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Analisi 1 - appunti lezioni

Appunti presi a lezione riscritti consultando anche le (poche) dispense fornite dal docente basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Pata dell’università degli Studi del Politecnico di Milano - Polimi, facoltà di Ingegneria dell'informazione. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Analisi matematica 1 docente Prof. V. Pata

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Limite del logaritmo

Sia con .

Allora:

Limite del modulo

Limiti notevoli

Limiti sull'esponenziale

Definizione di :

Ordini di infinito

Asintotici

Date due successioni e , esse si dicono asintotiche e si indica con se:

Analisi Pagina 10

definitivamente

È possibile creare delle catene di relazioni asintotiche.

Se

Se

L'asintotico può essere usato per sostituire un fattore per il suo asintotico.

L'asintotico non funziona con la somma. Analisi Pagina 11

Serie

Sia una successione fissata.

A partire da definisco una nuova successione detta successione delle somme parziali (o delle ridotte) -esime:

Chiamiamo serie di il che si indica ( termine generale della serie)

è una scrittura che rispecchia il procedimento fatto e il risultato ottenuto.

La serie è

Il comportamento della serie è detto anche carattere della serie.

Carattere della serie

Se converge e ha per somma .

Se diverge a

Se non ha limite è oscillante.

Condizione necessaria di convergenza

Se è convergente allora il termine generale , questa è una condizone necessaria ma non sufficiente.

Dim. dato che converge

Def. è detta a termini positivi se ( Se il carattere della serie non cambia)

Serie geometrica

Data la serie geometrica di ragione :

Se la serie risulta essere:

oppure se

Rappresentazione decimale

La serie converge per il teorema del confronto ( )

Serie telescopica

Se: Analisi Pagina 12

Se: Es. Serie di Mengoli

La serie geometrica è un altro esempio di serie telescopica.

Serie armonica

Osservazioni:

• La serie è a termini positivi (quindi converge o diverge)

• Dal test di convergenza non si determina il carattere della serie.

Thr. La serie armonica diverge a .

Dim. P.A.:

Formula di Eulero-Mascheroni

(costante di Eulero-Mascheroni)

Carattere della serie

Criterio del confronto (per serie a termini positivi)

Supponiamo di avere

Se diverge allora diverge

1. Se diverge allora diverge

2.

Se sono entrambe monotone crescentii

1. Se

2. Se converge converge

Quindi converge converge

Corollario:

Se costanti con e

Allora e hanno lo stesso carattere.

Considero la serie di Eulero:

Poiché Analisi Pagina 13

Poiché

Criterio del rapporto per le serie e Criterio della radice allora

Supponiamo

Criterio del rapporto:

Criterio della radice:

Criterio del confronto asintotico

Se e allora e hanno lo stesso carattere

Ex.:

Serie armonica generalizzata

Dim: si dimostra la convergenza con il confronto con la serie di mengoli

Serie Fattoriale

Thr.

Detta la successione la stima di convergenza è

Serie campione

Serie a segni alterni - convergenza assoluta

Una serie si dice assolutamente convergente se converge la serie .

(condizione sufficiente ma non necessaria)

Dim converge

se è convergente

Serie a segni alterni - criterio di Leibniz

Sia una successione e supponiamo che:

• Analisi Pagina 14

• (positivo - infinitesimo - decrescente)

Allora la serie è convergente.

Ex. converge per il criterio di leibniz

Analisi Pagina 15

Funzioni

Funzioni iperboliche

Il seno iperbolico è una funzione definita come

Il coseno iperbolico è una funzione definita come

La tangente iperbolica è una funzione definita come

Relazione fondamentale

Funzioni

Una funzione è una relazione tra due insiemi, detti dominio e codominio, che associa ad ogni elemento del dominio uno

e un solo elemento del codominio. Dominio insieme che consente la legge

utilizzata

Data una funzione di dominio e codominio , scelto un el. del dominio, si chiama immagine di il corrispondente

elemento del codominio, indicato con

Analogamente, se è un elemento del codominio immagine di , si dice che è una controimmagine di .

Mentre ad ogni elemento del dominio è assegnata una sola immagine, un elemento del codominio può avere più

controimmagini.

Grafico di

Il grafico di è il sottoinsieme

Somma e prodotto di funzioni

Iniettiva e Suriettiva

Se la funzione si dice suriettiva.

Se contiene al più un elemento la funzione si dice iniettiva.

