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funz derivabile ⇒ continua
derivata funz ⇒ non è detto che è continua
f(x) =
- xsen(1/x) x ≠ 0
- 0 x = 0
⟹ f'(x) =
- 1 − 1/x2 sen 1/x + cos1/x (1/x) = 2x sen1/x + 1 × cos1/x x ≠ 0
- 0 x = 0
⟹ limx→0f'(x) e limx→0f'(x)
Sia f:D → R se x0 è un massimo
x0 si dica pto di minimo locale
f(x0) ≤ f(x0) ∀x∈D, |x−x0| < δ
- se x è il minimo di una funzione ristretta nell'I centrato in x0
f(x) =
- x2sen2(1/x) x ≠ 0
- 0 x = 0
esempio di come min e max non corrisponde a cambio indotto di monotonia
f(x) ≥ f(0) ∀x
Teorema di Fermat
Sia f: I ⊂ ℝ tale che in x0 interno ad I ammette massimo o minimo local.
Se f è derivabile in x0, allora f'(x0) = 0
x punto di minimo
- f'(x-0) ≤ 0
- f'(x+0) ≥ 0 (x0 punto interno)
Studiano di nuovo di limiti e derivate ⟹ f'(x0) = 0
Non vale il contrario ⟹ se f'.’=0 non è detto che sia max o min
f(x) = x3
f'(x)0 condiz. necessario — ma non sufficiente vedere max. o min.
Teorema di Rolle
Sia f: [a,b] ⟶ ℝ
- continua in [a,b]
- derivabile in (a,b)
- f(a) = f(b)
Allora x0 ∈ (a,b) f'(x0) = 0
f m = min f e f M = max f (x Weirstrass)
- Se m = M tesi ovvia (funz. costante)
- Se m < M almeno uno del due valori è assunto in un punto intero f'(x0) = 0 (per Fermat)
sinh x = ex - e-x/2
y = ex + e-x/2
y2 - 2y + 1 = 0
e2x - 2y ex + 1 = 0
sinh-1(y) = log (y + √y2 - 1) ∀y ∈ ℝ
tauh x = sinh x/cosh x = ex - e-x/ex + e-x = e2x - 1/e2x + 1
D (tauh x) = cosh2x - sinh2x/cosh2x = 1/cosh2x > 0
lim y → +∞ ey q q+4 → ey (1 + 4/(q+4)!)
lim y → +∞ ey (1+ 4/q) q -1 → e
l(x) = (x) (x+1)
x ≥ -1
x ≤ -1
l'(x) = (x)
(x+1)x > 0 → x > 0
x > -1
x < -1
x
(x+1)
( )
1 + x
(x+1)
(x+2)
(x+1)
← -1
x > -1
l'(x) > 0 → x > -2
→ x+2 > 0
intersezione D
y = (1/2)x + 7/2
3) RIFRAZIONE
angolo di incidenza
angolo di rifrazione
La luce compie nel minimo tempo la distanza che intercorre tra due punti
T(x) = √(x-xo)2 + yo2/v1 + √(x-x1)2 + y12/v2
T'(x) = 1/v1 (x-xo)/√(x-xo)2 + yo2 + 1/v2 (x-x1)/√(x-x1)2 + y12
T'(o) = 1/v1 -xo/√xo2 + yo2 + 1/v2 x1/√x12 + y12 = 0 → sen i / v1 = sen r / v2
dimostrato
autovelox
S(x) = d12 + x2
S(x(t)) = √(d12 + x'(t)2)
S'(t) = x'(t) → velocità reale dell'automobile - x'(t)/√2
x'(t) = √2 S'(t)
velocità reale
velocità rispetto a 45°
f è convessa in I intervallo aperto
se ∀x₀ ∈ I ∃m ∈ R, tale che
f(x) ≥ f(x₀) + m (x - x₀)
(y = f(x₀) + m (x - x₀) si chiama retta di supporto alla (funzione))
Fissato x₀ ∈ I
Rx₀(x) = f(x) - f(x₀)/x - x₀ x ∈ I \ {x₀}
(non c’è bisogno che la f sia derivabile)
f convessa = le pendenze sono crescenti
f concava = le pendenze sono decrescenti
Primo criterio di convessità
f: I → R è convessa (I intervallo aperto) ⟺ ∀x0 ∈ I: Rx₀(x) è crescente
Fissiamo x₀ ∈ I siano x₁, x₂ ∈ I con x₁ < x₂
1o caso x₁ < x₀ < x₂
∃m ∈ Rx₀(x) ≤ m = Rx₀(x₂)
Se f è di classe C2(I) e in x0 ∈ I si ha f'(x0) = 0 , f''(x0) > 0
→ x0 = pto di minimo
f''(x) > 0 in un intorno di x0
f è convessa in un intorno di x0
f(x) ≥ f(x0) in (a, x0)
f''(x0)0
(μ + x)k = 1 + dx + 2 ( 1! . μ ) x2 + ... + (d/μ! λ) xn + o(xμ)
limx→0 1 - cos3x / x3 = limx→0 x3 - o(x3)
devo svilupp. fino a o(x2)
(μ mi basta)
limx→0 x3 / x6 x3 + o(x3)
x2 + o(x1)
-4/6 x3 + o(x3)
x3
limx→0 x2 + o(x4)
(A, B) sono insiemi separati se
a ≤ b ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B
A = [0, 1) B = [1, 2] possono avere 1 intersezione
A = [0, 1) B = (1, 2] infiniti elem. separati
A = (0, 1) B = [1, 2] un solo elem. separati. (contigui)
(A, B) si dicono "contigui" se sono separati ed hanno un unico elem. separato
(A, B) sono separati ⇔ sup A ≤ inf B
(A, B) sono contigui ⇔ sup A = inf B
Prop.
A, B sono contigui ⇔ ∀ ε ≥ 0 ∃ a ε ∈ A, b ε ∈ B . b ε - a ε < ε
(Sono molto vicini)
Parte Uccessaria
(→) ∀ ε > 0 ∃ a ε ∈ A . a ε = sup A + ε/2
∃ b ε ∈ B . b ε = inf B - ε/2
-a ε < -sup A + ε/2
b ε - a ε < ε
(Propr. estremi inf e sup)
(←)
inf B ≤ b ε < a ε + ε ≤ sup A + ε
(Sono separati)
inf B ≤ sup A + ε
0 ≤ inf B - sup A ≤ ε ∀ ε > 0
inf B - sup A = 0
⇒ inf B = sup A
Def.
Sia f: I ⟶ ℝ (I intervallo) Una funzione P(x) si dice primitiva di f se P è derivabile e P'(x) = f(x) ∀x ∈ I
N.B. Se f ammette discontinuità di I o III specie, allora non ammette primitive.
Se integrabile (una fin di discont.) Non ammette primitive (discont. di I specie)
Se P(x) è una primitiva → anche P(x) + K è primitiva (Se esistono sono infinite)
Viceversa se G(x) è un'altra primitiva di f, allora ∃ K ∈ ℝ: G(x) = P(x) + K
L’insieme di tutte le primitive, scrivono come P(x) + K, differiscono per una costante (traslazioni su asse y)
Sia H(x) = G(x) - P(x) H'(x) = G'(x) - P'(x) = f(x) - f(x) = 0 → H è costante
Se f ammette primitive, l’insieme di tutte le sue primitive si denota con ∫f(x)dx { P(x) + K | P primitiva di f }
Integrale indefinito
(famiglia di funzioni)
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