Analisi 1 - appunti lezioni

Elementi di logica

Si dicono formule ben formate (fbf) quelle successioni di simboli o parole che rispettano una particolare sintassi. Si dice proposizione una fbf che non contiene variabili libere a cui si può attribuire un valore certo di vero o falso. Si dice predicato una fbf con delle variabili libere, il cui valore di verità dipende dal valore delle variabili, ma che una volta assegnati tali valori, deve essere vera o falsa. Il principio di non contraddizione afferma che una proposizione o un predicato non possono essere veri e falsi allo stesso tempo.

Connettivi

Congiunzione unisce i predicati, l'unione è vera solo se entrambi sono veri. Disgiunzione esclusiva è vera solo se un predicato è vero e l'altro falso. Disgiunzione inclusiva è vera se almeno un predicato è vero. Negazione permette di creare il contrario di un predicato. Implicazione significa che il valore di un predicato è sufficiente per stabilire il valore di un altro. Infine, la doppia implicazione implica che entrambi i valori dei predicati si implicano a vicenda.

Quantificatori

Sono utilizzati per esprimere la verità di una variabile libera:

• Esistenziale: esiste; esiste ed è unico
• Universale: per ogni

Teorema e dimostrazione

Il teorema è un asserto in cui si vuole dimostrare la verità partendo da delle ipotesi. L'ipotesi è una proposizione H assunta come vera, la tesi è una proposizione T. Dimostrare il teorema significa provare la veridicità della tesi partendo dalle ipotesi. La dimostrazione è l'insieme dei passaggi da una proposizione a un'altra equivalente, partendo dalle ipotesi per arrivare alla tesi.

Metodi di dimostrazione

• Deduttivo
• Per assurdo
• Induzione
• Per controesempio

Si dice assioma una proposizione presa per vera, senza dimostrazione. Gli assiomi devono essere coerenti, ovvero non deve essere possibile dimostrarne la falsità partendo da un altro assioma.

Insiemi

Un insieme è un termine primitivo del quale non si dà una definizione. L'insieme è comunque caratterizzato dai suoi elementi, e rappresentabile attraverso:

• Elencazione
• Proprietà caratteristica (l'insieme è il gruppo che soddisfa un dato predicato)
• Diagrammi di Eulero-Venn

L'insieme vuoto è un insieme senza elementi. Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi. Un insieme è sottoinsieme di un altro se ogni elemento del primo appartiene al secondo.

Definizione: insieme delle parti

L'insieme delle parti di un insieme A, indicato con P(A), è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A. Il numero di elementi di un insieme è detto cardinalità di A e si indica con |A|.

Operazioni tra insiemi

• Intersezione
• Unione
• Unione disgiunta
• Differenza
• Complementazione

Una coppia ordinata è una coppia di elementi in cui viene distinto l'ordinamento. Il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B è l'insieme formato da tutte le coppie ordinate formate da un elemento di A e uno di B.

Relazioni e funzioni

Si dice relazione tra A e B un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B e significa che un elemento di A è in relazione con un elemento di B. Una relazione particolare è la relazione d'ordine, ovvero che rispetta le proprietà di riflessività, anti-simmetria e transitività.

La relazione di equivalenza soddisfa invece la proprietà di riflessività, simmetria e transitività.

Si definisce funzione tra due insiemi A e B una particolare relazione tale per cui ad ogni valore di A corrisponde al più un solo valore di B. Una funzione che va da A a B si definisce con f: A → B.

L'elemento di B corrispondente ad un elemento di A è scritto come f(a). A è definito come insieme di partenza e B come insieme di arrivo. Il dominio della funzione è il sottoinsieme di A formato dagli elementi che hanno una corrispondenza in B attraverso la funzione. L'immagine di A è il sottoinsieme di B formato dagli elementi che vengono raggiunti da elementi di A mediante la funzione.

Una funzione è iniettiva se due punti distinti del dominio hanno immagine distinta. Una funzione è suriettiva se tutti i punti di B sono raggiunti dai punti di A. Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva. Nel caso in cui sia biunivoca si può costruire la funzione inversa: f^-1: B → A.

Funzioni composte e insiemi numerici

Assumiamo come noti i seguenti insiemi:

• Insieme dei numeri naturali: N
• Insieme dei numeri interi relativi: Z
• Insieme dei numeri razionali: Q, ossia i numeri che possono essere scritti come frazione

Un'operazione è una funzione dal prodotto cartesiano di un insieme all'insieme stesso.

Proprietà della somma e del prodotto

• Proprietà della somma: associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'elemento inverso
• Proprietà del prodotto: associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'elemento inverso (tranne che per 0)

I numeri razionali formano un campo poiché soddisfano queste proprietà di somma e prodotto. Gli elementi di Q possono essere rappresentati in forma decimale, che può essere formata da un numero finito o non di cifre periodiche. Q è un insieme ordinato rispetto alla relazione d'ordine.

Numeri reali

Definiamo numero reale un qualsiasi allineamento decimale (periodico e non). L'insieme dei numeri reali si indica con R, e i numeri irrazionali sono gli elementi di R che non sono razionali. Su R si estendono le proprietà di somma e prodotto dei razionali.

Si definisce modulo (valore assoluto) di un numero reale x il numero reale positivo |x|. Dati due numeri reali, si definisce intervallo uno dei sottoinsiemi di R: chiuso, aperto a sinistra, aperto a destra, aperto. Questi intervalli sono detti limitati, quelli illimitati sono detti non limitati.

