Dimostrazione per assurdo: non esiste x ∈ Q tale che x2 = 2
Supponiamo che esista x ∈ Q, x > 0 tale che x2 = 2. Allora x posso scriverlo come x = p/q con p e q interi positivi primi fra loro. Risulta: p2 = 2q2, da cui segue che p2 è divisibile per 2 e quindi p è pari, perciò si può porre p = 2m. Risulta allora q = q2/2 (4m2), ovvero q2 (poiché q è pari). Quindi p e q risultano entrambi positivi e pari e vanno contro l'ipotesi che erano primi tra loro e andiamo incontro a una contraddizione, risultando provato il teorema.
Proprietà di Archimede
Esiste n ∈ N tale che m > a
Dimostrazione per assurdo
Supponiamo che N sia superiore e limitato, quindi grazie al teorema della completezza, λ = sup N. Quindi λ è il minimo dei maggioranti di N, quindi λ - 1/2 non è un maggiorante di N. Quindi esiste m0 ∈ N tale che m0 ≥ λ - 1/2. Ma allora m0 + 1 ≥ λ - 1/2 + 1 = λ + 1/2. Questa definizione contraddice che λ = sup N, quindi è assurdo che N sia superiore e limitato.
Dimostrazione per assurdo: non esiste x ∈ Q tale che x2 = 2
Supponiamo che esista x ∈ Q, x > 0 tale che x2 = 2. Allora x posso scriverlo come x = p/q con p e q interi positivi primi fra loro. Risulta: p2 = 2q2, da cui segue che p2 è divisibile per 2 e quindi p è pari, perciò si può porre p = 2m. Risulta allora q = qa2/2, {2m}2, ovvero qa2 (che q è pari). Quindi p e q risultano entrambi positivi e pari e vanno contro l'ipotesi che erano primi tra loro e andiamo incontro a una contraddizione, risultando provato il teorema.
Proprietà di Archimede
∀x ∈ R, ∃m ∈ N tale che m ≥ x. Equivalente a dire che N non ha maggioranti.
Dimostrazione per assurdo
Supponiamo che N sia superiore e limitato, quindi grazie al teorema della completezza, λ = sup N. Quindi λ è il minimo dei maggioranti di N, quindi λ - 1/2 non è un maggiorante di N. Quindi esiste m0 ∈ N tale che m0 ≥ λ - 1/2. Ma allora m0 + 1 ≥ λ - 1/2 + 1 = λ + 1/2. Questa definizione contraddice che λ = sup N. Quindi è assurdo che N sia superiore e limitato.
Corollario 1 per la proprietà di Archimede
∀α, β ∈ ℝ con α, β > 0, ∃ m ∈ ℕ tale che mα > β.
Dimostrazione
Basta prendere il numero β > 0, avrò grazie alla proprietà archimedea che esiste m ∈ ℕ tale che m > β / α ⇒ mα > β.
Corollario 2 per la proprietà di Archimede
∀ε ∈ ℝ con ε > 0, ∃ m ∈ ℕ tale che 0 < 1 / m < ε. Esiste sempre.
Dimostrazione
Preso un qualsiasi ε > 0, avrò che 1 / ε > 0. Quindi esiste m ∈ ℕ tale che m > 1 / ε ⇒ 1 / m < ε per la proprietà di Archimede.
Densità di ℚ in ℝ
∀α, β ∈ ℝ, ∃ a ∈ ℚ tale che α < a < β. Esiste sempre una frazione che si trova nell'intervallo α e β per quanto l'intervallo α e β possa essere piccolo.
Dimostrazione
Senza perdere di generalità possiamo supporre che α, β > 0. Sia d = β - α > 0. Sappiamo che esiste m ∈ ℕ tale che 0 < 1/m < d = β - α. Per il corollario 1 sappiamo che esiste sempre un multiplo di 1/m che supera α. Prendo il più grande k0 tale che k0⋅1/m ≤ α, quindi (k0 + 1)1/m > α. Posso dire che 1/m(k0 + 1) ≤ β? Sì, perché (k0 + 1)1/m = k01/m + 1/m ≤ α + 1/m < α + α = α + (β - α) = β. Abbiamo quindi ottenuto un numero razionale (k0 + 1) tale che vale α < q < β, q = (k0 + 1)1/m.
Teorema: se A ⊂ ℝ A finito e non vuoto, allora A ammette massimo e minimo
→ Dimostrazione: se A = {a1, ...}
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
