Definizioni Analisi

Def di INSIEME: un insieme è una collezione di oggetti.

✏ come A descrivono gli universi: ∅ per elencazione: A = {3,9,6,9}

per proprietà: l'insieme è univocamente caratterizzato da certe proprietà dei suoi elementi: A = {numeri dispari}

Def: diciamo che B ⊂ A contenuto in A. B ⊆ A ∀b ∈ B⇒b ∈ A

A è uguale a B ⇒A ⊆ B e B ⊆ A

Fra A e B

A ⊆ B ⇒ A ⇒B = A=B

Noto a qsc : contenuto proprio (tre faccette)

contenuto sentence

Def di INSIEME VUOTO: definiamo insieme vuoto l'unico insieme che non contiene alcun elemento e lo denotiamo con ∅

UNIONE: x ∈ A⋃B ↔ x∈A e x∈ B

INTERSEZIONE: x ∈ A⋂B↔ x∈ A e x ∈ B

DIFFERENZA: x ∈ A\B ↔ x ∈ A e x∉ B

COMPLEMENTARE: si definiscono B⊆ A, B = A \B

PRODOTTO CARTESIANO: A × B formata delle copie ordinate (a,b) con a ∈ A e b ∈ B

Def di CARDINALITÀ: sia A un insieme finito. Chiamiamo il numero dei suoi elementi la cardinalità di A

Oss: A, B insiemi finiti: 1(A), B: 1 (A⋃B)

Def di INSIEME DELLE PARTI: l'insieme delle parti di A è ' 1 insieme

Oss: 9(A) = 2ⁿ

PRINCIPIO D'INDUZIONE

Sia P un'enumerazione dei dipendenti del paramenteo n∈ N. Assumiamo che: i poster

• ^I passo base: P₀ sia vera, cioè P_m vera per m = 0
• 2^o passo induttivo: ∀n ∈N oi 9a che, se P_m è vera, allora anche P_m+1 è vero

allora P_m è vero ∀n∈ N

• ieoi: P_m è vero 6∈ N
• finshima ∈ K N
• passo base: P₀ vera, cioè per m = K
• passo induttivo: se tale che P_m è vero, anche P_m+1 è vero

Principi d'induzione verificati:

• k = m(m+1) / 2 ∀m ∈ N
• k² = (m²(m+1)²)/4 ∀m ∈ N
• a^m = a^(m-1) + ... + a⁰ = (a^m-1)/(a-1) ∀m ∈ N
• 2^m-1 = (2^(m-1)-1) + (2^(m-2)-1) + ... + (2⁰-1) ∀m > 0
• b^m = 1 ∀m = 0
• m! ≥ 2^m ∀m ≥ 4
• 6^m ≥ 4^m + 5^m ∀m ∈ N

Disequazioni di Bernoulli:

• (1+x)^m ≥ 1 + mx ∀m ∈ N, x > -1

Passo base: m = 0

Passo induttivo: (1+x)^m+1 = (1+x)^m(1+x) = (1+mx)(1+x)

ipotesi: (1+x)^m ≥ 1 + mx

(1+mx)(1+x) ≥ (1+mx)(1+x)

(1+mx)² ≥ 1 + (m+1)x + mx²

Osserviamo che m ∉ R, x ≥0, quindi mx≥0

• ∀ numero e = 1 + (m+1)x

mx ≥ e ⟹ e ⟹ e ⟹1+(m+1)x

e = e + 1 + (m+1)x

m²+mx+1+(m+1)x ≥ 1+(m+1)x

Abbiamo quindi le seguenti diseguaglianze:

(1+x)^m+1 = (1+x)(1+mx) ≥ ...+(m+1)x

Abbiamo ottenuto la tesi

Dim

Unicità dei min e max. Sia A=[a;b] allora ∃m=max A; ∃m=min A. Assumiamo per assurdo che esista minA=m.

m ∈ A ∀ a ∈ R

Vogliamo provare che ∃ c ∈ A t.c. c < mCosì facendo otteniamo la contraddizione cercata. Dietro tanto m∈A,c∈m≤x. Applichiamo l’assioma di continuità ai seguenti insiemi:

{z ∈ t e z ∈ m} = a. si ha che   ∀ c ∈ R t.c.

