Analisi 1 - appunti lezioni

Teorema di Weierstrass

Sia continua. Allora ammette un massimo e un minimo .

Teorema riassuntivo

Sia continua. Allora dove

Thr

Se è monotona (crescente) definita da

continua

Dim P.A.:

non continua c'è un punto di discontinuità essendo monotona può essere solo di salto ho un segmento

non compreso nell'immagine. Assurdo.

Se è monotona e ha un salto, la sua immagine non è un intervallo.

Oss. Se , è continua e biunivoca ( e anche )

, se è monotona, rimane monotona e con la stessa monotonia.

Analisi Pagina 22

Derivate

Sia una funzione reale definita su e sia . Per reale e sufficiente piccolo affinche la

quantità: è detta rapporto incrementale

La funzione è derivabile nel punto se esiste tale che:

Il numero reale è detto derivata della in , denotato

derivata destra derivata sinistra

La è derivabile in sse esistono sia derivata destra che sinistra ed esse assumono lo stesso valore.

Se è derivabile in , si definisce tangente al grafico di nel punto la retta di equazione:

(abuso di notazione)

Se

Nozione di differenziabilità

è differenziabile in se retta errore (tende a 0)

Thr è differenziabile in se e solo se è derivabile in

Derivabilità e Continuità

Thr è derivabile in , allora è continua in

Dim

Punti di non derivabilità In : derivata destra e sinistra diverse. (tangenti)

è un punto angoloso

In : non derivabile

è un punto a tangente verticale

Analisi Pagina 23

In : non derivabile

non è interpretabile come retta tagente, ma il grafico della funzione

presenta una cuspide.

Informalmente, si può dire che le tangenti destra e sinistra formano un

angolo nullo.

è un punto di cuscpide

In : non derivabile, inoltre non esistono tangenti al grafico della

funzione in

In sintesi:

Data una funzione e un punto :

è derivabile in continua in

è continua in derivabile in

I punti in cui e continua ma non deribabile possono essere:

• Punti angolosi

• Punti di tangente verticale

• Punti di cuspide

• Punti dove non esiste, né vale , una o entrambe tra derivata destra e sinistra

Oss. Nella tipologia di un punto angoloso, includiamo anche quei punto dove esistano derivata destra e sinistra, di cui

una finita e l'altra infinita.

Calcolo di derivate

Siano e derivabili in :

Derivata della composta

Sia derivabile in e derivabile in , allora la funzione composta è derivabile in e vale la

formula: Analisi Pagina 24

formula:

Derivata della funzione inversa

Sia una funzione continua e strettamente monotona.

Se è derivabile in e , allora la sua inversa è derivabile nel punto e vale la formula:

Dim chiamando

Otteniamo

Pertanto , a questo punto basta notare che quando anche ( continua in

Funzione elementari più note

Utilizzando la derivata del logaritmo e la derivata della composta ricaviamo:

Punti di flesso

Sia derivabile in e sia la tangente in

Il punto è detto di flesso se esiste per cui:

è rispettivamente non negativa e non positiva nei due intervalli e

Il punto è detto flesso, e la retta viene chiamata tangente di flesso. tolto il si parla di

*

Estremi locali

Sia una funzione a valori reali di dominio .

Un punto è un punto di massimo locale se esiste un intervallo aperto per cui:

Il corrispondente valore è detto massimo locale e un punto di massimo locale.

Se invece

Il corrispondente valore è detto minimo locale e un punto di minimo locale

.

Per estremo locale di una funzione si intende un massimo o un minimo della funzione stessa.

I punti di massimo|minimo sono detti estremanti locali.

Teorema di Fermat

Sia e sia un estremante locale, se è derivabile in , allora

Dim. Analisi Pagina 25

Dim. Se è un punto di massimo locale si ha che:

Dal thr. di permanenza del segno:

La dimostrazione è del tutto analoga per un punto di minimo locale.

Un valore che annulla la derivata viene chiamato punto stazionario.

Il teorema di Fermat stabilisce che, dove è derivabile, gli eventuali estremanti locali vanno ricercati tra i punti

stazionari.

Operativamente, significa trovare le soluzioni dell'equazione:

Teorema di Lagrange

Consideriamo una funzione a valori reali definita in ogni punto di un intervallo chiuso .

Sia continua su e derivabile in .

Allora esiste un punto tale che:

Il teorema ha una chiara interpretazione geometrica:

Esiste un punto interno all'intervallo per cui la tangente

in è parallela alla rettta per i punti e .

Nell'ipotesi aggiuntiva si ottiene il teorema di Rolle. Assumendo vero quest'ultimo, il teorema di lagrange

si dimostra in modo pressochè immediato, tramite la funzione ausiliaria:

Soddisfa infatti le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo e pertanto esiste tale che:

Dim Per quanto detto sopra, possiamo supporre che .

La tesi si ottiene mostrando l'esistenza di un estremante locale .

In tal caso il teorema di Fermat assicura che

Dal teorema di Weierstrass la funzione continua ha massiom e minimo assoluto in .

Se è costante, ogni punto di è estremante.

