Analisi 1 compressed 1 80

THM: Non esiste x ∈ Q t.c. x² = 2

Dimostrazione per assurdo:

Supponiamo che esiste x ∈ Q, x > 0 t.c. x² = 2

Allora x posso scriverlo x = p/q con p e q interi positivi primi fra loro.

Risulta: p² = 2q² da cui segue che p² è divisibile per 2 e quindi p è pari perciò si può porre p = 2m.

Risulta allora q = p₁/2

Ovvero q₂ (poiché q è pari)

Quindi p e q risultano entrambi positivi e pari e vanno contro l'ipotesi che erano primi tra loro e andiamo incontro ad una contraddizione e risulta provato il teorema.

THM Proprietà Archimede

∀α ∈ R ∃m ∈ N t.c. mα

Equivale a dire che IN non ha maggioranti

Dimostrazione per assurdo:

Supponiamo che IN sia superiore e limitato, quindi grazie al teorema della completezza λ = supIN

Quindi λ è il minimo dei maggioranti di IN, quindi λ - 1/2 non è un maggiorante di IN. Quindi ∃m₀ ∈ N t.c. m₀ ≥ λ - 1/2

Ma allora m₀ + 1 ≥ λ - 1/2 + 1 = λ + 1/2

Questa definizione contraddice che λ = supIN quindi è assurdo che IN sia superiore e limitato

Corollario 1 per la proprietà di Archimede

∀_β∈ℝ con α > 0 ∴ ∃m ∈ ℕ t.c. mα > β

Dimostrazione

Basta prendere il numero _B⁄_α > 0, avrò grazie alla proprietà archimedea avrò che ∃m ∈ ℕ t.c.

m > _B⁄_α ↔ mα > β

Corollario 2 per la proprietà di Archimede

∀ε ∈ ℝ con ε > 0 ∃m ∈ ℕ t.c. 0 < ¹⁄_m < ε

Dimostrazione

Preso un qualsiasi ε > 0, avrò che ¹⁄_ε > 0. Quindi ∃ m ∈ ℕ t.c. m > ¹⁄_ε ↔ ¹⁄_m < ε

per la proprietà di Archimede

Thm densità di ℚ in ℝ

∀α, β ∈ℝ ∃q ∈ ℚ t.c. α < q < β

Esiste sempre una frazione che si trova nell'intervallo α, β per quanto l'intervallo α e β possa essere piccolo.

Dimostrazione

Senza perdere di generalità possiamo supporre che α, β > 0

Definizione massimo e minimo

Dato A ⊆ R e x₀ ∈ R diremo che x₀ è il massimo di A se ∀x ∈ A è x₀ ≥ x e x₀ ∈ A.

Dato A ⊆ R e x₀ ∈ R diremo che x₀ è il minimo di A se ∀x ∈ A è x₀ ≤ x e x₀ ∈ A.

Definizione estremo superiore e estremo inferiore

Dato A ⊆ R diremo che λ ∈ R è estremo superiore (λ = sup(A)) se λ è il minimo maggiorante di A.

Dato A ⊆ R diremo che λ ∈ R è estremo inferiore (λ = inf(A)) se λ è il massimo dei minoranti di A.

Definizione insieme superiormente limitato

A è un insieme superiormente limitato se ha almeno un maggiorante.

Definizione insieme inferiormente limitato

A è un insieme inferiormente limitato se ha almeno un minorante.

Definizione insieme limitato

A è un insieme limitato se è sia inferiormente che superiormente limitato.

1. Estremo superiore l = sup A ⟺ (1) ∀x ∈ A. x ≤ l (2) ∀ε > 0 ∃x ∈ A t.c. x > l - ε
2. Estremo inferiore l = inf A ⟺ (1) ∀x ∈ A. x ≥ l (2) ∀ε > 0 ∃x ∈ A t.c. x < l + ε