L'insieme Q è denso in R, cioè ogni elemento di R può essere approssimato con un numero razionale. Un insieme si dice limitato se esiste un numero positivo tale che i suoi elementi risiedono entro un certo range. Un elemento è detto maggiorante di un insieme se è maggiore di tutti gli elementi dell'insieme, e minorante se è minore di tutti gli elementi dell'insieme. L'insieme dei maggioranti può essere vuoto (superiore illimitato), oppure può contenere infiniti maggioranti.

Gli estremi superiori e inferiori sono rispettivamente detti estremo superiore e inferiore dell'insieme. Ogni insieme non vuoto e superiormente o inferiormente limitato ammette un estremo. Questa proprietà è detta assioma di completezza, e quindi R è un campo ordinato e completo.

Numeri complessi

In R non tutte le equazioni sono risolvibili. Un numero complesso è un oggetto della forma a + bi, dove a è la parte reale e bi è la parte immaginaria. Per rappresentare i numeri complessi si può utilizzare il piano di Gauss, dove l'asse delle ordinate mostra la parte immaginaria e quello delle ascisse la parte reale.

Dato un numero complesso z = a + bi, si definisce modulo di z, indicato con |z|, il numero reale non negativo √(a² + b²). Si definisce coniugato di z, indicato con z̅, il numero complesso a - bi.

Somma e prodotto

• Somma: dati z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, la somma è z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
• Prodotto: dati z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, il prodotto è z1z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i

Teoremi e proprietà del modulo

• |z1z2| = |z1||z2|
• |z̅| = |z|
• |z| ≥ 0
• |z| = 0 se e solo se z = 0
• La disuguaglianza triangolare: |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

Dato un numero complesso z, si definisce l'inverso di z, cioè z^-1, se z ≠ 0, con z^-1 = z̅/|z|².

Notazione polare e formule di de Moivre

Usando la notazione polare si ottengono la forma trigonometrica e la forma esponenziale. Dato z = a + bi, possiamo associargli due quantità: il modulo |z| e l'argomento θ, l'angolo formato da z sull'asse reale positivo. La forma trigonometrica è z = |z|(cos θ + i sin θ), da cui si ricava anche quella esponenziale z = |z|e^iθ.

La formula di de Moivre afferma che, dato z = |z|(cos θ + i sin θ), allora zⁿ = |z|ⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)).

Radice di un numero complesso

Sia z = |z|(cos θ + i sin θ), allora esistono n radici n-esime chiamate radici di z date dalla formula: z^1/n = |z|^1/n(cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)), per k = 0, 1, ..., n-1. La disposizione delle radici non è casuale, esse si trovano ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio |z| e centro in 0.

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni equazione polinomiale di grado n con coefficienti complessi ammette esattamente n radici complesse, contate con la loro molteplicità.

Successioni

Una successione (numerica) è una funzione a valori numerici definita su un insieme di numeri naturali. Si indicano con {a_n} = a₁, a₂, ...

Il luogo degli a_n si scrive con A o {a_n}, ma con abuso di notazione si può anche usare a_n.

Una successione è limitata se esiste un numero positivo M tale che |a_n| ≤ M per ogni n. È positiva se a_n ≥ 0 per ogni n.

Convergenza

La convergenza di una successione numerica si verifica quando, a partire da un certo indice, i termini successivi si trovano nell'interno di un intervallo attorno a un punto L, detto limite della successione. La successione {a_n} converge ad L se per ogni ε > 0 esiste un numero N tale che |a_n - L| < ε per ogni n ≥ N.

Se {a_n} converge ad un valore L, si dice che tende ad L, cioè lim a_n = L. Se la successione è infinitesima, si dice che tende a 0.

Divergenza

Una successione è divergente se i suoi termini crescono senza limite. Se una successione non è né convergente né divergente si dice non regolare.

Teorema di unicità del limite

Se una successione converge, allora il limite è unico.

Teorema della limitatezza della convergenza

Se una successione converge, allora è limitata.

Teorema di permanenza del segno

• Se a_n ≥ 0 definitivamente, allora lim a_n ≥ 0.
• Se a_n ≤ 0 definitivamente, allora lim a_n ≤ 0.

Teorema del confronto

• Se {a_n} ≤ {b_n} definitivamente e lim b_n = L, allora lim a_n = L.
• Se {b_n} ≤ {a_n} definitivamente e lim b_n = L, allora lim a_n = L.

Teorema infinitesima per limitata

Se {a_n} è una successione limitata e {b_n} è una successione infinitesima, allora il prodotto {a_n * b_n} è una successione infinitesima.

Successioni monotone

Una successione è monotona se è crescente o decrescente. Se una successione è monotona e limitata, allora convergerà.

Sottosuccessioni

Data una successione, si può creare una sottosuccessione prendendo alcuni elementi della successione originale.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Se una successione è limitata, esiste una sottosuccessione convergente.

Successioni di Cauchy

Una successione è di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste un numero N tale che |a_n - a_m| < ε per ogni n, m ≥ N.

Completezza di R

L'assioma di completezza di R afferma che ogni insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente possiede un estremo superiore.

Operazioni con i limiti

• La somma, differenza, prodotto e quoziente di successioni convergenti sono anch'essi convergenti.

Forme di indecisione

Forme di indecisione possono apparire come 0/0 o ∞/∞.

Limite dell'esponenziale

Sia a base dell'esponenziale. Allora:

Limite del logaritmo

Sia x un numero reale positivo. Allora il limite del logaritmo:

Successioni asintotiche

Date due successioni {a_n} e {b_n}, esse si dicono asintotiche se lim (a_n/b_n) = 1.