Analisi 2, Seconda parte

Superfici

Consideriamo A ⊂ R² un aperto connesso

Consideriamo una mappa r: T → IR³ continua.

Indichiamo con Σ l'immagine: Σ = r(T)

r(x,y) ∈ IR³

Def Si dice superficie di IR³ una coppia (Σ, r) dove Σ ⊂ IR³ e etc r(τ) = Σ (i.e. una sua parametrizzazione)

Notazione

r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

Diremo che r ∈ C^k(T) se ciascuna componente ∈ C^k(T),

Def Sia Σ ⊂ IR³, un punto P = r(u₀, v₀) dove u₀, v₀ ∈ T, si dice regolare se la matrice

J_(u0,v0) ha caratteristica 2 (i.e. rango),

J = (x_u(u₀,v₀) y_u(u₀,v₀) z_u(u₀,v₀))(x_v(u₀,v₀) y_v(u₀,v₀) z_v(u₀,v₀))

E5

1. Sia f: T ⊂ ℝ² → ℝ consideriamo f ∈ C¹(T)
   • r(u, v) = (u, v, f(u, v))
     • x = u
     • y = v
     • z = f(u, v)

   Quindi una funzione di due variabili è una superficie

   J_f(u₀, v₀) = ( 1 0 f_u(u₀, v₀) 0 1 f_v(u₀, v₀) )

   ⇒ det ≠ 0

2. Sia R>0 e sia x² + y² + z² = R² (sfera di centro l'origine e raggio R)

   r(ψ, θ) = R sinψ cosθ i + R sinψ sinθ j + R cosψ k_{le coordinate sferiche}

   è regolare.

   (^{R cosψ cosθ R cosψ sinθ −R sinψ}_{−R sinψ sinθ R sinψ cosθ 0})

   e i sottomatrici:

   = R² cos²ψ sinψ cosθ ψ + R² cosψ sinψ sin²θ = R² cos²ψ sinψ

   = R² sin²ψ sinθ

   = R² sin²ψ cosθ

   ψ ∈ (0, π) θ ∈ (0, 2π)

   (0, θ) non regolare

z = √( (x²/a²) + (y²/b²) )

base = ellisse

un cono

Def

Sia Σ regolare, semplice e Γ un aperto di ℝ². Definiamo area al Σ il valore

a(Σ) = ∬_Γ |r_u ∧ r_v| du dv

Notazione

Definiamo dΣ := |r_u ∧ r_v| du dv

⇒ a(Σ) = ∬_Σ dΣ

Oss

Consideriamo r(u, v) ∈ C¹ regolare.

Consideriamo il cambiamento di parametri

• u = φ(s, t)
• v = ψ(s, t)

con φ e ψ ∈ C¹

La curva r̃(s, t) = r(φ(s, t), ψ(s, t)). Ora r̃_s = r_u φ_s + r_v ψ_s

• r̃_t = r_u φ_t + r_v ψ_t
• r̃_s ∧ r̃_t: r_u ∧ r_v = det ( > 0 uguale verso -det < 0 verso opposto)

= (ψ_s φ_t - φ_s ψ_t) r_u ∧ r_v = ∂(ψ, φ) ^{| |}/∂(s, t) r_u ∧ r_v

⇒ La regolarità dei parametri non cambia se si opera una trasformazione regolare dei parametri

r_u ∧ r_v = ε e_u ∧ e_v indichiamo lo stesso piano quando da quella parte qui _{Sup 2}

Nota

Se det ∂(φ, ψ)/∂(s, t) ≠ 0 se la Sup. Σ è regolare allora riomare regolore

Consideriamo una sup Σ con parametrizzazione r(u,v) su un aperto T. Supponiamo sia regolare e connesso.

r(u(t), v(t)):

• x = u(u(t), v(t))
• y = v(u(t), v(t))
• z = w(u(t), v(t))

Consideriamo γ una curva con sostegno in Σ:

Consideriamo r(u(t), v(t)) con t ∈ [a, b] una curva sulla superficie δ(t): [a, b] → ℝ³

Se γ è regolare δ(t) è regolare - composizione di cose regolari

Chi è δ'(t)?

Combinazione lineare delle linee coordinate

Vett. tang.

Vive nel piano generato da r_u, r_v

Il vettore δ'(t) è combinazione lineare dipendente dal tempo di r_u, r_v.

Ogni volta che prendo sulla sup. hai a che fare con la parametrizzazione a dipende da u(t) v(t)

• u(t) e v(t) con una fissato
• = u(t) e v(t)
• altrimenti passa per origine

Il piano parallelo a quello generato da r_u e r_v traslato su p₀ contiene tutti i vettori tangenti alle curve su Σ che passano per p₀ e per questo lo chiamiamo piano tangente da sup eq è:

• < Σ = ≠ 0, Scrivelo per esteso

x p₀ = r(u₀, v₀)

DEF Data una sup. regolare Σ al parametrizzazione r(u,v) allora:

a(Σ) = ∬_τ ||r_u ∧ r_v|| du dv

ES

z = φ(x, y), con φ ∈ C¹(τ). area sup. quando espresso come f a 2 var.

\(\begin{cases} x = u \\ y = v \\ z = φ(u, v) \end{cases}\)

r_u ∧ r_v = (-φ_x, -φ_y, -1)

||r_u ∧ r_v|| = √1 + ||∇φ||² => a(Σ) = ∬√1 + ||∇φ||² dx dy

= ∬_τ √1 + φ_x² + φ_y² dx dy

φ(x, y)=h(x) => diventa lunghezza curva espresso come f di una variabile

ES

z = x² + y²

Γ = (x, y)|0 ≤ x² + y² <= 9

a(Σ) = ∬√(x)² + (y)² dx dy =

\(\begin{cases} x = ρ cos θ \\ y = ρ sin θ \end{cases}\)

converge fare il cambio di

- ∫₀^2π ∫₀³ √1 + ρ² ρ dρ dθ =

= 2π ∫₀³ √1 + ρ² ρ dρ = 2π [⅓ (1 + ρ²)^3/2]₀³ =

= 2π / 3 (1 + 9)^3/2 - 2π / 3 = 2π / 3 [10^3/2 - 1 ]

∫_a,b <F_n ^dy/_ds, -dx/ds > ds = ∫_∂D <F_n, ne > ds

è il vett. normale

T(a,0)

N'(0,-1)

esterna

=> GtGr = ∯_D divFdxdy=´ ∫_∂D <F_n, ne > ds

Scansionato con CamScanner

∬_Σ F ( y ) dx , y)

= ∬_T ( P_y ∂ ( x , x ) / ∂ ( u , v ) + P_z ∂ ( z , x ) / ∂ ( u , v ) ) dudv =

+ ∬_T ( - P_y ∂ ( x , x ) / ∂ ( u , v ) + P_z ∂ ( z , x ) / ∂ ( u , v ) ) dudv

Analogo per gli altri 2 integrali:

∬_∂Σ Q dy = ∬_T ( Q_x ∂ ( y , x ) / ∂ ( u , v ) + Q_z ∂ ( z , x ) / ∂ ( u , v ) ) dudv

∫_∂+Σ R dz = ∬_T ( - R_x ∂ ( z , x ) / ∂ ( u , v ) - R_y ∂ ( y , x ) / ∂ ( u , v ) ) dudv