Disuguaglianza Triangolare

∀ x, y ∈ ↠ |x+y| ≤ |x| + |y|

Dimostrazione

-|x| ≤ x ≤ |x|

-|y| ≤ y ≤ |y|

-|x|-|y| ≤ x+y ≤ |x| + |y| ⇒ (|x| + |y|) ≤ x+y ≤ |x|+|y|

⇒ |x+y| ≤

Conseguenza ⇒ |x| - |y| ≤ |x ± y|

Proprieta Potenze

1. a^x+y = a^x · a^y
2. (a₁·b)^x = a^x·b^x
3. (a^x)^y = a^xy
4. a^-x = 1/a^x
5. a⁰ > 0, a⁰ = 1, 1^x = 1
6. a^x > 1 se a > 1 e x > 0, a^x < 1 se a < 1 e x > 0
7. x > y ⇒
   • a^x > a^y se a > 1
   • a^x < a^y se a < 1
8. 0 ≤ a < b ⇒
   • a^x ▪ b^x se x ≤ 0
   • a^x ▪ b^x se x < 0
9. ∀a ≠1 a^x = a^y ⇒ x = y

-1 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x |x| ≤ 1 ⇔ 0 ≤ |x|² ≤ 1

Ma sappiamo che |x| = x |x| = |x·x| = |x²| = x²

E quindi 0 ≤ x² ≤ 1 ma siccome per la definizione

di f(A) y = x² 0 ≤ x² = y ≤ 1 e quindi f(A) = [0,1]

Esempio 2

f(x) = x²

A = [-2,1]

Suppone l'intervallo di A in 2 funzioni

f(A) = f([-2,0]) ∪ f([0,1])

f([0,1]) = [0,1] per l'esercizio precedente

f([-2,0]) = { y = x² con x ∈ [-2,0] }

So che 0 < x ≤ 0 ⇒

0 < x < 2 ⇒ x² ≤ 2²

⇒ 0 < x² ≤ 4

Sappiamo che x² = y quindi 0 ≤ y ≤ 4

f([-2,0]) = [0,4] ← immagine della funzione f([-2,0])

Adesso unisco le 2 immagini trovate

[0,4] ∪ [0,1] = [0,4]

Funzione Iniettiva Definizione

Una funzione f è iniettiva in A se x₁, x₂ ∈ A c.

f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

Esempio 1

• f(x) = ¹/_x è iniettiva nel suo dominio in ℝ\{0}

Esempio 2

• f(x) = x² è iniettiva in [0,+∞) o in (-∞,0]

Esempio 3

• f(x) = √x è iniettiva [0,+∞)

Esempio 4

• f(x) = x³ è iniettiva in ℝ

Esempio 5

• f(x) = ¹/_x³ è iniettiva in ℝ

Dimostrazione che f(x) = x² è iniettiva

Dobbiamo dimostrare

x₁, x₂ ∈ [0,+∞)

x₁² = x₂² ⇒ x₁ = x₂?

√x₁² = √x₂² ⇒ |x₁| = |x₂|

Se supponiamo che x₁, x₂ ∈ [0,+∞)

Allora |x₁| = x₁ e |x₂| = x₂

⇒ x₁ = x₂

Nel caso x₁, x₂ ∈ (-∞,0]

Allora |x₁| = -x₁ e |x₂| = -x₂

⇒ x₁ = x₂

Esercizio 10

f(x) = 1 - 2x²

1. PASSSO: DISEGNO x²
   • y = x²
2. PASSSO: RESTRINGO LA PARABOLA POICHÉ HO IL 2 DAVANTI
   • y = 2x²
3. PASSSO: RIBALTO LA PARABOLA POICHÉ HO IL "-"
4. PASSSO: ALZO DI 1 UNITÀ LA PARABOLA
   • y = 1 - 2x²

Esercizio 11

f(x) = 1 - 2(x - 3)³

1. PASSSO: PARTIAMO DAL GRAFICO
   • y = (x + x₀)³
   • SE x₀ È NEGATIVO (↓) SPOSTO A DESTRA
   • SE x₀ È POSITIVO (↑) SPOSTO A SINISTRA
2. PASSSO: DISEGNO (x - 3)³
   • y = (x - 3)³
3. PASSSO: DISEGNO -2(x - 3)³
   • y = -2(x - 3)³
4. PASSSO: DISEGNO 1 - 2(x - 3)³
   • y = 1 - 2(x - 3)³