Algebra lineare

CAMBIO DI BASE

Fin ora in un’applicazione lineare abbiamo sempre considerato come basi del domninio e del

codominio le basi canoniche→ le più semplici per quanto riguarda la costruzione della

matrice associata. Infatti la matrice associata ad un’applicazione lineare non è associata

all’applicazione lineare in se, bisogna anche stabilire le basi del dominio e del codominio

Il metodo per trovare la matrice associata di un’applicazione lineare anche fuori dalle basi

canoniche è stato elencato qua.

Li non abbiamo pero visto come cambiano le coordinate di un vettore→ se io ho

un’applicazione lineare con uno spazio vettoriale di partenza V e di arrivo W ed ho due basi

(b1 e b2, rispettivamente per lo sv di partenza e di arrivo), per un vettore del dominio di cui

conosco le coordinate rispetto a b1 voglio conoscere le coordinate della sua immagine

rispetto a b2.

1)Per farlo innanzitutto mi ricavo la matrice A associata all’applicazione lineare

2) Le coordinate dell’immagine di un vettore v rispetto a b2 sono uguali alla matrice

associata A (si scrive cosi) moltiplicata per le coordinate di v rispetto a b1 (devo

b1,b2

sapere come trovare A → ed è indicato nell’elenco di passagi sopra)

b1,b2

Nel caso particolare in cui le basi di partenza e di arrivo siano rispettivamente b1={v1,v2,vn}

e b2={w1,w2,wn} e sia che F(v1)=w1, F(v2)=w2… F(vn)=wn allora la matrice associata

all’applicazione lineare è una matrice identità nxn n n

Parliamo ora di applicazione identità→ essa va da R a R e ogni vettore che gli viene

sparato dentro, viene restituito tale e quale→ F(v1)=v1 (sarebbe meglio scrivere id(v1)=v1)

Ci si chiede ora quale sia la Matrice associata all’applicazione identità (che si indica con

I ) rispetto a due basi (a,b) di n vettori nel dominio e nel codominio→ si fa lo stesso

a,b

discorso dello trovare una matrice associata ad applicazioni lineari con base qualsiasi nel

dominio e nel codominio, sapendo che la legge che governa l’applicazione lineare è che

F(v1)=v1, F(pippo)=pippo

Prese due basi, ed un’applicazione identità allora, la matrice associata all’applicazione

identità con b1 base del dominio e b2 base del codominio A è uguale alla matrice inversa

b1,b2

della matrice identità sempre dell’applicazione identità ma se b2 fosse base del dominio e b1

-1b2,b1

del codominio→ M = M (questo vale solo con matrici associate ad applicazioni

b1,b2

identità)

La matrice associata ad un applicazione identità con base b sia nel dominio che nel

codominio è la matrice identità

Inoltre è molto importante il corollario seguente per capire le coordinate di un vettore v

rispetto ad una base b→

Mettiamo caso ora di avere un’applicazione lineare, con ovviamente la base di partenza e

quella di arrivo, abbiamo dunque la matrice associata ad essa, A→decidiamo di cambiare

queste basi, di partenza e di arrivo, c’è un modo per arrivare alla nuova matrice

associata, rispetto alle nuove basi, passando per A? SI

Per avere la nuova matrice B, A deve essere moltiplicata per due altre matrici→

AUTOVALORI, AUTOVETTORI E DIAGONALIZZABILITA’

Affrontiamo innnanzitutto il problema di diagonalizzabilità di un’applicazione lineare

Geometricamente deve essere che un’applicazione lineare diagonle specchi i vettori

rispetto ad una retta

Una matrice è diagonale quando ha numeri diversi da 0 sulla diagonale principale, e in tutti

gli altri posti 0 → dobbiamo cercare quindi la base (uguale nel dominio e nel codominio) per

la quale la matrice associata all’applicazione lineare rispetto a questa base è diagonale

Cosi come un’applicazione lineare, anche una matrice può essere diagonalizzabile→

Se ora prendo un’applicazione lineare L e la sua matrice associata rispetto alla base

canonica (in partenza e in arrivo), allora se una è diagonalizzabile lo è anche l’altra (se

A è diagonalizzabile lo è anche L e viceversa) → inoltre se questo accade, i vettori dellla

base B che diagonalizza l’applicazione lineare L corrispondono alle colonne della matrice P

tale che Un applicazione lineare è diagonalizzabile se la matrice associata ad essa

rispetto a qualunque base, è diagonalizzabile

-Parliamo ora di autovalori e autovettori, essi sono definiti come→

Se una applicazione lineare è diagonalizzabile ci saranno dei vettori cardine che

mantengono sempre all’interno dell’applicazione lineare la loro direzione→ essi

formano una base per cui l’applicazione è diagonalizzabile→ essi sono gli autovettori

-Gli autovalori e autovettori hanno senso solo negli endomorfismi (spazio di partenza è

uguale a quello di arrivo)

-Gli autovettori di autovalore x, non dipendono dalla base scelta per rappresentare

l’applicazione lineare→ sono sempre gli stessi indipendentemente→ non mi serve

sapere la base, ma se non specificata è la canonica in partenza e arrivo

-Un’applicazione lineare è diagonalizzabile sse esiste una base dello spazio di

partenza (= a quello di arrivo) costituita da autovettori dell’applicazione lineare

