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FOinf(x0) f(a)f(b) -= g(a)g(b)g((xo) -OSSERVAZIONE:T diintervallociascun (eSiafcontinua Fissati indezirabile elementiin punto di in. 2[k; x2) (x;x2), Lagraugedezivabileallowaféx*, x continuax e perx in in2,(x,xz)7 f(x) (x),f(x) ossiax - =[f(xz) x))f(x)(xzf(x) dell'incremente finitoformulae-=-[f(x) x0))0(xf(x0) x0)f(x)(x dell'incrementefozmula finito1-+-- =TeoremaI intervallo, decivabilef suè IFx->If() fécrsante>0se su- IIf(xke fx fé crescentestrettamentese = in- = I Ifxf(x) fé decusante=se = su0- =- IIxf(x) strettamente20 < decrescentef-se su-> fx-If(x)ATTENZIONE: strettamenteSef crescente >eM Rf(x)4, tuttostrettamente crescente inèf(x) 3x2= (mené 0)f((0) 0 >=dimostrazione I, FxtIall'interne II,fécrescente di->4) toxosu f(x)f(x0) f(x0)3f(x)2xxx =x= xfxoe) =0] f(x)f(x)* 028 * x0>D 0- -0 - =Oxf(x) f(x)f(x) -- -=0]Per la f fxodelpermanenza segno oI/A2x2FissianoI.tx- f(x)ef(x2)f(x0)2)

d.->x2x,20 p.x220,x2x x1>0- - f(x) nzatettfatf(x)la dell'incrementoUsiamo formula finito2 -=Teozer CResceNTe-f(x)f(xz)1I-Rdevirabilef: (interne)I Sef'(x0) fo)to critico dipunto destra disimistra allowto -> xo,to20 a20a ef(xo) f'(xo) f'(xo)=0Viaversaun sinistra di destra allocadio to,seperf. tomassimo a aeéunf(x0) minimo pezf.é L'HepitalTeozema dedi tot(to-(xo) tet,di appresentaredefinitef ancheintornoin xo può to, c,eg un - 14x0},Mif(x) apparelL= Ixxeslimg(x) L delirabiliin=c, lefeg senoscon= = = f(x)himg() INFINITO),(FINITO alloraesistesee OpPULL=0 xetog(x)limeeviste che:accadee 1[Tim oi's OSSERVAZIONE:M,xlogx taso=OSSERVAZIONE: l'HopitalDe condizionisufficienti necessaziefornisce ma nonFunzione Funzionestrettamentecrescente crescente** coppiaSe divaloriX, 12 conf(x)-f(x2)coppiaSe divaloriX, chealloca12 A accadex2con 2f(x)f(x2)cheallocate> accadex2F. sia Alasofben nell'delirabilein edefinita derivatesetestos.un

a# ↓KENIn derivatolak=1, diedimedefinisce derivatoko secondagenerale anchesiper (K-1)laI derivata dezivataf(xo) sechiamata diK-esima dif siprimato scriveesima eéin1)'(x0)f(x)(x0) (fk -=F. Ie fiml'èSefé me, intewall continuadezivabile lotte un aperteconin in G"(I).# I, Iéallo diclasse fsu scrivedice chef siemansi -Se IINNUn infinitadiclassedezivabile allora chefdicef si su sièé in e4°(I)scrive += 4"(I) <4"(1) 4"(I)c{"(I)eEF f(0)(x-f(x0) x0)flesso:yN.B. -=* (con Ircosl'alto) Ircos-Siciano xxeversoconcavitaé to esistechef seconvessa uninf(x)2 f(x0)(xf(x) x0)-+ IrcosISi Fx-Ircos f(x)f(x) (xf(x0) xo)strettamentedice fé in toche convessa se un- + -Ircos IrcosIbasso)Diciamo Xxe(concavitaverso ilféche inconcava seto unf(x) f(x0)(xf(x0) x0)= + - Ircos/Wxt[r(xo)7 f'(0) (X-xo)f(x)ef(x0)Si chef strettamentedice é to se unconcava in +F. ISia Iun'intervallo edf

dezivabile diceallocafunzione concavaf ouna siin# I IFx->convessa Sef èsu convessaconcava o1 txx f(x)convessat f(xr)(x x0)= + -concava& 7F. Punto flesso toin# IrcxosSi 7dezivabilepuntodiflesso f,di damfdice unto to cuiim se in insoddisfatta proprietaldelle seguentiè una TOI f(x) +(0) xexo=fx-Irxxos - prima1) cencavaflesso ascendente I(x0)f(x)- xox > poi+ convessaToIf(x) +(x0)= primaxexoFx- IrcxoS convessa2) flesso discendente - -unf(x) +(x0) concavax0= poix xTeoremaTSia I, leintervallo implicazioni.derivabile allora sequentiedf valgonofunzione suunaun f'èfé crescenteconvessa<-> f'éé decrescente<->f concavastrettamente crescente strettamentef convessaèf ->é decrescente-> strettamente strettamentef cencava->TeozemaSef I(xo)dezirabile uninéCocollario 1 leAlleva1.dezivabilef volte implicazioni:valgono sequenti2 su f"(x)I ->< 0I convessa su =I ->f"(X) 20=-concava

