Algebra lineare

Vettori

Ad ogni punto P è possibile associare un vettore, ovvero un segmento orientato avente per estremi l'origine e il punto stesso.

Il vettore può essere identificato con:

V = (x₂, y₂) oppure V = OP

|V| = lunghezza del segmento OP = √x²+y²

Modulo

Somma di due vettori V(x₁, y₁) e W(x₂, y₂)

V + W = (x₁+x₂, y₁+y₂)

Disuguaglianza triangolare

Il modulo del vettore somma è minore o uguale dei moduli dei 2 vettori sommati:

|V + W| ≤ |V| + |W|

Moltiplicazione per uno scalare

Dato il vettore V(x,y) e il numero reale λ

λV = (λx, λy)

• Il modulo viene moltiplicato per |λ|
• La direzione resta la stessa
• Il verso resta uguale se λ > 0 e si inverte se λ < 0

PRODOTTO SCALARE:

DATI DUE VETTORI V = (x₁, y₁) E W = (x₂, y₂), IL LORO PRODOTTO SCALARE SI INDICA CON <V, W>

V * W = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ = |V| |W| (cos α * cos α) + |V| sin α * |W| sin α = = |V| |W| (cos α₁ * cos α₂ + sin α₁ * sin α₂) = = |V| |W| [1 * cos(α₂ - α₁)] = = |V| |W| cos α

QUINDI SE:

• V * W > 0 ⇔ α è minore di 90°
• V * W < 0 ⇔ α è maggiore di 90°
• V * W = 0 ⇔ α è retto (vettori perpendicolari)

ANGOLO COMPRESO FRA 2 VETTORI

DA V * W = |V| |W| cos α SI RICAVA cos α = V * W / |V| |W| E DUNQUE α = arccos (V * W / |V| |W|)

Proprietà

• (A+B)^T = A^T + B^T
• (A · B)^T = B^T · A^T

Se A = A^T (ciò può accadere solo se m=n, matrice quadrata) la matrice si dice simmetrica e si presenta come una tabella a numeri simmetrica rispetto alla diagonale principale, ovvero quella che attraversa la matrice dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra.

V1≠0, V2≠0 e V3≠0 sono 3 vettori di ℝ³ allora

L'(V₁, V₂, V₃) contiene tutti i vettori del tipo λV₁, λ2V₂, λ3₃, Si tratta quindi:

• se i 3 vettori non sono complanari
• di un piano passante per l'origine, se almeno 2 non sono paralleli e sono tutti e 3 complanari
• di una retta passante per l'origine se sono tutti e 3 paralleli

Si dice che i vettori V₁, V₂, ... V_n sono un sistema di generatori di V se ogni vettore di V si può ottenere come combinazione lineare di V₁, V₂, ..., ovvero se V=L(V₁, V₂, ..., V_n)

Si dice che i vettori V₁, V₂, ... V_n sono una base in V se

• sono linearmente indipendenti
• sono un sistema di generatori

Si può dimostrare che, se dim V=n e V₁, V₂, ... V_n sono linearmente indipendenti, allora sono una base

Determinante di una matrice

Ad ogni matrice A∈ℝ_m×n a coefficienti reali è possibile associare un numero reale detto determinante di A, indicato con det A o |A|

• Se A∈M_1×1, i det A=a₁₁
• es A=(2) allora det A=2
• Se A∈M_2×2, ovvero A= (a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂) allora i det A=a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁

Teorema degli ordini

Affinché una matrice MxM abbia rango K è necessario e sufficiente che valgano le seguenti 2 proprietà:

• Esista un minore di ordine K non nullo
• Siano nulli tutti i minori di ordine K+1 ottenuti da precedenti, creando la corrispondente sottomatrice con una qualunque altra riga o colonna

Algoritmo di Gauss

In una matrice a scala il primo elemento non nullo di una riga è detto pivot della riga.

1. Il numero di pivot eguaglia il numero delle righe non nulle.

2. Il rango di una matrice a gradini e è uguale al numero dei suoi pivot.

• Scambiare 2 righe fra loro
• Moltiplicare una riga per uno scalare non nullo
• Sottrarre ad una riga un multiplo di un altra

Endomorfismo

φ: V → V

E → E

Ej → Ej

φE = PEφE

QΕ = PΕφE

A = M_Ε^Ε(φ)

B = M_E1^E1(φ)

P^-1AP = B

Nucleo e immagine

f: R³ → R³

f(x, y, z) = (x, y+z, x+y+z)

Im f⊆W

Ker f = f(x, y, z) = (0, 0, 0)

f(1, 2, 3) = (1, 2t+3, 1+t+2t+3)

= (1, 5, 6)

Calcolo nucleo e immagine

M_Ε^Ε(f) = ^{(1 0 0) (0 1 1)}

dim Ker f = dim R^p = dim Im

dim Ker f = 3 - 2 = 1

Se dim Ker f = 0 Unico vettore che appartiene al nucleo è

(0, 0, 0)

Immagine

dim Im f = 2 (M) = 2

Base Im f = { ^{(1 0)}, ^{(0 1)} }

Scegli dei colonne della matrice di partenza lineamemte indipendenti