Analisi 1 compressed 161 236

Teorema Lagrange per i Polinomi di Taylor

f: (a,b) → ℝ (m+1)-volte derivabile in (a,b), con x₀ ∈ (a,b)

⇒ ∃ t₀ ∈ (a,b):

f⁽⁽ˣ⁾⁾ - Pₘ(f, x₀)(x)

(x - x₀)^m+1 = f⁽⁽ᵐ⁺¹⁾⁾(t₀)

(m+1)!

Per m=0

f(x) - f(x₀)

x - x₀ = f′(t₀)

Dimostrazione per induzione

Per m=0 Verificato prima

Supponiamo che il teorema è valido per m ovvero se

g è (m+1)-volte derivabile ⇒ ∃ t₀ compreso tra x e x₀ :

g⁽⁽ˣ⁾⁾ - Pₘ(g,x₀)(x)

(x - x₀)^m+1 = g⁽⁽ᵐ⁺¹⁾⁾(t₀)

(m+1)!

Adesso vediamo se vale per (m+1)

f⁽⁽ᵐ⁺²⁾⁾ derivabile ⇒ ∃ t₀ ∈ (x,x₀):

f⁽⁽ˣ⁾⁾ - Pₘ⁺¹(f, x₀)(x)

(x - x₀)^m+2 = f⁽⁽ᵐ⁺²⁾⁾(t₀)

(m+2)!

F(x) = f(x) - Pₘ⁺¹(f, x₀)(x); F(x₀) = 0

Poiché la funzione meno il suo polinomio di Taylor è nulla

G(x) = (x - x₀)^m+2; G(x₀) = 0

QUINDI:

CON _{x 0} ∈ (x, x₀)

MENTRE LA DERIVATA DI

QUINDI,

IPOTESI INDUTTIVA APPLICATA

A g = f'

X = x₁ ∃ c₀ ∈ (x₁, x₀)

^{m + 1} (c₀ = f^(m+2)(c₀)

^(m+2)!

NUMERO e NON APPARTIENE AI RAZIONALI

^{m + 1} (c₀ = f^(m+2)(c₀)

^(m+2)! = e ∉

t₀ COMPRESO TRA x₀, 0 e x

SE SCEGLIAMO x = 1

1¹ =

t₀ COMPRESO TRA 0 E 1

P₃(cos y, x₀=0) = 1 - ¹/₂ y² + ¹/₄ y⁴ + o(y⁵)

G₂(x) = - ¹/₂ + x * ¹/₄ x₁ x² + o(x²)

Viene incarnato dentro

f(x) = -^√31/₃₁ x³ + ¹/₈ x² + ¹/₄ x + o(x²⁾

Otteniano cosi

= ( ¹/₈ + ¹/₄ ) x² + o(x²)

Ordine di infinitesimo = 2

Esempio 3

f(x) = (ln x + cos √x - √ln x ) (ln x) - ( ¹/₈ + ¹/₄ ) x²(cos ln) ln x

= ( x² ln x ) ( ¹/₈ + ¹/₄ + o(1) ) → 0È una funzione infinitesima ma non ammette ordine di infinitesimo

Verifichiamo che x² ln x per x → 0

f(x) = ^{x2 ln x}/_x^α = ^x/_α ln x

• se α < 2
• se α > 2

f(x) → 0f(x) → ∞

Esempio 4

f(x) = (ln x + cos √x - √ln x ) (ln (y + x)) per x → 0

Sviluppo taylor di ln (1+x)

f(x) = ( ¹/₈ + ¹/₄ ) x² (1 + o(1)) x(1 + o(1))

= ( ¹/₈ + ¹/₄ ) x³ + o(x³)

Area Rettangolo 1 = A_R1 = Base I₁, altezza M₁

Area Rettangolo 2 = A_R2 = Base I₂, altezza M₂

Area Rettangolo j = A_Rj = Base I_j, altezza M_j

Ottengo così la somma superiore di ∫ rispetto a D che non è altro la somma di ciascun rettangolo =

S(f_j, D) = Σ M_j Δ_j

Sappiamo inoltre che l’estremo inferiore di tutta la funzione è più piccolo o uguale a tutti gli estremi inferiori che ho considerato ad ogni intervallo

m = inf{f(ω, b)}

m_j ≥ m j = 1, 2, 3... m

Sappiamo che l’estremo superiore di tutta la funzione è più grande o uguale a tutti gli estremi superiori che ho considerato ad ogni intervallo

M = sup{f(ω, b)}

Y_j ≤ M ∀ j = 1, 2, 3... m

Da questo ragionamento otteniamo le seguenti disuguaglianze

m ≤ m_j ≤ Y_j ≤ M

Da cui otteniamo

m(b-a) ≤ Σ (f_j, D) ≤ S(f_j, D) ≤ M(b-a)