-⁄3 z {z ∈ a} ⊆ c ∈ A ∀ a ≥ 1 ∈ A = a ≥ m ∈ min A

Def

A ⊆ R, A ≠ ∅ A è : SUPERIORENTE LIMITATA se A ammette maggiorantiINTERIORENTE LIMITATA se A ammette min. ∃=2 maggioranti

LIMITATO se A ammette minoranti ∃=2 maggioranti

Def di ESTREMO SUPERIORE

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅

1. supA = +∞ 2 ,  ∀ M, ∃ a ∈ A, t.c. a > M t.c. A, cioè non esistono maggioranti e quindi A non è superioramente limitato
2. supA = L ∉ A superioramente limitato∃ L = min{y ∈ R: A ⊆ ∀ a ∈ A}

Def di ESTREMO INFERIORE

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅

1. infA = -∞ 2 . ⊆ limer ∃ a ∈ A t.c. a > M, t.c. A, cioè non esistono minoranti e quindi A non è superioramente limitator = min{∈mer: mea ⧰ ∀ a ∈ A}

Che l’unico α ∈ A

Teo

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅, allora esistono unici infA e supA

Dim

Se A non è superioramente limitato allora sup-pre

1. Assumiamo che sia superiormente limitato, allora B: - ∑ N E R: 1° maggiorante di A. // ≠ min{
2. Assumiamo che zaoEB ∀ c ∈ B, per l’assioma di continuità ∀ l ∈ R t.c.
3. {z < a < ∈ b. c = BsoB, lCB = lCB

Quindi per definizione supA = l = minUB

Oss: Dato S⊆A, T⊆B. Calcoliamo esplicitamente (g◦f)(S).

g(S) = {g(a): a∈S} g(T) = {g(b): b∈T}

(g◦f)(S) = {g◦f(a): a∈S} = {f(g(a)): a∈S} = {g(b): b∈a: a∈S}

Def di identità: ovvero A e B insiemi non vuoti. Chiamiamo identità di A la funzione Ida: A→A

Oss.:

1. A→B ammette inversa ⇔ ∃g: B→A t.c. f◦g = Idb, g◦f = Ida

Quindi abbiamo che se f ammette inversa ⇔ f◦g(a) = Ida(a) ∀a∈A

2. se fj: A→B ammette inversa e fj: B→C ammette inversa. Allora fj: B→C ammette inversa

Oss.: fissiamo a∈R, a > 0. definiamo g_a(x) = x + a. Sia f: R→R. Ha senso considerare:

• g_a◦f=^af◦f_a
• g^a_a◦ f = f◦f_a =f(x) + a => trasla verso ↑
• h_a (g_a = g_a (f(x)) = f(x) - a => trasla verso ↓
• Studia del grafico f_a
• k_a (f◦g_a = f(x + a)) => trasla verso ←
• k_a (f◦g^a) = f(x - a)) => trasla verso →

Vioto che l₁ < l₂ = >> t.c.

( r₁, ), r₁ - ), ( l₁, l₁ + ) ∩ ( r₂, r₂ - ), ( l₂, l₂ + ) = ∅

l₁, l₂ , r₁, r₂

Sia m = max ( m₀, M ( ) ). Allora ∀ m ≥ m₀ si ha:

a_m ∈ ( r₁ - , l₁ + ) per ₁

a_m ∈ ( r₂ - , l₂ + ) per ₂ con =

a_m ∈ ( r₁, l₁ + ) ∩ ( r₂, l₂ + ) ∀ m ≥ m₀ →

=> Abbiamo ottenuto una contraddizione

Teo della PERMANENZA DEL SEGNO: Sia a_n una successione

◘ se a_n → a₀ → allora ∃ n₀ ∈ t.c. ∀ n ≥ n₀, a_n > 0

◘ se a_n → a₀ &rightarrowfill;

Comunque scegliamo un qualsiasi altro _n, a_n = 0

PRO. sia o_n una successione debolmente crescente. Allora

a_limsup a_m = sup{ a_n ∈ 3 }opure m ∈ : a_m ≤ l_m : a_m ^k

→ PRO sia o_n una successione debolmente decrescente. Allora

a_liminf a_m = inf{ a_m ∈ 3 }

Dim: ◘ Supponiamo che a_n sia debolmente crescente: a_n < a_m+1 ∀ n∈ Exisono due casi:

sup = ₀

sublue = ∀m ∈ 5

∀∈ N5 t.c. = = n_mgr

MONOTONIA DI UNA SUCCESSIONE:

• a_n è strettamente crescente se a_n < a_m+1
• a_n è debolmente crescente se a_n ≤ a_m+1
• a_n è strettamente decrescente se a_n > a_m+1
• a_n è debolmente decrescente se a_n ≥ a_m+1