Analisi 1, Polimi

Condizioni di esistenza

• Funzioni fratte: condizione: denominatore ≠ 0
• Funzioni radicali con indice dispari: condizione: nessuna
• Funzioni radicali con indice pari: condizione: argomento dell'indice > 0
• Funzione logaritmica: condizione: argomento del logaritmo > 0
• Funzione esponenziale: condizione: nessuna

Trasformazioni geometriche

• Esponenziale: y = e^x
• -x: destra/sinistra

y = e^x

y = e^-x

-y = sopra/sotto

y = e^x

y = -e^x

y = -e^x

y = -e^-x

Logaritmo

• y = ln(x)
• y = ln(-x)
• -y = sopra l'asse orizzontale

• y = ln(x)
• y = ln(-x)
• y = -ln(x)
• y = -ln(-x)

Funzioni

f: A → B

legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B

insieme di partenza = dominio della funzione f (D_f)

insieme di arrivo = codominio della funzione f (cod_f)

f: {a₁, a₂, a₃} = corrispondente dell'elemento a ∈ A in B

f: {b₁, b₂} = controimmagine: corrispondente dell'elemento b ∈ B in A

Funzioni Invertibili

(f^-1)

f: A → B è invertibile se ∃ g: B → A |

g ◦ f = i_A

f ◦ g = i_B

Funzioni Biettive

per ogni elemento di B esiste uno e un solo elemento di A tale che f(a) = b (=> corrispondenza biunivoca)

Quindi: funzione invertibile

Funzioni Iniettive

per ogni elemento di B esiste al più un elemento di A tale che f(a) = b

per ricordare: B = A + y

Funzioni Suriettive

per ogni elemento di B esiste almeno un elemento di A tale che f(a) = b

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

• Limitato:
  • Superiormente da y = M
  • Inferiormente da y = M
  • Limitarà (sia sup. sia inf.)
• Simmetria:
  • Pari (rispetto all'asse y)
  • Dispari (rispetto all'origine = diagonale y=-x 3^a quad.)
• Monotona:
  • Crescente (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂))
  • Decrescente (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂))
• Periodica: f(x + T) = f(x)

FUNZIONI ELEMENTARI

• Potenza
• Logaritmo
  • y = log_ax ⇔ y = a^y
• Esponenziale
• Trigonometriche

Forma algebrica: z = x + iy

Forma trigonometrica: z = ρ [cosθ + isinθ]

Forma esponenziale: z = ρ e^iθ

Prodotto: z₁z₂ = [cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)]

Divisione: z₁/z₂ = [cos(θ₁-θ₂) + isin(θ₁-θ₂)]

Potenza: zⁿ = ρⁿ[cos nθ + isin nθ]

Radice

Con numero complesso così formato:

• ε=q [cosθ+isinθ]
• |z| = √((p.imm)² + (p.reale)²)

argθ = √(p.immaginaria / p.reale)

Successioni Numeriche

L_n è funzione che va dai numeri naturali ai numeri reali (a_n: N → ℝ)

Diminuzione: regolari e non regolari

• ammettono limite
• non ammettono limite

Infiniti

• log aⁿ / n^a → 0
• n / eⁿ → 0
• n! / nⁿ → 0
• eⁿ / n² → 0
• n lnn = +∞
• (ln n)ⁿ → 0
• n^α / log_ω n → +∞

Limiti

lim_x→x0 f(x) esiste se e solo se lim_x→x0⁺ f(x) = lim_x→x0⁻ f(x)

Asintoticità

• log(1+ε_n) ~ ε_n
• e^ε_n - 1 ~ ε_n
• (1+ε_n)^α - 1 ~ α ε_n
• sin ε_n ~ ε_n
• 1 - cos ε_n ~ √(ε_n²/2)
• arctg x ~ x

TABELLA DI GRAFICI DA RICORDARE

ln x

e^x

√x

x³

1/x

ATTENZIONE!!

• f₁: (|x| + 4) → x + 4 → -1 |x| + 4
• f₂: (1/_|x| + 4) → 1/x → -1 x + 4

arcsin(x)

arccos(x)

ATTENZIONE!!

• f = ln(1 + |x|) → ln(x) → ln |x| → ln |x + 3|
• f = |ln(x)| → ln(x) → |ln(x)|

se ∀ n, o a sinistra che P(n) vale ∀ a ∈ N, la dimostrazione per induzione si compone di due passi:

• mostrare che P(n) e' vero per n=ns.
• mostrare che, dal fatto che P(n) e' vero, se n e' un generico numero naturale, n, ne risulta P(n+1) vero.

16. Funzione invertibile si dice che f: I→I b e' invertibile in b se vale in condizione: ∀ x₁, x₂ ∈ D x₁ ≠ x₂ ⟺ f(x₁) ≠ f(x₂). la funzione che associa ad ogni B(x) y∈f(b) un’unico ingresso x ∈ B tale che f(x) = y si chiama funzione inversa di f e si indica con f^-1;

in condizione di invertibilita’, equivale a dire che che il grafico di f può interessato al massimo in un punto da ogni retta parallela all’asse delle ordinate.

17. Estremo inferiore e' per definizione il più grande dei minori. in mancante e' quel numero k non necessariamente appartenente all’insieme tale per cui k ≤ x per Ognuni x ∈ insieme

Estremo superiore e' per definizione il piu’ piccolo dei maggior. il mancato e' quel numero k non necessariamente appartenente all’insieme tale per cui k ≥ x per ogni x -

18. Funzione continua in un punto una funzione f si dice continua in un punto c se il valore assunto in c e dominio equivale al valore del limite della funzione estesa calcolato per x → c

19. Asintoto si dice che f(x) e' asintoto a g(x) per x →x₀ o x₀, se lim _x→x0 f(x) = y,

in questa definizione x₀ puo’ essere ∞

minori come della serie _n=1^∞a_n che converge ( nonde o(2)9.

anche _n=1^∞B_n converge per il criterio del confronto.

se invece lim _n→∞a_n = 0 s(1 ha definitivamente ( o), sa un And₂

se allora il termine generale non tende a zero per n→∞_sub20.

la M non può convergere.

6. criterio del rapporto a_n una serie a termini positivi. supponiamo che

esisto finito o infinito) il limite lim _n→∞ A_n+1 / A_n=, a ,14,

se A < 1 la serie converge

se A = 1 non si può concludere nulla sul carattere della serie.

Dim: superiamo lim A_n+1 / A_n , _n→∞ se, a 1, esiste un a tale che

A_n+1 / A_n+1 < (1

finito di termini non comportano carattere "convergente" b0 uno

generici progressivi.

termine A_n+1otaa r(ska^∞ A_na grazie a (0)

serie, risulta che (sub)

anche la serie sub A_n converge

se invece lim An+k < 9

se un discrezione c酉creto) il termini positivi e non può costantemente tendere

o. pertanto la condizione necessaria per la covetergenza di una serie non è

soddisfatta e la serie non può convergere

7.

criterio del confronto pckrotowo siano A_n, B qui serie a en

a., "se 1989 per n→∞

dim por definizione