Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
limx->3 arc tg1x-3 non ammette limite per x->3
=> limx->3- f(x)= - π12 ≠ limx->3+ f(x)= π12 e quindi il limite non esiste
Già dimostrato negli esempio 8
Verifichiamo: limx->3- f(x)= π12
-π2 < arc tg1x-3 < -π12 + ε
arc tg1x-3 < - π12 + ε => 1x-3 < tg (- π12 + ε)
1x-3 < - 1x-3 tg (- π12 + ε) => 3 - x = 1tg (- π12 + ε)
Esempio 9
f(x) = x|x| = {1 per x>0 -1 per x<0
Dominio: R - {0}
limx->0+ f(x)=1
limx->0- f(x)=-1
Esercizio 10
f(x) = sin(1/x) Dominio = R–{0}
limx→0 f(x) = NON ESISTE
f: [a, +∞) → R
limx→+∞ f(x) = l ⇔ ∀ε>0 ∃ Mε > 0 ∀x > Mε ⇒ |f(x) – l| < ε
f: (-∞, a] → R
limx→-∞ f(x)=l ⇔ ∀ε>0 ∃ Mε > 0 ∀x < -Mε ⇒ |f(x) - l| < ε
Esempio
f(x) = 1/x Dominio = R–{0}
limx→+∞ 1/x = 0 ⇔ ∀ε>0 ∃ Mε > 0 ∀x > Mε ⇒ |1/x - 0| < ε
-ε < 1/x < ε ⇒ arcsen(-ε) < 1/x < arcsen(ε) ⇒
⇒ -arcsen(ε) < 1/x < arcsen(ε) ∀ x>0 Poiché sinusoide periodico ∈vero, -arcsen(ε) < 1/x ∈sempre vera
MENTRE 1/x ∈ -arcsen(ε) ⇒ x > 1/arcsen(ε) = Mε
LA NEGATIONE CONSISTE NEL DIRE CHE PERÒ SCELTO PERÒ MA ASSURDO
DAL TEOREMA PONTE SEGUONO TUTTE LE PROPRIETÀ DEI LIMITI VALIDE PER LE SUCCESSIONI
PRENDIAMO
-
PROPRIETA DI LINEARITÀ
DIMOSTRAZIONE: USIAMO IL TEOREMA PONTE E CONSIDERIAMO UNA SUCCESSIONE
-
PROPRIETA PRODOTTO
DIMOSTRAZIONE: USIAMO IL TEOREMA PONTE E CONSIDERIAMO UNA SUCCESSIONE
Teorema cambio variabile
Se limy→y0 g(y) = l ⇒ ∀ f(x) ≠ y0, il limx→x0 f(x) = y0 ⇒ limx→x0 g(f(x)) = l
sen y/y → 1 y → 0 n generale
limx→x0 f(x)/g(x) = 1 se f(x) → 0
limx→+∞ (1 + 1/x)x = e (Limite notevole)
limx→+∞ (1 + 1/x)x = e ⇒ Dimostrazione t = x, se x → ∞ = t → ∞
y = 1/x, t → ∞
limx→+∞ (1 + 1/x)x = e
limt→+∞ (1 + 1/t)x = limt→+∞ (1 + 1/t)t
= limt→+∞ ((t+1/t)/(t+1))t = limt→+∞ (1 + 1/t)t
= limt→+∞ ((1+1/t)t) = (1)e
Ponendo y = t-1 → ∞
limy→∞ (1 + 1/y)y = limt→∞ (1 + 1/y)y = e
1 = e
Esempio limy→+∞ (1 + 1/y)y = e
per x→0⁺ y = 1/x →∞ ⇒ limx→0⁺ (1 + 1/x)limx→0⁺ (1+x) = e
per x→0⁻ y = 1/x →∞ ⇒ limx→0⁻ (1 + 1/x)limx→0⁻ (1+x)‧xe
Pongo y=x-π/2; x=y+π/2
y→0lim y→0cos(π/2+y)
[ln tan(π/2+y) − ln sin(π/2+y)]
Pongo
y→0cos(π/2+y) = −sin y
y→0lim − (−sin y / y)
ln (1) − ln (0) + ln (1 − sin y / cos y)
=
Proposizione (Cambio variabile nei limiti)
se y→y0lim g(y)=l (∞)
allora
lim f(x)=y0 ⟹lim g(f(x)) = l
Dimostrazione: ∀ε>0 ∃δε>0: 0< |x-x0|0
0< |y - y0| 0
0< |x-x0|0\) \(a_2=a_1\ e\ b_2=\frac{a_1+b_1}{2}\ a\leq a_2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
