno
• La funzione successore è iniettiva