Algebra lineare: teoria ed esercizi

Algebra Lineare

_{Lo spazio vettoriale} ℝ^m

m ∈ ℕ (m ≥ 0) vettore

ℝ^m = {(x₁, x₂, …, x_m) | x ∈ ℝ i = 1, …, m}

ℝ² = {(x₁, x₂) | x_i ∈ ℝ} = ℝ × ℝ

ℝ³ = {(x₁, x₂, x₃)} x₁, x₂, x₃ ∈ ℝ → ℝ × ℝ × ℝ

_{Def. somma e prodotto per uno scalare}

Siano x, y ∈ ℝ^m x = (x₁, …, x_m) e y = (y₁, …, y_m)

ℝ^m ∋ x + y def. = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m) ∈ ℝ^m

∀ λ ∈ ℝ λ x def. (λ x₁, λ x₂, …, λ x_m) ∈ ℝ^m

_Proprietà:

1. La somma verifica la proprietà commutativa e associativa
2. Il vettore 0 = (0, …, 0) ∈ ℝ^m è l'elemento neutro della somma
3. ∀ x ∈ ℝ^m ∃ l'inverso rispetto l'addizione che è: -x= (-x₁, …, -x_m)

es.: x=(1,2,3), y=(0,1,0) ∈ ℝ³

x+y=(1+0, 2+1, 3+0)= (1,3,3)

5y=5(0,1,0)= (5 · 0,5 · 1,5 · 0)= (0,5,0)

Significato geometrico della + in ℝ²

• x = (x₁, x₂)
• y = (y₁, y₂)
• x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂)

Regola del parallelogramma

Vettori linearmente indipendenti

Siano v₁, ..., v_p ∈ ℝ^m. Diremo che v₁, ..., v_p sono linearmente indipendenti se ¬ ∃ c₁, c₂, ..., c_p ∈ ℝ

tale che c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_pv_p = 0_ℝ^m

• prodotto scalare
• somma vettoriale
• vettore nullo
• ⇒ c₁ = c₂ = ... = c_p = 0

ES Fondamentale:

ℝ² v₁ = (1,0) v₂ = (0,1)

v₁, v₂ sono l. ind.? ⇒ ? C₁ = C₂ = 0 vero!

Siano c₁, c₂ ∈ ℝ: c₁v₁ + c₂v₂ = 0

c₁(1,0) + c₂(0,1) = (0,0)

(c₁ · 1, c₁ · 0) + (c₂ · 0, c₂ · 1) = (0,0)

(c₁, 0) + (0, c₂) = (0,0)

(c₁, c₂) = (0,0) ⇒ c₁ = 0 c₂ = 0

Due vettori sono uguali quando le loro componenti sono uguali

ES: ℝ³ N1 = (1,0,0) N2 = (0,1,0)

span ℝ³ {v₁,v₂} = c₁v₁ + c₂v₂ | c₁, c₂ ∈ ℝ

{c₁(1,0,0) + c₂(0,1,0) | c₁, c₂ ∈ ℝ} =

{(c₁, c₂, 0) | c₁, c₂ ∈ ℝ}

Piano che contiene l'asse x₁ e l'asse x₂.

Base per uno spazio vettoriale

Sia V ⊆ ℝⁿ sott. vettoriale e siano v₁,...,v_p ∈ V. Diciamo

che {v₁,...,v_p} sono una base di V se:

1. span {v₁,...,v_p} = V
2. v₁,...,v_p devono essere linearmente indipendenti:

ES: ℝ² base di ℝ² =?

e₁ = (1,0) e₂ = (0,1) sono linearmente indipendenti

-D 2) è vero

- Rimane da dire che span {e₁, e₂} = ℝ² (-> 1))

-D 1) e 2) → {e₁, e₂} è una base di ℝ² (BASE CANONICA)