(x) strettamente convessa (0) = strettamente concava = . le Allevadezivabile volte implicazioni: sequentivalgonof in 2 allocaflessodi 0 puntose to = dialloca alloracambiase destra sinistra flesso. to, disegno to-puntoa0 e a= Altrimenti(no segno) flessoto un punto dicambio é non Teozema Sef dezirabile un dezirabile é volte é inf() celativo allora unse 0 minimo>0 e to é = un relativo allora Se 20 massimoto 0 e é = Sviluppi Taylor di lim0(x) liner x1 x x 001 -=+= + -> == 0x X-0(x)ex 30xx1 =--M ex -mex Ax1 0-- =7 ex zetta alla approssimo y 1 x= +Ihim ex-1-x-Ax 06 -x 0 0- 2* 0x -lime-1-2Ax 0(x)0A 2e201 1x2103. xH. += =- ++==↓x 2x cappresentao l'ecurelim ex-2A 2x1 xapprossimop. yH. -S = + +x 0 2 Proviamo cubica: con una 7) reextimex 0(x3)+Ax31x 01 xx -+ + += 0(x3)Ax3ex 1x2x1 x30-- - - = 3x2↳s.fx3 0/x3)ex +2x x1 x 30++ += lim 2x0(x3) 5Ax3 1Ix H.1 302

xxy + -+ -++ == + S 0 6X-*Min exj6A 2 A 601C. H. =-= =Proviams polinomie di geade:4con un 63het x2 Ax0(x4) -Ax4ex fx32 0 xx1 1 -- 0x --> -+ x ++ + S+= =4x0(x)ex Axx 5x3 0x1 x -- -- =-- Ex-hAxline 1 x-3. H. -- =x 4x30S -2x lim0(x4)xEx2 ex-124x45x3 x-12Ax1 J.x 0 H.-++= + -++ -O 4.3x2↓S. x0(x4) -1x +5x x+ 81 -xy ++= + + lim ex 24Ax1H. -- =im 24x↓a.r. Aex-zaALa 10esponenziale dunquefunzione come ==0x 24 24-polinomio gradodi4unSupponiamo lodesirabile attozne vetteo siato 0sia iea =0(x)][f(x) f'(0)f(x) dell'incremente finitex 1fermula con 0to= + =+f(0) f(0)x 0(x2)f(x) Ax2 += ++↓ perche' voltederivabile 2sialim f(0) (0) Axf(x) x 0- -- -=↓ !Rif(x) fe) f"(e)2Ax 21 0- - -= =2xS fe3.1.f"(x) A2 =- 0(x)f(0) f"(e)x2f(e)xf(x) + + += 0x3)) fe-fextf"- Axf"(e)xf((0)xf(0) 0(x3)f(x) Ax3 e-+= +++ =f"(e) f(x) f"(0)f() f"(0)Xf(e)f(x) 37x2+ Ax3x -- -- + = =++ S 3x20x + f"(x) f() 8Axlim3. H. - - =&D.

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8x-0(x3)f(x3f"()x2f(0)f(x) f(e)x= + ++ + f(x)- f(x)6tlum A·H. ==8-*All'adine m: 1entafrxntf(xf(x) f(x) f(0)x f(x darzenMcSviluppo di= ...+ + ++ + x 8per -l'ezzozela dezivabileN.B. funzione+ é+l'approssimazione miglioseèTeozema Taylozdi totIN, Taylorlodezirabile dimolineé divolte alloca svilupposef attorno difto,a inié:atterns Xs x0)0(Xpn(x x0)f(x) x0x-- -+= -dipolinomio diezzozeapprossimazioneTaylsz fosx-xox0f(x) f(xx)(xpn(X-x0). f"xxe)x0)deve + -= -+ + n!Invece (X-x0)l'azzere ladezirab
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Publisher
Sancias
A.A. 2022-2023
32 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sancias di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino o del prof Cordovez Jorge Raul.