Analisi 1 compressed 81 160

Name: Analisi 1 compressed 81 160
Brand: Skuola.net
Price: 4.99 EUR
Availability: InStock
Rating: 4.0 (1 reviews)
Author: nanus000

Aggiornato il 20/04/2026

di nanus000

Publisher

Vota 4,0/5 (1)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Seconda parte di ogni lezione della professoressa Gabriella Tarantello questo file contiene tutti gli argomenti della seconda parte del corso che copre tutto il mese di novembre : limiti di …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Tarantello Gabriella

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2016-2017

80 pagine

7 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

lim_x→3 arc tg¹_x−3 NON AMMETTE LIMITE PER x→3 PERCHÈ

⇒ lim⁺_x→3 f(x) = −π/2 ≠ lim⁻_x→3 f(x) = π/2

PER IL LEMMA IL LIMITE DESTRO ≠ LIMITE SINISTRO

E QUINDI IL LIMITE NON ESISTE

GIÀ DIMOSTRATO NEL ESEMPIO 8 DELLA FINE DEL QUADERNO PRECEDENTE

VERIFICHIAMO: lim⁺_x→3 f(x) = π/2

Vero ∀δ_ε > 0

−δ_ε < x−3 < 0 ⇒ |arc tg¹_x−3 + π/2| < ε

−π/2 < arc tg¹_x−3 < −π/2 + ε

VERIFICA

VERIFICATA

RICORDO x≥3 "CONTRO PUNTO PER..." COSI' x→3 PUO' ESSERE

arc tg¹_x−3 < −π/2 + ε ⇒ 1⁺_x−3⁻ tg ^{(π/2 −ε)} = 3−x =

⇒ δ = 3−x > 0

tg^(π/2−ε)

⇒ δ_ε =

ESEMPIO 9

f(x) = x/|x| = { +1 PER x>0, −1 PER x 0}

lim⁺_x→0 f(x) = 1

lim⁻_x→0 f(x) = −1

⇒ ALLORA f(x) = x/|x| NON AMMETTE LIMITE PER x→0

POICHÉ IL LIMITE DESTRO ≠ LIMITE SINISTRO

lim arctg 1_x-3

non ammette limite per x->3

già dimostrato nel esempio 8 del quaderno precedente

verifichiamo: lim_x->3^- f(x) = π₂

vera la ε₀ -ε<x-3<0

esempio 9

f(x) = x_|x|

1 per x>0

-1 per x<0

dominio: ℝ-{0}

f(x) = x_|x| si chiama funzione segno x_|x|

lim_x->0⁺ f(x) = 1

lim_x->0^- f(x) = -1

Esempio 10

f(x) = sin(1/x)

Dominio = R - {0}

lim_x→0 f(x) = NON ESISTE

f: [a, +∞) → R

lim_x→+∞ f(x) = l

∀ε>0 ∃M_ε >0 ∀x>M_ε ⇒ |f(x) - l| < ε

f: (-∞, a] → R

lim_x→-∞ f(x) = l

∀ε>0 ∃M_ε >0 ∀x0 ? ∃M_ε >0 ? ∀x>M_ε ⇒ |sin(1/x) - 0|0 -arcsin(ε) < 1/x < arcsin(ε) è sempre vera

mentre 1/x < arcsin(ε) ⇒ x > 1/arcsin(ε) = M_ε

Esempio 2

f(x) = lim_t(t/x)Dominio = ℝ - {0}

lim_x→-∞ t/x = 0∀ε > 0? ∃η_ε > 0?∀x < -η_ε ⇒ |t/x| < ε

-arcmin(ε) < t/x < arcmin(ε)

In questo caso per x < 0 (Poiché x → -∞)1/x < arcmin(ε) è sempre vera

mentre:-arcmin(ε) < 1/x < -ε ⇒ 1/x = -1/|x| ⇒ 1/x < arcmin(ε)

⇒ 1 > 1/arcmin(ε) ⇒ |x| < - 1/arcmin(ε) ⇒ x < -1/arcmin(ε) = -η_ε

Limite Infinito

Definizione

x₀ ∈ D lim_x→x₀ f(x) = +∞∀M > 0 ∃δ_M > 0 |x-x₀| < δ ⇒ f(x) > M

x ∈ D - {x₀}

Definizione

x₀ ∈ D lim_x→x₀ f(x) = -∞∀M > 0 ∃δ_M > 0 |x-x₀| < δ ⇒ f(x) < -M

Esempio 1

f(x) = 1/|x|Dominio = ℝ - {0}

lim_x→0 1/|x| = +∞

∀M > 0 ∃δ > 0 |x-0| < δ ⇒ 1/|x| > M

1/|x| > M ⇒ |x| < 1/M = δ

Esempio 2

f(x) = ¹⁄_x Dominio = ℝ-{0}

In questo caso non abbiamo il modulo e dobbiamo vedere 2 casi.

lim_x→0⁺ ¹⁄_x = +∞ e lim_x→0⁻ ¹⁄_x = -∞

Verifichiamo lim_x→0⁻ ¹⁄_x = -∞

∀M>0 ∃δ>0 --S_{x M ⇒ |x| < ¹⁄_M Siccome x - ¹⁄_M = δ}

Asintoto verticale

Definizione

x = x₀ è asintoto verticale per f se lim_x→x₀⁻ f(x) = ±∞

σ se lim_x→x₀⁺ f(x) = ±∞

Esempio g(x) = ^-1⁄_x x≠0

= -1 x=0

lim_x→0 g(x) = +∞

Per la definizione al limite x → 0 non ci prendiamo nella verifica quindi g(x) = ^-1⁄

Anteprima

Vedrai una selezione di 17 pagine su 80