Una sia iniettiva che suriettiva si dice biettiva o biunivoca.

Periodicità

è periodica di periodo se:

1.

2. Analisi Pagina 16

Funzioni limitate

è limitata se è un insieme limitato.

Una funzione può essere superiormente limitata, inferiormente limitata, o entrambe o non limitata.

Si definiscono massimo e minimo di una funzione , i numeri:

Un punto : è detto punto di massimo

minimo

Monotonia

è monotona

Simmetria

è simmetrica se e

Funzione inversa

Una funzione si dice invertibile se esiste e

Se una funzione è invertibile, è anche biunivoca e l'inversa si indica con .

Analisi Pagina 17

Limiti

Limiti di funzioni reali

Indichiamo con la retta reale estesa, definita normalmente come l'unione tra e gli el. e .

Punti di accumulazione

Chiamiamo intorno di , indicato generalmente con , un sottoinsieme:

come detto precedentemente

Definiamo inoltre , e .

Intorno di intorno

Siano e . Allora è detto punto di accumulazione di se ogni itnorno di contiene almeno un punto di

diverso da . bucato

, dove è l'intorno :

Si può dimostrare che è punto di accumulazione per se e solo se esiste (successione) tale che con

per ogni .

I punti appartenenti ad che non sono di accumulazione sono detti isolati.

Un punto è quindi detto isolato se esiste un intorno di che non contiene alcun punto di all'infuori di stesso.

In formule: è un punto isolato

Definizione di limite

Consideriamo di dominio .

Dato un punto , vogliamo studiare il comportamento di nelle vicinanze di , indipendentemente dal valore di .

Poiché non è definita all'infuori del suo dominio, ciò implica che sia un punto di accumulazione per .

Def.

Sia e un punto di accumulazione di

Diciamo che ammette limite in e scriviamo: se

In altre parole, in corrispondenza di ogni intorno esiste un intorno (che dipende da fissato) tale che se

appartiene contemporaneamente al diminio e all'intorno bucato , allora l'immagine cade nell'itnrno di .

Questo traduce l'idea che la funzione assuma valore arbitrariamente vicini a per ogni valore di sufficientemente

vicino (ma non uguale) a .

Limite destro e limite sinistro

Pu1o risultare utile considerare in limite di in un punto avvicinandosi al punto solo da destra|sinistra. In tal caso si

parla di limite destro|sinistro.

Dobbiamo però garantire che ci si possa avvicinare al punto da destra|sinistra muovendosi all'interno del dominio .

Def. Siano e un punto di acc. destro per .

Diciamo che ha limite destro uguale a in e scriviamo:

Se per ogni succ.

Allo stesso modo di definisce il limite sinistro.

Asintoti

Se allora la retta è asintoto orizzontale (destro se , sinistro se )

Se allora la retta è asintoto verticale (destro se , sinistro se )

La retta è asintoto obliquo destro se:

(analogo sinistro con ) Analisi Pagina 18

(analogo sinistro con )

Limiti successionali

Per calcolare i limiti della funzione reale ci si può appellare ai risultati noti sui limiti di successioni:

Sia e sia un punto di accumulazione per .

I seguenti fatti sono equivalenti:

1. successione , con , si ha la convergenza

2.

Operazioni con i limiti

Il limite in un punto* della somma, prodotto, quoziente di due funzioni è rispettivamente uguale alla somma, prodotto,

quoziente (se il denominatore è diverso da 0) dei due limiti, a patto che il risultato non sia una forma di indecisione.

*il punto deve essere di accumulazione anche per il dominio dell'operazione eseguita

Unicità del limite

Se ammette limite in un punto il valore di tale limite è unico.

Dim P.A. assurdo

Permanenza del segno

Se ha limite (oppure ) in un punto , allora:

La dim. si ricava dalla serie.

Teorema del confronto

Siano e e siano tre funzioni definite in un intorno bucato tale che:

Allora se

Dim:

Confronto.1:

Siano Allora:

Se

Se

Punti di frontiera

Dato , un punto è detto punto di frontiera per se ogni intorno di contiene almeno un punto di e

punto del complementare di . In formule:

Punto interno

Dato , un punto è detto punto interno se esiste un intorno di contenuto in . In formule:

Riassumendo

Dato un insieme , ed un punto si possono dunque presentare le seguenti situazioni:

• Se , allora può essere:

– Un punto isolato di , e in tal caso è un punto di frontiera.

