Analisi 1 - appunti seconda parte del programma

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Revisionato il 20/04/2026

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Appunti di analisi matematica 1 sulla seconda parte basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa Marcelli dell’università degli Studi del Politecnico …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marcelli Cristina

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2016-2017

132 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

funz. derivabile ⇒ continua

derivata funz ⇒ non è detto che è continua

f(x) =

x²sen¹/_x x ≠ 0
0 x = 0

∃ f'(0) = 0

f(x) =

2x sen 1/x + cos 1/x (- 1/x²) = 2x sen 1/x x cos 1/x x
x ≠ 0
0
f' ∃

∄ lim_x→0⁺ f'(x) e ∄ lim_x→0^- f'(x)

Sia f: D → R e x₀ ∈ I

max o min locale se ∃ δ > 0 . f(x₀) ≤ f(x₀) ∀x ∈ D

se è il minimo di una funzione ristretta nell'I centrato in x₀

ese - esempio di come min o max non corrisponde a cambio immediato di monotonia

f(x) =

x² sen¹/_x x ≠ 0
0 x = 0

f(x) ≥ f(0) ∀ x

funz. derivabile ➔ continua

derivata funz ➔ non è detto che è continua

f(x) =

x² sen¹, x ≠ 0
0, x = 0

∀ f′(0) = 0

f′(x) = 2x sen¹ + cos ₁ - (₁) = 2x sen¹ + cos ₁,x ≠ 0

∀ f′(

≯ lim x ➝ 0⁺ f′(x) ∉ lim x ➝ 0^- f′(x)

Sia f: D ⊆ R. se x₀ ♾ ∈ D

x₀ si dica pto di minimo locale se ∃ d > 0. f(x₀)

se ũ ♾ il minimo di una funzione ristretta nell'l centrota in x₀

f(x) =

x₂sen¹ , x ≠ 0
0, x = 0

∀x

⇔ caso di come min o max non corrispondo a cambio minuito di monotonità

f(x) ≥ f(0) ∀x

Teorema di Fermat

Sia f: I → ℝ tale che x₀ interno ad I ammette massimo o minimo locale.

Se f è derivabile in x₀, allora f'(x₀) = 0

Se pto di minimo

Studiano il segno di num. e denom. f'(x₀) = 0

Non vale il contrario → se f' = 0 non è detto che sia max o min

f'(x₀) condiz. necessariamax non suffic. x vedere max. o min.

Teorema di Rolle

Sia f: [a, b] → ℝ

continua in [a, b]
derivabile in (a, b)
f(a) = f(b)

Allora ∃ x₀ ∈ (a, b) , f'(x₀) = 0

m = min f e M = max f (× Weierstrass)

Se m = M tesi ovvia (funz. costante)

Se m ≠ M almeno uno dei due valori è assunto in un punto interno f'(x₀) = 0 (× Fermat)

Teorema di Lagrange

Sia f: [a, b] → ℝ

continua in [a, b]
derivabile in (a, b)

Allora ∃ x₀ ∈ (a, b) ⇒ f'(x₀) = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

Dim

g'(x) = f'(x) - ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

g(a) = f(a) - f(a)

g(b) = f(b) - f(b)

g'(x) = f'(x) - ^{[f(b) - f(a)]}⁄_{b - a}

g'(b) = 0

∃ x₀ ∈ (a, b) | g'(x₀) = 0 (Rolle)

g'(x) = f'(x) - ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a} ⇒ f'(x) = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) monotona crescente

Criterio di monotonia

Sia f: [a, b] → ℝ continua in [a, b], derivabile in (a, b)

f è crescente in [a, b] ⇔ f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b)
f è decrescente in [a, b] ⇔ f'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b)
f è costante in [a, b] ⇔ f'(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b)

Sia x₀ ∈ (a, b)

f'(x₀) = lim_{x → x₀⁺} ^{f(x) - f(x₀)}⁄_{x - x₀} > 0

Siano x₁, x₂ ∈ (a, b), con x₁ < x₂

Per Lagrange ∃ x₀ ∈ (x₁, x₂), f'(x₀) = ^{f(x₂) - f(x₁)}⁄_{x₂ - x₁} ≥ 0 (per tesi)

⇒ f(x₂) ≥ f(x₁) (funz. crescente)

perché x₂ > x₁

Corollario

Se f, I → ℝ è derivabile ∀️x ∈ I, x ≠ x₀, f'(x) ≥ 0 ∀x < x₀ f'(x) < 0 ∀x > x₀ allora x₀ è pto di massimof'(x) ≤ 0 ∀x < x₀ f

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