Se non è costante, almeno no dei suoi estremanti locali non può giacere agli estremi dell'intervallo, e deve quindi

appartenere ad

Il teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una funzione in un punto.

Sia e sia derivabile in e continua in .

Se esiste ed è finito il limite

Allora è derivabile anche nel punto e (da cui segue che è continua in ).

La funzione derivata

Sia , dove è un intervallo reale eventualmente non limitato.

Qualora sia derivabile in almeno un punto di , possiamo costruire la funzioen derivata di dominio:

è derivabile in , che associa ad ogni il valore

È possibile che l'insieme sia vuoto e pertanto non definita, anche se è continua, ma anche che il dominio

coincida con l'intero intervallo .

La è detta di classe su se la sua derivata 1e una funzione continua su .

L'insieme delle funzioni di classe su viene indicato con mentre è l'insiem delle funzioni continue su .

L'uguaglianza non implica (la funzione derivata può avere punti di discontinuità).

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L'uguaglianza non implica (la funzione derivata può avere punti di discontinuità).

Thr Sia . Per ogni coppia di punti dell'intervallo , la funzione assume nell'intervallo aperto tutti i

valori strettamente compresi tra e .

Dim Se non c'è nulla da dimostrare. Sia dunque

Preso un qualsiasi valore tale che:

definiamo

è continua su , quindi ammette minimo assoluto. Essendo:

e

Il minimo è assunto in un punto interno all'intervallo .

Il teorema di Fermat assicura che

abbiamo trovato

Corollario: se , la funzione può avere solo discontinuità di seconda speciei (sia salti che eliminabili sono

incompatibli con Darboux).

Thr Se , la è continua su un insieme di cardinalità non numerabile denso in .

Derivabilità e Monotonia

Thr Sia continua su e derivabile in . Allora:

è crescente in

Dim Se è crescente, il rapporto incrementale on ogni punto è non negativo, e quindi in ogni punto la derivata è

non negativa (permanenza del segno).

Sia in Presa una qualsiasi coppia di punti , applichiamo lagrange in . Esiste

allora un punto tale che:

ma , da cui

Corollario: Sia continua su e derivabile in . Allora:

è costante in

Corollario: Sia continua su e derivabile in . Se

Allora è strettamente crescente in . Analogamente, se , è strettamente decrescente.

Questo risulta utile nello studio di funzione. Supponiamo, infatti, che dallo studio della disequazione si

deducono due informazioni:

1. Esiste un punto stazionario

Esiste un intorno di dove si verifica uno dei seguenti casi:

2. i. monotonia crescente

ii. monotonia decrescente

iii. minimo locale

massimo locale

iv.

Tuttavia vi possono essere estremanti locali o punti di flesso a tangente orizzontale che non rientrano in questa casistica.

Derivate successive

Sia definita in un intervalllo . Se la corrispondente esiste ed è a sua volta derivabile, la derivata di ' nel punto

è detta derivata seconda di in , indicata con i simboli:

Iterando il ragionamento -volte si ottengono ciascuna derivata dalla precedente.

Oss.

Affinché possa esiste la funzione deve essere definita in un intorno di , da cui

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Affinché possa esiste la funzione deve essere definita in un intorno di , da cui

Si introducono gli spazi lineari

Definiamo inoltre lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili in , appartenenti a

Derivata seconda e concavità

Come il segno della deriva determina la crescenza o la decrescenza, in maniera analoga il segno della derivata seconda

determina la convessità o la concavità di una funzione.

Def. Una funzione è detta convessa se per ogni e per ogni vale la disuguaglianza

La è concava se la dis. Vale con , o equivalentemente è convessa.

Il significato geometrico è il seguente:

è convessa se per ogni int. chiuso :

, dove è la retta per .

Dalla definizione si può dedurre che una funzione convessa|concava in è continua in (potrebbe non esserlo

negli estremi).

Thr Sia convessa in . Se è derivabile in allora giace sopra la tangente in

Dim Supponiamo e mostriamo che vale :

suff. piccolo consideriamo e

Quindi , da cui:

sostituendo

Facendo il limite per e utilizzando il thr. di permanenza del segno:

Chiamiamo un punto di cambio di concavità se è convessa|concava in e concava|convessa in

(dal thr. si deduce che è un punto di flesso)

Thr Sia derivabile in e . Ponendo e notando che

Abbiamo:

Quindi possiamo dire che è convessa in se giace sopra la retta tangente nel punto per ogni .

Vediamo ora la relazione tra convessità e crescenza della derivata.

Sia derivabile in , allora convessa in crescente in

Dim .

Sia Abbiamo che

Da cui segue

Sia e sia . Applicando lagrange in otteniamo:

per crescente, , segue:

Corollario: Sia due volte derivabile in , punto di cambio di concavità.

Allora (fermat) * Analisi Pagina 28

Allora (fermat) *

Thr Sia derivabile in e due volte derivabile in .

Allora è convessa in

* non tutte le soluzioni dell'equazione sono necessariamente punti di cambio di concavità

Approssimazione polinomiale

Introduciamo l'argomento con un esempio pragmatico.

Supponiamo di voler calcolare il limite

Sapendo che soddisfa deduciamo che: (