Analisi 1

Destro:

Perché il limite esista, i due limiti devono coincidere.

2.3. Limiti notevoli

Tra i limiti più utili troviamo:

1. .

2. .

3. .

2.4. Forme indeterminate e teoremi fondamentali

Quando si calcolano limiti possono comparire forme indeterminate come e . Si ricorre al Teorema di

De L’Hôpital, che afferma: se e (oppure tendono entrambi all’infinito) e le funzioni sono derivabili,

allora

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},

2.5. Limiti all’infinito e asintoti

Se e si avvicina a un valore , diciamo che . In tal caso, la retta è un asintoto orizzontale. Se invece

cresce senza limite, si studiano asintoti obliqui (quando per grandi ) o si constata che non esiste un

asintoto se la divergenza non è “lineare”.

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3. CONTINUITÀ

3.1. Definizione di continuità in un punto

Una funzione si dice continua in se

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

3.2. Continuità su un intervallo e punti di discontinuità

Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto interno e se rispetta la continuità

anche agli estremi (limite destro in e sinistro in ).

Discontinuità di prima specie: il limite esiste ma vale un numero diverso dal valore assunto dalla

funzione.

Discontinuità di seconda specie: il limite sinistro o destro non esiste (o divergono).

3.3. Teoremi sulle funzioni continue

Teorema di Weierstrass (di estremo): se è continua su un intervallo chiuso e limitato , allora ammette

massimo e minimo.

Teorema dei valori intermedi (di Darboux): se è continua su e è un valore compreso tra e , allora

esiste almeno un tale che .

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4. DERIVABILITÀ

4.1. Definizione di derivata

La derivata di in un punto è il limite del rapporto incrementale (se tale limite esiste):

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.

4.2. Regole di derivazione

Derivata del polinomio: se , allora .

Somma e prodotto:

(f+g)' = f' + g', \quad (f\,g)' = f' g + f\, g'.

Composizione (Teorema di derivazione della funzione composta): .

4.3. Derivate delle funzioni elementari

Esponenziale: .

Logaritmo: .

Seno e coseno: , .

Tan e cot: , .

4.4. Derivabilità e continuità

Se una funzione è derivabile in un punto, allora è anche continua in quel punto. Il viceversa non è

sempre vero: ci sono funzioni continue ma non derivabili (ad esempio, in corrispondenza di cuspidi o

punti angolosi).

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5. APPLICAZIONI DELLA DERIVATA

5.1. Teorema di Fermat e punti di massimo/minimo

Se ha un estremo locale in e è derivabile in , allora . Per individuare massimi e minimi locali si

studiano gli zeri della derivata (punti critici), verificando poi il segno di o applicando il test della

derivata seconda.

5.2. Teorema di Rolle e teorema di Lagrange

Teorema di Rolle: se è continua in , derivabile in e , esiste almeno un tale che .

Teorema di Lagrange (o del valor medio): se è continua in , derivabile in , esiste almeno un tale che

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.

5.3. Studio del grafico di una funzione

1. Dominio.

2. Eventuali simmetrie (funzione pari, dispari, periodica).

3. Asintoti verticali/orizzontali/obliqui (studio dei limiti).

4. Derivata prima: zeri, segno, punti critici, intervalli di crescita/decrescita.

5. Derivata seconda: concavità e punti di flesso.

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6. INTEGRALI

6.1. Integrale definito (Riemann)

Data una funzione limitata in e suddividendo l’intervallo in sottointervalli, si forma la somma di

Riemann:

S_n = \sum_{k=1}^{n} f(t_k)\,\Delta x_k,

6.2. Teorema della media integrale

Se è continua in , allora esiste almeno un tale che

\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b-a).

6.3. Proprietà

Additività: .

Monotonia: se in , allora .

Linearità: .

6.4. Integrale indefinito e antiderivate

L’integrale indefinito di è l’insieme di tutte le funzioni tali che . In simboli,

\int f(x)\,dx = F(x) + C.

(per ),

,

,

, ecc.

6.5. Teorema fondamentale del calcolo

Se è un’antiderivata di , allora

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

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7. APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI

7.1. Calcolo di aree piane

L’area tra la curva (positiva) e l’asse nell’intervallo si calcola come .

7.2. Volumi di solidi di rotazione

Se si ruota la curva attorno all’asse , il volume del solido ottenuto (metodo dei dischi) è

V = \pi \int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2 dx.

V = 2\pi \int_a^b x\,f(x)\,dx.

7.3. Lunghezza di una curva

La lunghezza di una curva in si calcola con la formula:

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx.

7.4. Lavoro di una forza

In fisica, se una forza variabile agisce lungo un asse su un corpo che si sposta da a , il lavoro

compiuto è

W = \int_a^b F(x)\,dx,

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8. SERIE NUMERICHE

8.1. Definizione di serie

Una serie è la somma infinita di termini di una successione:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n.

S_k = \sum_{n=1}^k a_n,

8.2. Criteri di convergenza

Confronto: se e per ogni , e se converge, allora converge anche .

Rapporto (o di D’Alembert): . Se , la serie converge assolutamente; se , diverge; se , il test non è

conclusivo.

Radice (o di Cauchy): . Se , la serie converge; se , diverge.

Convergenza assoluta: la serie converge assolutamente se converge. La convergenza assoluta

implica la convergenza semplice, ma non viceversa.

8.3. Serie di potenze e raggio di convergenza

Una serie di potenze ha la forma . Esiste sempre un raggio di convergenza , calcolabile spesso col

criterio di rapporto o radice. La serie converge per .

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9. SERIE DI TAYLOR E SVILUPPI IN SERIE

9.1. Espansione in serie di Taylor-Maclaurin

Se una funzione è sufficientemente derivabile in un intorno di (Maclaurin) o di (Taylor), possiamo

scriverla come