Analisi 1- successioni

Analisi 1

Equazioni con esponenti

Versione 7z⁴ + (i + 1)³ = 0z[3 - (i + 1)³] = 0(z - 0₁) (z - 0₂) = 0z = 0₁, (i + 1)³(1 - i)³

Successioni

ℕ _{ASS. ℝ} funzione: ℕ _{fn: ℝ} successione {a_n}1 * 3 − 111 − 23 − 9n ≥ n₀ {n−2 ∣ ≥ 2}

Definizioni di successioni

{a_n} Limitata inferiormente se ∃ m ∈ ℝ: a_n ≥ m n ∈ ℕ

Limitata superiormente se ∃ M ∈ ℝ: a_n ≤ M ∀ n ∈ ℕ

Limitata se limitata superiormente e inferiormente: ⟨a⟩ = lim ⟨a⟩ n ∈ ℕ con m ≤ M: M ∶ 1 m ∶ 0 {an possiede una proprietà definita variamente e questa proprietà vale ∀ n ≥ N}

Punto di accumulazione

x₀ punto di accumulazione se esistono x ∈ X ogni intorno con x₀ elementi di X

Numeri interi

Unico punto di acc. per gli interi e = ∞ lim n→∞

Analisi 1 - Versione

Equazioni con variabili complesse

7z⁴ + (4 + i)z² = 0z² [z² + (3 - i + i)3] = 0 z² = 0z² = (-1+ i)3z³ (z - i)z³

Successioni di numeri

{a_n ^∞ }_n ^{= 0} : a_n = 3 - a

1 - n = 11 - 23 - 9

Definizioni di limiti

• Limitato inferiormente se ∃ m ∈ ℜ: a_n ≥ m ∀ n ∈ ℕ
• Limitato superiormente se ∃ M ∀ ℜ: a_n ≤ M ∀ n ∈ ℕ
• Limitato ∃ limitato superioremente e inferiormente: ½ ^m {M: 1 ∃ M} a_n possiede una proprietà definitamente e questa proprietà vale ∀n ≥ N

Punto di accumulazione

x punto di accumulazione per x elemento di X

Numeri interi

1. ∪ _n

Unico punto di acc. per gli interi ^∞ lim a_n → _n→+∞

Convergenza delle successioni

{a_n} è convergente lim a_n = l finito ∀ε>0 ∃N: a_n ∈ l Na_n-l a > b

Teorema dei carabinieri

a_n ≤ b_n ≤ c_n allora: a_n → l ; c_n → l => b_n → l

Successioni definite per ricorrenza

a₁ = k { a_n }: a_m = f(a_m-1)

Successioni di Fibonacci

F₀ = 1 ; F₁ = 1 ; F₂ = 2... F_m+2 = F_m+1 + F_m

{a_n}: a₀ = 1 a_n: a_m = F_m+1 + F_m

A_n+2 = F_m+1 + 1 = 1 + ¹/_am a_m+2 = f(a_m)

Supposizioni sui limiti

Supporre che lim a_m = L a_n→∞ → a_{m+1 →∞} → L

L = f(L) = 1 + ⁴/_L

L = ⁴/_L

L² - L - 1 = 0

L = ^{1 + √5}/₂

L = ^{1 + √5}/₂ = ^{3 - √5}/₂