Teorema Lagrange per i polinomi di Taylor
f: (a,b) → R (m-1)-volte derivabile in (a,b), con x0 ∈ (a,b)
⇒ ∃ c0 ∈ (a,b) :
f(x) - Pm(f, x0)(x)
(x - x0)m+1
= f(m+1) (t0)
(m+1)!
Per m = 0
f(x) - f(x0)
x - x0
f' (t0)
Dimostrazione per induzione
Per m=0 verificato prima
Supponiamo che il teorema è valido per m ovvero se
g è (m+1)-volte derivabile ⇒ ∃ c0 compreso tra x e x0 :
g(x) - Pm(g, x0)
(x - x0)m+1
= g(m+1) (t0)
(m+1)!
Adesso vediamo se vale per (m+1)
f(m+2) derivabile ⇒ ∃ t0 ∈ (x, x0) :
f(x) - Pm+1(f, x0)
(x - x0)m+2
= g(m+2) (t0)
(m+2)!
F(x) = f(x) - Pm+1(f, x0) ; F(x0) = 0
Poiché la funzione meno il suo polinomio di Taylor è nulla
G(x) = (x - x0)m+2 ; G(x0) = 0
Teorema Lagrange per i polinomi di Taylor
f: (a, b) → ℝ (m+1)-volte derivabile in (a, b), con x₀ ∈ (a, b) ⇒ ∃ t₀ ∈ (a, b) :
f(x) - P_m(f, x₀)(x) / (x-x₀)^(m+1) = f^(m+1)(t₀) / (m+1)!
Per m = 0
f(x) - f(x₀) / x-x₀ = f'(t₀)
Dimostrazione per induzione
Per m=0 verificato prima
Supponiamo che il teorema è valido per m ovvero se g è (m+1)-volte derivabile ⇒ ∃ t₀ compreso tra x e x₀ :
g(x) - P_m(g, x₀) / (x-x₀)^(m+1) = g^(m+1)(t₀) / (m+1)!
Adesso vediamo se vale per (m+1)
f^(m+2) derivabile ⇒ ∃ t₀ ∈ (x, x₀)
f(x) - P_m+1(f, x₀) / (x-x₀)^(m+2) = f^(m+2)(t₀) / (m+2)!
F(x) = f(x) - P_m+1(f, x₀) ; F(x₀) = 0
Poiché la funzione meno il suo polinomio di Taylor è nulla
G(x) = (x-x₀)^(m+2) ; G(x₀) = 0
QUINDI:
()+1(′,0) = ()−(0)′(1)(x−x0)+2 ()−(0) ≠ (1) APPLICO CAUCHY
CON 1 ∈ (,0)
l’() = () − +1(′,0)(x−x0)+2 = ′()−(′,0)
()+1(′,0) = 1’(1),(1;)0,(+1)0,(+2)!,0 (m−2)(x−x0)
→ (1)((1),0)−(−0)+1(→ CON (+1)!F= ∑=0^χ xk!X0 o < e-m/k=0∑m1/k! < sup>eo < e- m - 1/k=0∑m1/k! ≤ eoN
m = ρ∈N
⇒ m=Nρ ≤ eoN!/(m+1).
⇒ m - Nρ ≤ e N/m+1
1 ≤ m - Nρ ≤ eN/m+1
Assurdo poiché m - Nρ non può essere contemporaneamente ≱ 1 e ˂ 0
Ordinesi Infinitesimo e Infinito
f è infinitesima per x -> xo (δ x -> x- o) ammette ordine di
infinitesimo con ω > 0 se:
f(x) = l (x - xo)w
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