– Un punto di accumulazione per , e in tal caso può essere un punto di frontiera o un punto interno.

Analisi Pagina 19

– Un punto di accumulazione per , e in tal caso può essere un punto di frontiera o un punto interno.

• Se , allora può essere:

– Un punto di accumulazione per , e in tal caso è un punto di frontiera.

– Un punto esterno per , ovvero non di accumulazione (in questo caso è un punto interno per )

Continuità di dominio

Diciamo che è continua in un punto se:

e

1. Se è un punto isolato di allora è continua in .

Se è un punto di accumulazione di alora continua in

2. (nozione locale)

è una funzione continua se è continua in (nozione globale)

Continuità uniforme

è uniformemente continua se una variazione di comporta una variazione dell'immagine e la misura della

variazione dipende dalla variazione di , ma non stesso.

è continua in , (continuità successionale)

Permanenza del segno

Sia continua in e sia

Allora

Operazioni su funzioni continue

Siano e continue in . Allora:

continua in , continua in , se continua in

Continuità della composta

Sia continua in e continua in . Allora è continua.

Dim. Sia Se e

Se e

Poiché .

Poiché

Quindi

Funzione di Dirichlet

è discontinua in ogni punto.

Funzione salto di Heaviside

Funzione continua a tratti.

Discontinuità

Sia in un punto di acc. di , allora è un punto di discontinuità per se non vale

Analisi Pagina 20

Sia in un punto di acc. di , allora è un punto di discontinuità per se non vale

Discontinuità di prima specie [tipo salto]

ma i due punti sono diversi

Discontinuità di terza specie [eliminabile]

Discontinuità di seconda specie [tutte le altre]

Almeno uno tra i limiti destro e sinistro o è indeterminato o vale

Prolungamento per discontinuità

Sia una funzione di dominio e sia ma è di accumulazione per .

Considero la funzione

Thr. monotona crescente e sia .

Allora esistono i limiti destri e sinistri in e vale

non è continua in uno o entrambi i sono in realtà

Corollario: se è monotona (su un intervallo) allora le uniche possibili discontinuità sono di tipo salto.

Teorema degli zeri

Sia continua.

Se

Dim. Prendo il punto medio e ottengo e

(vera per ogni )

Teorema dei valori intermedi [Proprietà di Darboux]

Analisi Pagina 21

Teorema dei valori intermedi [Proprietà di Darboux]

Sia intervallo, una funzione ha la proprietà di darboux, o dei valori intermedi, se:

Oss: Sia di Darboux, allora intervallo

Prendo tutti i valori

Non so se l'intervallo è aperto o chiuso

Thr continua è di Darboux

Dim Se niente da dim. Se e supponiamo :

Tesi:

Considero:

Teorema di Weierstrass

Sia continua. Allora ammette un massimo e un minimo .

Teorema riassuntivo

Sia continua. Allora dove

Thr

Se è monotona (crescente) definita da

continua

Dim P.A.:

non continua c'è un punto di discontinuità essendo monotona può essere solo di salto ho un segmento

non compreso nell'immagine. Assurdo.

Se è monotona e ha un salto, la sua immagine non è un intervallo.

Oss. Se , è continua e biunivoca ( e anche )

, se è monotona, rimane monotona e con la stessa monotonia.

Analisi Pagina 22

Derivate

Sia una funzione reale definita su e sia . Per reale e sufficiente piccolo affinche la

quantità: è detta rapporto incrementale

La funzione è derivabile nel punto se esiste tale che:

Il numero reale è detto derivata della in , denotato

derivata destra derivata sinistra

La è derivabile in sse esistono sia derivata destra che sinistra ed esse assumono lo stesso valore.

Se è derivabile in , si definisce tangente al grafico di nel punto la retta di equazione:

(abuso di notazione)

Se

Nozione di differenziabilità

è differenziabile in se retta errore (tende a 0)

Thr è differenziabile in se e solo se è derivabile in

Derivabilità e Continuità

Thr è derivabile in , allora è continua in

Dim

Punti di non derivabilità In : derivata destra e sinistra diverse. (tangenti)

è un punto angoloso

In : non derivabile

è un punto a tangente verticale

Analisi Pagina 23

In : non derivabile

non è interpretabile come retta tagente, ma il grafico della funzione

presenta una cuspide.

Informalmente, si può dire che le tangenti destra e sinistra formano un

angolo nullo.

