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Logica
La logica è fatta di proposizioni. Queste possono essere vero o false e intersecate tra loro (Proposizioni P e Q per esempio).
Negazione (¬)
P ¬P V F F VQuando P è vera, non-P (¬P) è falsa e viceversa.
Congiunzione logica (∧)
P Q P∧Q V V V V F F F V F F F FCon il connettivo ∧ si vuole che entrambe le proposizioni siano vera allo stesso tempo.
Disgiunzione logica (∨)
P Q P∨Q V V V V F V F V V F F FCon il ‘vel’ (∨) si vuole che almeno una delle 2 proposizioni sia vera.
Implica (⇒)
P Q P⇒Q V V V V F F F V V F F VCon il connettivo ⇒ si mette in rapporto di implicazione una proposizione ad un'altra. Se P è vera l’implicazione è solo se anche la conseguenza lo è, mentre da una proposizione falsa si può implicare sia una prop. vera che una falsa.
Predicati e quantificatori
Proposizioni per le quali il valore di verità dipende da n variabili. ∀ per ogni x: universo e: esistenziale ∃: esiste. ∃: almeno uno x e: apposizione. ∃: non esiste. ∃: non è apposizione
INSIEMI
N: insieme dei numeri naturali - N = {0, 1, 2, 3 ... n}
Z: insieme dei numeri relativi - Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... n}
Q: insieme dei numeri razionali - Q = m/n ; n∈Z^*∧m∈Z
R: insieme dei numeri reali
C: insieme dei numeri complessi
RELAZIONE D'ORDINE
- (x ≤ x) riflessiva
- ((x≤y)∧(y≤x)⇒x=y) antisimmetrica
- ((x≤n)∧(n≤y)⇒x≤y) transitiva
OPERAZIONI CON GLI INSIEMI (dati 2 insiemi A e B)
- A ∪ B unione: A ∪ B = {x | (x∈A)∨(x∈B)}
- A ∩ B intersezione: A ∩ B = {x | (x∈A)∧(x∈B)}
- A \ B differenza: A \ B = {x | (x∈A)∧(x∉B)}
- ℰ A complementare: ℰ A = {x | x∈A}
- (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Intervalli
(a, b) = {x ∈ R: a < x < b} aperto
[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b} chiuso
(a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b} aperto a sx e chiuso a dx (e viceversa)
(-∞, b) = {x ∈ R: x < b} aperto
Maggiore
∀x ∈ A x ≤ M ∀x ∈ A
Minore
∀x ∈ A
Massimo
∀x ∈ A
Minimo
∀x ∈ A
Sup
- S ∈ R ∧ S ≥ x ∀x ∈ A
- Se ∃x ∈ A: x₁ < x₂ ≤ S
Inf
- I ∈ R ∧ I ≤ x ∀x ∈ A
- Se x₁, > ∃x₂ ∈ A, x ≤ x₂ < x₄
Successioni
Sono funzioni su interi ℕ→ℝ che hanno notazione
y = an
ES: an = 1/n
an = n! f(x) = x!
Funzioni
Sono relazioni che ammettono ∀x∈ℝ, alcuni uno y corrispondente f:ℝ→ℝ, l'immagine di una funzione è data dall'intervallo in cui essa è rappresentata
ES: y = √1 + x2
Df = [-1,1]
y = f(x) trova rappresentazione (nesso equivalente al dominio di f)
Suggettività
y = f(x) è suriettiva se ad ogni y corrisponde almeno un x la controimmagine ∀x∈dom f (se ogni g ha un x nell'immagine ℝ)
∀x∈f(x)∃x∈f(x)∈ℝ: y= f(x)
Iniettività
y = f(x) è iniettiva se ad ogni valore di g corrisponde al più uno x tale che y= f(x)
Biettività
y = f(x) è suriettiva e iniettiva
Considerazioni su arctg(x)
tg(y), arctg(x)
y = arctg(x) è la funzione inversa di tg(y) nell'intervallo π/2, -π/2 e viceversa.
tg(y) = sin(y)/cos(y)
cos(y - π/2)
= -sin(y)
1/tg(y)
tg(y) = -tg(y - π/2)
π/2 < y < 0
PER y = π/2 y = 0
CAMBIA SOLO
tg(arctg(-1/x)) = -x
0 < y < π/2
tg(arctg(1/x)) = x
y = arctg(-1/x)
-π/2 < y < 0
Visto che arctg è una f PARI → arctg(1/x) = -arctg(x)
arctg(x) = arctg(1/x)
sgn(-arctg)
arctg(-arctg(1/x))
x > 0
x < 0
Esempio
f(x) = arctg(x) - arctg(1/x)
f(x) = {π/-/2 - arctg(x) x > 0
arctg(1/x =
f(x) = {π/-/2 x > 0
x < 0
LIMITI DESTRI E SINISTRI (O LATERALI)
DX
limx → x0+ f(x) = L ∈ ℝ ∪ {±∞}
∀ε > 0 ∃δ > 0 x ∈ x0 < x − x0 ≤ δ → f(x) ∈ I(L)
SX
limx → x0- f(x) = L ∈ ℝ ∪ {±∞}
∀ε > 0 ∃δ > 0 x ∈ dom f 0 < x0 − x ≤ δ → f(x) ∈ I(L)
ECCESSO DX
limx → c+ f(x) = l+
∀ε > 0 ∃ I(c): ∀ x ∈ dom f x ∈ I(c) x = c se c ∈ ℝ → 0 < f(x) − l < ε
ECCESSO SX
limx → c- f(x) = l-
∀ε > 0 ∃ I(c): ∀ x ∈ dom f x ∈ I(c) x = c se c ∈ ℝ → 0 < f(x)-l < ε
ESEMPI DI LIMITI
- limx → x0 sin(x) = sin(x0) PERCHÉ sin(x) è CONTINUA
- limx → 0 1⁄x2 = ∞
∀M > 0 ∃δ > 0: 0 < |x − 0| ≤ δ → 1⁄x2> M
0 < x < δ
1 < 1⁄1⁄x > 1⁄x2 < 1⁄δ < 1⁄x
Limiti di Funzioni Monotone
f(x) è crescente ↔ (x₁, x₂ ∈ dom f e x₁ < x₂) → f(x₁) ≤ f(x₂)
Se f(x) è crescente il x → x₀ lim f(x) = sup f(x) x → x₀- lim f(x) = inf f(x) per tutte le x < x₀
Esempio
f(x) = x + 5sgn (x-1) x < 1 x > 1
x → 1- lim f(x) = 2 = inf f(x) x → 1+ lim f(x) = sup f(x)
Per f(x) monotona decrescente sono l’inverso.
x → x₀+ lim f(x) = sup f(x) / x → x₀- lim f(x) = inf f(x)
Per f(x) definita in un intorno di x₀ ∈ R allora in I(x₀) si ha che
- Se crescente x → x₀- lim f(x) ≤ f(x) ≤ x → x₀+ lim f(x)
- Se decrescente x → x₀+ lim f(x) ≤ f(x) ≤ x → x₀- lim f(x)
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