Otteniamo così

∫_a^b f_j dx = inf S(f_j, D) = Integrale Superiore

∫_a^b dx = sup S(f_j, D) = Integrale Inferiore

m(b-a) ≤ ∫_a^b dx ≤ ∫_a^b dx ≤ M(b-a)

Abbiamo dimostrato che se

Dimostrazione

se

Per ipotesi

suddivisione di

suddivisione di

Sia è una suddivisione di ed inoltre valgono le seguenti uguaglianze:

Sottraendo la 1) e la 2) ottengo

Dimostrazione Corollario

G è primitiva di f

F(x) = ∫_a^x f(y) dy è primitiva di f

∃ c ∈ R t.c. G(x) = F(x) + c ∀ x ∈ [a, b]

Calcoliamo in a:

G(a) = F(a) + c = c poiché ∫_a^a f dx = 0 ∴ f(a) = 0

Quindi: G(x) = F(x) + G(a) ∀ x ∈ [a, b]

Calcoliamo in b:

G(b) = F(b) + G(a) = ∫_a^b f(y) dy + G(a) ⇒ G(b) - G(a) = ∫_a^b f dx

Esempio di come calcolare l'area di un triangolo nel piano

• Grafico
• Geometricamente:

Area Triangolo = α ₂ (b - a)

f(x) = α x + β

f(a) = α a + β

f(b) = α b + β

Area R = 1/2 (b - a)(f(b) - f(a)) = (b - a)(α (b - a))/2 = α/2 (b - a)

Area R = ∫_a^b f(x) dx - (b - a) f(a) = ∫_a^b f(x) dx - (b - a) (αa + β)

Occorre trovare una primitiva di f(x) = α x + β

Primitiva ⇒ G(x) = α/2 x² + βx

Dimostrazione utilizzando l'integrazione per parti

∫f(at)dt ⇒ u(t) = at u'(t) = a

quindi 1/a ∫ f(at) a dt = 1/a F(at) + c

Proprietà 5

∫ f' / f dx = ln |f| + c

Dimostrazione utilizzando l'integrazione per parti

∫u'(t)/u(t) dt = ∫f(u(t)) ⋅ u'(t)/u(t) = F(u(t)) = ln(u(t)) + c

f' = f(x) : f'(u(t)) = 1/u(t) ⇒ f(x) = 1/x ⇒ ∫f'(x) dx = ln |f| + c

Esempio

∫ 1/(1+√ε) dε

cambio variabile x=√ε dx=1/2√ε dε ⇒ dε = 2x dx

∫ x/(1+x²) ⋅ 2x dx = ∫ 2x/(4+x²) dx = 2∫ x/(x²+1) dx

= 2 ∫ 1/x(1+x²) dx - ∫ 1/(4+x²) dx = 2 ∫ [1/(x+1) - 1/(x-1)] / (4+x²)² dx

= 2 ln |x+1| + 1/(x+1) = ln (x+1)² + 2/(4+x²)

⇒ ∫ 1/(1+√ε) dε = ln(√ε+1)² + 2/(4+x²) + c

quindi sostituisco x = √ε ⇒

= ^x2/₂ - 2x + ^z/₂ ∫ ^2x+z/_x²+2x+z - 2x + ^2x+z/_x²+2x+z

= ^x2/₂ - 2x + ln|x²+2x+z| + 2 ∫ ¹/_(x²+z)+1 = ^x2/₂ - 2x + ln|x²+x| + 2arctg(x+1)

OPPURE AVREI POTUTO FARE LA DIVISIONE TRA POLINOMI

x³: x²+2x+z => x³ = (x²-z) (x²+5x+z) + 2(x+2)

∫ ^x3/_x²+2x+z = ∫ ^{(x-z)(x2+2x+z)}/_x²+2x+z + ∫ ^2(x+2)/_x²+2x+z = ∫x - z ∫1 + ∫ ^2x+4/_x²+z

CASO GENERALE

^Q(x)/_P(x) HO Q(x) ≠ 2 ALLORA FACCIO LA DIVISIONE FRA POLINOMI

TRA Q(x) ∈ P(x)

OTTENGO COSÌ Q(x) = m(x)p(x) + r(x) => POLINOMIO DI GRADO < GRADO P(x)

CON m(x) POLINOMIO DI GRADO ≤ GRADO Q - GRADO P

QUINDI: ∫ ^Q(x)/_P(x) = ∫m(x)dx + ∫^r(x)/_P(x)

CASO 1 Δ > 0

∫ ^dx/_(x-a)(x-b) - ∫ ¹/_(x-a)(x-b) = ∫A/(x-a) + ∫B/(x-b) = ∫ ^{A(x-b)+B(x-a)}/_(x-a)(x-b)

= (A+B)x - (Ab+Bα)

x - (x-a)(x-b)

POLINOMI DI PRIMO GRADO

= Aln |x-a| + Bln |x-b|

Esempio

^Q(x)-x+13 = ∫_ ^Δ(x-a)(x-b) => ^{A+β=0 (Aδ+βα)=1}