è un punto di cuscpide

In : non derivabile, inoltre non esistono tangenti al grafico della

funzione in

In sintesi:

Data una funzione e un punto :

è derivabile in continua in

è continua in derivabile in

I punti in cui e continua ma non deribabile possono essere:

• Punti angolosi

• Punti di tangente verticale

• Punti di cuspide

• Punti dove non esiste, né vale , una o entrambe tra derivata destra e sinistra

Oss. Nella tipologia di un punto angoloso, includiamo anche quei punto dove esistano derivata destra e sinistra, di cui

una finita e l'altra infinita.

Calcolo di derivate

Siano e derivabili in :

Derivata della composta

Sia derivabile in e derivabile in , allora la funzione composta è derivabile in e vale la

formula: Analisi Pagina 24

formula:

Derivata della funzione inversa

Sia una funzione continua e strettamente monotona.

Se è derivabile in e , allora la sua inversa è derivabile nel punto e vale la formula:

Dim chiamando

Otteniamo

Pertanto , a questo punto basta notare che quando anche ( continua in

Funzione elementari più note

Utilizzando la derivata del logaritmo e la derivata della composta ricaviamo:

Punti di flesso

Sia derivabile in e sia la tangente in

Il punto è detto di flesso se esiste per cui:

è rispettivamente non negativa e non positiva nei due intervalli e

Il punto è detto flesso, e la retta viene chiamata tangente di flesso. tolto il si parla di

*

Estremi locali

Sia una funzione a valori reali di dominio .

Un punto è un punto di massimo locale se esiste un intervallo aperto per cui:

Il corrispondente valore è detto massimo locale e un punto di massimo locale.

Se invece

Il corrispondente valore è detto minimo locale e un punto di minimo locale

.

Per estremo locale di una funzione si intende un massimo o un minimo della funzione stessa.

I punti di massimo|minimo sono detti estremanti locali.

Teorema di Fermat

Sia e sia un estremante locale, se è derivabile in , allora

Dim. Analisi Pagina 25

Dim. Se è un punto di massimo locale si ha che:

Dal thr. di permanenza del segno:

La dimostrazione è del tutto analoga per un punto di minimo locale.

Un valore che annulla la derivata viene chiamato punto stazionario.

Il teorema di Fermat stabilisce che, dove è derivabile, gli eventuali estremanti locali vanno ricercati tra i punti

stazionari.

Operativamente, significa trovare le soluzioni dell'equazione:

Teorema di Lagrange

Consideriamo una funzione a valori reali definita in ogni punto di un intervallo chiuso .

Sia continua su e derivabile in .

Allora esiste un punto tale che:

Il teorema ha una chiara interpretazione geometrica:

Esiste un punto interno all'intervallo per cui la tangente

in è parallela alla rettta per i punti e .

Nell'ipotesi aggiuntiva si ottiene il teorema di Rolle. Assumendo vero quest'ultimo, il teorema di lagrange

si dimostra in modo pressochè immediato, tramite la funzione ausiliaria:

Soddisfa infatti le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo e pertanto esiste tale che:

Dim Per quanto detto sopra, possiamo supporre che .

La tesi si ottiene mostrando l'esistenza di un estremante locale .

In tal caso il teorema di Fermat assicura che

Dal teorema di Weierstrass la funzione continua ha massiom e minimo assoluto in .

Se è costante, ogni punto di è estremante.

Se non è costante, almeno no dei suoi estremanti locali non può giacere agli estremi dell'intervallo, e deve quindi

appartenere ad

Il teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una funzione in un punto.

Sia e sia derivabile in e continua in .

Se esiste ed è finito il limite

Allora è derivabile anche nel punto e (da cui segue che è continua in ).

La funzione derivata

Sia , dove è un intervallo reale eventualmente non limitato.

Qualora sia derivabile in almeno un punto di , possiamo costruire la funzioen derivata di dominio:

è derivabile in , che associa ad ogni il valore

È possibile che l'insieme sia vuoto e pertanto non definita, anche se è continua, ma anche che il dominio

coincida con l'intero intervallo .

La è detta di classe su se la sua derivata 1e una funzione continua su .

L'insieme delle funzioni di classe su viene indicato con mentre è l'insiem delle funzioni continue su .

L'uguaglianza non implica (la funzione derivata può avere punti di discontinuità).

Analisi Pagina 26


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica (COMO - CREMONA - MILANO)
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher AndreaNocito di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Pata Vittorino.

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