Un autovettore è tale solo se appartiene al ker della matrice A-i → l’autospazio, che è

il sottospazio che contiene tutti i vettori di autovalore infatti coincide con ker(A-i)

,

Come si determinano gli autovalori e gli autovettori di un’applicazione lineare? →

Intanto come detto sopra deve essere un’endomorfismo, quindi la matrice associata sarà

una matrice quadrata A → a questo punto prendo la matrice identità I (matrice che ha tutti

0 e solo 1 nella diagonale principale), e calcolo una nuova matrice H definita come A-I

Praticamente tutti gli elementi della diagonale principale di A gli viene sottratto

Il determinante di questa nuova matrice è un polinomio di grado n (in base alla dimensione

dello spazio di partenza e di arrivo dell’applicazione lineare), che viene definito polinomio

caratteristico. Se si eguaglia il polinomio caratteristico a =0 si avranno n diversi che

saranno gli autovalori dell’applicazione lineare

Per trovare gli autovettori ora cerco i vettori v1,v2,vn tali che F(v = v F(v )= v F(v )= v

1 1 1 2 2 2 n n n

Per calcolarli mi ricordo che

Essi saranno proprio gli autovettori come da definizione

Questo discorso puo essere fatto non solo per le applicazioni lineari, ma anche per le matrici

in se→ se ho una matrice M faccio lo stesso discorso, partendo non dall’applicazione di cui

devo trovare la matrice associata, ma direttamente dalla matrice stessa -1

-Due matrici A e B si dicono simili se esiste una matrice P invertibile tale che P AP=B

Che due matrici siano simili comporta delle particolari proprieta:

1) A e B corrispondono alla stessa applicazione lineare ma rispetto a basi diverse

2) A è diagonalizzabile sse è simile ad una matrice diagonale

3) A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico ( det(A- xI) = det(B-xI) )

Definiamo ora l’autospazio →

L’autospazio è quindi un ssv che contiene tutti gli autovettori di un determinato autovalore

-Per definire quindi se una applicazione lineare o una matrice sono diagonalizzabili si può

trovare la matrice associata (o la matrice stessa nel caso in cui vogliamo stabilire se una

matrice è diagonalizzabile), si trovano gli autovalori, se essi sono tutti diversi

(endomorfismo semplice) allora la matrice e’ diagonalizzabile→non è detto per che se ce

ne siano di uguali, allora la matrice non possa essere comunque diagonalizzabile, per

verificare ciò guarda qua

-La molteplicità algebrica è il numero di volte che un autovalore annulla il polinomio

caratteristico→ se mi trovo dopo aver eguagliato il polinomio caratteristico ad avere una

scomposizione del genere: (1-)(1+)(1-)=0 allora gli autovalori saranno e ma

=1 =-1 =1

ha molteplicità algebrica =2 perche annulla due volte il polinomio, mentre ha

=-1

molteplicità algebrica =1

Sicuramente la molteplicità algebrica sarà maggiore o uguale a 1

-La molteplicità geometrica in sintesi è il numero di autovettori linearmente indipendenti

relativi ad un determinato autovalore→ è la dimensione dell’autospazio di è quindi la

,

dimensione di ker(A-i). Ma e Mg bisogna trovarle per ogni vettore, se Ma=1 allora

anche Mg=1

Si puo trovare prendendo in considerazione la matrice H (definita prima come la matrice A

che prendiamo in esame -I → H=A-I ) e vedendo che dimensione ha (nxn), la molteplicità

geometrica sarà mg=n-rr(H)

Alla fine ne deriva che se un autovalore di una matrice ha molteplicità algebrica=1 allora

anche la geometrica sarà =1

Questo chiude il cerchio su quello detto prima→ dopo aver risolto il polinomio caratteristico

di una matrice quadrata A nxn, se si ottengono n autovalori distinti allora come già detto

siamo davanti ad una matrice diagonalizzabile

Ma come accennato prima non è detto che se non ottengo n autovalori distinti la mia

matrice non possa comunque essere diagonalizzabile→ per controllare se lo è allora utilizzo

l’ultima proposizione e calcolo la molteplicità geometrica di ogni autovalore, se la somma

di tutte le molteplicità geometriche è = n allora sono davanti comunque ad una matrice

diagonalizzabile

Una volta trovati gli autovalori trovo i vettori generatori della base di autovettori →

scelgo una base e la matrice associata ad L per quella base è una matrice diagonale

con sulla diagonale tutti gli autovalori in ordine, e messi piu volte in base alla loro

molteplicità geometrica→ Matrice D

-1

Se voglio una matrice P tc P AP=D allora essa avra come colonne i vettori della base

di autovettori scelta PRODOTTI SCALARI

-Il prodotto scalare è una legge che prende due vettori in input e sputa uno scalare in K

Una funzione F: VxV→R si dice applicazione bilineare se :

In più una applicazione bilineare può essere simmetrica se vige la proprietà, oltre quelle

citate sopra, che F(u,v)=F(v,u) →La forma bilineare simmetrica si chiama prodotto scalare

Il prodotto scalare come legge ha quindi tutte le proprietà sopraccitate e in più queste altre

due→ <v1,v1> 0 ---- <v1,v1> =0 sse v1=0

≥ n

Nel caso di vettori di uno spazio R si sa che il prodotto scalare è la somma dei prodotti tra

le componenti omonime di due vettori (x1y1+x2y2+...xnyn), e questo si vedrà che rispetta

tutto quello detto prima→ &e