THM: Non esiste x ∈ Q t.c. x2=2
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che esiste x ∈ Q, x>0 t.c. x2=2
Allora x posso scriverlo x = p/q con p e q interi positivi primi fra loro.
Risulta: p2 = 2q2 da cui segue che p2 è divisibile per 2 e quindi p è pari perciò si può porre p=2m
Risulta allora q = q2/2 (4m2) ovvero q2 (poe q è pari)
Quindi p e q risultano entrambi positivi e pari e vanno contro l'ipotesi che erano primi tra loro e andiamo in contro ad una contraddizione e risulta provato il teorema
THM Proprietà Archimede
Esiste n ∈ N t.c. m > a
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che N sia superiore e limitato quindi grazie al teorema della completezza λ = sup N
Quindi λ è il minimo dei maggioranti di N, quindi λ-1/2 non è un maggiorante di N. Quindi:
Esiste m0 ∈ N t.c. m0 ≥ λ - 1/2
Ma allora m0 + 1 ≥ λ - 1/2 +1 = λ + 1/2
Questa definizione contraddice che λ = sup N quindi è assurdo che N sia superiore e limitato
THM: Non esiste x ∈ Q t.c. x2=2
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che esiste x ∈ Q, x > 0 t.c. x2=2
Allora x posso scriverlo x = p/q con p e q interi positivi primi fra loro.
Risulta: p2 = 2q2 da cui segue che p2 è divisibile per 2 e quindi p è pari perciò si può porre p=2m
Risulta allora q = qa2/2, {2m}2 ovvero qa2 (che q è pari)
Quindi p e q risultano entrambi positivi e pari e vanno contro l'ipotesi che erano primi tra loro e
Andiamo in contro ad una contraddizione e risulta provato il teorema
THM: Proprietà Archimede
∀x∈R ∃m∈N t.c. m≥x
Equivalente a dire che N non ha maggioranti
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che N sia superioreente limitato quindi grazie al teorema della completezza λ=supN
Quindi λ è il minimo dei maggioranti di N, quindi λ-1/2 non è un maggiorante di N. Quindi :
∃m0∈N t.c. m0 ≥ λ-1/2
Ma allora m0+1 ≥ λ-1/2+1 = λ+1/2
Questa definizione contraddice che λ=supN
Quindi è assurdo che N sia superiorete limitato
Corollario 1 per la proprietà di Archimede
∀α, β ∈ ℝ con α, β > 0 ∃ m ∈ ℕ t.c. mα > β
Dimostrazione
Basta prendere il numero β > 0, avrò grazie alla proprietà archimedea avrò che ∃ m ∈ ℕ t.c.
m > β / α ⟺ mα > β
Corollario 2 per la proprietà di Archimede
∀ ε ∈ ℝ con ε > 0 ∃ m ∈ ℕ t.c. 0 < 1 / m < ε
Esiste sempre
Dimostrazione
Preso un qualsiasi ε > 0, avrò che 1 / ε > 0. Quindi ∃ m ∈ ℕ t.c. m > 1 / ε ⟺ 1 / m < ε
Per la proprietà di Archimede
Thm Densità di ℚ in ℝ
∀α, β ∈ ℝ ∃ a ∈ ℚ t.c. α < a < β
Esiste sempre una frazione che si trova nell'intervallo α e β per quanto l'intervallo α e β possa essere piccolo.
Dimostrazione
Senza perdere di generalità possiamo supporre che α, β > 0
sia d=β-α>0
sappiamo che ∃m∈ℕ t.c. 0<1/m<d=β-α
per il corollario 1 sappiamo che ∃ sempre un multiplo di 1/m che supera α prendo il più grande k0 t.c.
k0⋅1/m≤α quindi (k0+1)1/m>α
posso dire che 1/m(k0+1)≤β ?
sì
perché
(k0+1)1/m=k01/m+1/m≤α+1/m<α+α=α+(β-α) = β
abbiamo quindi ottenuto un numero razionale (k0+1) tale che vale
α<q<β
q=
(k0+1)1/m
THY sia A⊂ℝ A finito e non vuoto allora A ammette massimo e minimo
→ dimostrazione
se A={a1
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