Dobbiamo dimostrare che:

span {e₁, e₂} = {c₁e₁ + c₂e₂ | c₁, c₂ ∈ ℝ} =

<x, y> = x₁ y₁ + ... + x_m y_m

|x - x₀| < r distanza di x da x₀

Distanza tra due punti di ℝⁿ

Siano x, y

d(x, y)_def |x - y| = √ (x₁ - y₁)² + ... + (x_n - y_n)²

x = (x₁, ..., x_n)

y = (y₁, ..., y_n)

x - y = (x₁ - y₁, ..., x_n - y_n)

n = 2

d(x, y) = √ (x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)²

Proprietà della distanza

1. d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ ℝ^m
2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y

lo posso pensare come un vettore di IR^m

A m x n

B n x p

con prodotto scalare tra la prima riga di A e la prima colonna di B

C₁₂ = prod. scalare tra la I^ma riga di A e la II^nda colonna di B

Esempio:

A = ^2x3 (m x n)

B = ^3x2 (n x p) indifferentemente

2 x 2 (m x p)

II^nda riga x I^ma colonna

Proprietà del prodotto:

• (AB)C = A(BC) (associativa)
• A(B+C) = AB + AC (distributiva)
• non vale la prop. commutativa AB ≠ BA
• elemento neutro → matrice identità

Consideriamo

det. A = 0

SISTEMI LINEARI

1. x + y = 3

   x + 3y = 5

   2 eq. 2 inc.

   2 rette

   lineare

2. x² + 2x + 1 = 0

   x + y = 1

   2 eq. 2 inc.

   parabola e retta non lineare

   Non lineare

x e y pittore 1

Consideriamo

2 x 2

2 x 2   2 x 1

1^a colonna

x + 2y I^a riga-x + 3y II^a riga

il sistema lo posso scrivere in modo più compatto:

A: matrice dei coeff.

( 3 ) matrice dei termini noti

( 5 )

• sistemi di n eq. in n incognite

| x - y + z = 6 |

| 2x + y - z = 3 |

| x - y - z = 0 |

le sottraggo tra di loro,

M una di loro la tengo => quella è sempre la stessa

| 0 + 0 + 2z = 6 |

| 2x + y = 0 |

| x - y - 3 |

z = 3

| z - 3 |

| 2x + y = 0 |

| y = -2 |

| x = 1 |

OSS! Ax = b

Se det. A = 0 ?

il sistema ha due possibilità

ha infinite soluzioni

non ha soluzioni

per rispondere a questa domanda introduciamo il RANGO della MATRICE

Definizione di RANGO di una MATRICE

Sia A m x n

Sia k ∈ ℕ k ≤ min {m, n}

Diremo che il Rango(A) = R(A) = k se

∃ una sottomatrice B (minori) di A del tipo k x k

Tale che:

• det. B ≠ 0
• det. di tutte le matrici che si ottengono togliendo la matrice B è = 0

R(A_2x4)

R(A) ≤ min {2, 4} = 2

R(A) = ?

Conclusione:

A x n M Ax = b n = 3 - det. A ≠ 0 ↵ ∃ ! soluz. det. A = 0 R(A) ≠ R(AB) ↵ sist. impossibile R(A) = R(AB) = _n-1/_n ↵ sist. ∞ soluzioni

determinare k in modo che il sistema abbia 1 soluzione

Il sistema ha 1 soluzione ↵ det. A ≠ 0

A₂ =

• det. A = 1 · det. ( 1 3 ) - 1 · det. ( 1 3 ) + ( k 1 )   ( 2 -1 ) + k · det. ( 1 1 ) = k² - 5k + 6 ( 2 k )

1. cioè k² - 5k + 6 ≠ 0 ↵ k ≠ 2,3

trovo poi x e y

y = ^{2 (2+k)} 2-k

x = ^{k (2 + k)} k-2

cosa succede per k = 2

• det. A = 0 Rango ¹/₂ ≠ 0 ↵ R(A) = 2

17/12/14