Algebra lineare

ALGEBRA E GEOMETRIA

Geometria → applicazione dell’algebra → attraverso i dati

Permette di semplificare alcune situazioni attraverso delle prove.

INTUIZIONE GEOMETRICA

Teoria degli insiemi:

A: Insieme, A = {a, b, c, d} è una collezione di oggetti tale che ha senso il predicato a ∈ A oppure a ∉ A.

In generale un insieme è una collezione. Un insieme si può definire termine di proprietà.

Insieme definito non dall’elenco dei suoi elementi.

In termini di sottoinsieme di un insieme dato.

A = {2n | n = Z} Z = insieme dei numeri interi → A insieme dei numeri pari.

Insiemi notevoli, numerici.

• N: insieme dei numeri naturali (n > 0);
• N₀: insieme numeri naturali inclusi lo 0;
• Z: insieme dei numeri interi (positivi e negativi);
• Q: insieme numeri razionali;
• R: insieme numeri reali;
• C = {a + ib | a, b ∈ R};
• C: insieme dei numeri complessi.

C è un campo complesso. N ⊂ N₀ ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C C ⊆ sottoinsieme.

Fra gli elementi di C, possiamo trovare quelli della forma a + i0 e questi si comportano come i numeri reali.

Un numero reale è quindi anche un numero complesso.

Fra i numeri reali, ci sono quelli che si scrivono come a/b con a, b interi => e questi sono numeri razionali.

Tutta l’analisi numerica affronta come approssimare bene un numero reale.

Dobbiamo trovare un modo gestibile per approssimare il tutto.

A ⊆ B ⇔ ∀ a ∈ A, a ∈ B

se e solo se

Se e solo se vuol dire che le due scritture a sx e a dx sono equivalenti, quindi se cancello quella a sx per esempio non cambia niente. 2 cose si possono dire in 2 modi diversi, ma bisogna sempre far vedere quali sono i 2 modi diversi e come.

A ⊂ B ⇔ A ⊆ B, A ≠ B

⇔ ∀ a ∈ A, a ∈ B & ∃ b ∈ B: b ∉ A

A = B ⇔ A ⊆ B, A ≠ B

⇔ ∀ a ∈ A, a ∈ B & ∃ b ∈ B: b ∈ A

A, B insiemi

A ∩ B := {a ∈ A | a ∈ B}

A ∪ B := {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

A \ B := {a ∈ A | a ∉ B}

I 2 insiemi possono essere anche uguali.

L’ultima scrittura, è più utile della prima, perché ci dice come verificare la prima.

Dati in input e output sono sempre insiemi.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Il semplificare le operazioni, per ottenerne di meno sicuramente aiuta, anche nell’ambito informatico.

Il prodotto cartesiano

Cosa è una coppia ordinata?

Siano A, B insiemi

(a, b) conta l’ordine e sono ammesse ripetizioni

a ∈ A

b ∈ B

Es.:

Siano A, B finiti

⇔ ∃ C: A ↠ B biiettiva

⇔ |A| = |B|

Cardinalità → n^° elementi

Biiezioni: corrispondenze 1 a 1

Es.:

A = {1, 2, 3, 4} B ⊂ A, B ≠ A, B = {1, 2, 3}

Possono esistere biiezioni tra A e B? NO

ℕ₀ = {n | n numero naturale}

2ℕ₀ = {2n | n ∈ ℕ}

ℕ ⊆ ℕ₀ & 2ℕ ⊂ ℕ

f:ℕ₀ → 2ℕ₀

x → 2x

Iniettiva

==> Biiezione

Suriettiva

ℕ₀ è infinito

2 oggetti sono in biiezione, se hanno la stessa cardinalità

OSS.:

Una f è ⊆ A x B, soddisfa le proprietà di essere funzionale e ovunque definito.

Def.:

f: A ↠ B

corrispondenza funzionale ovunque definita

f ⊆ A x B

∀ a ∈ A ∃! B ∈ B: (a, b) ∈ f

Esiste uno e uno solo

f(a) = b ≡ (a, b) ∈ f

A: dominio

B: codominio

una relazione d'ordine

IN, IN, Z, Q, R

a, b, Z

a ≤ b <=> a | b

dividi

2 . 3 . 2

≤

3 . 2

IN

a . b . b

a . b | n

a ≤ b

Esempio:

Ordine lessicografico

Z x Z

(a, b) ≤ (c, d) <=> a < b

oppure a = c b ≤ c

(1, 0) ≤ (2, -1)

(2, 0) ≤ (2, 1)

(0, 0) ≤ (0, 0)

X x A . Z

(A, B, C, ... Z)

In generale se X insieme su X con k >= 0, si può sempre definire l'ordine lessicografico

C {a₀, a₁, a₂, .., a_n c R

C pres0

non è ordinale

A C non si può esprimere in modo comparabile con le operazioni di ordine R

(_Z[x], +, .) dove

_Z[x] = {∑ α_ixⁱ | α_i ∈ _Z}

polinomi interi a coeff. interi con somma e prodotto

a) polinomi

(a_o+a₁x + ... + a_nxⁿ).(b_o+b₁x + ... + b_mx^m)

= (a_n+b_m) xⁿ

(∑ α_ixⁱ)(∑ β_ixⁱ) ∑ α_i β_i x^i+j

(1+x+x²)(1+2x) : 1+x+2x²+2x+2x³+2x⁴

(_Z[x], +, .) anello commutativo con 1

Def un anello commutativo (_R, +, .) è detto campo se la struttura (_R\{0}, .) è un gruppo commutativo

In particolare, l'insieme di anello I

1. 1 ∈ _K ∀ k ∈ _K 1.k = k.1 = k
2. ∀ k ∈ _K ∃ -k ∈ _K tale che k + (-k) = 0_K
3. ∀ a, b ∈ _K, a.b ∈ _K

Esempi:

(_Q, +, .)

(_R, +, .)

(_C, +, .)

Se fossimo in _(Z,+,.)

2x=3 no soluz.

in _(Q,+,.) in soluz.

2Z=4 ha soluz. pure in _Z

Spazio vettoriale

Def: Sia _(V,+) un gruppo abeliano si dice che _V ha una struttura di spazio vettoriale su di un campo _(K,+,.) se ∃ una funzione *: _{K x V → V} tale che:

1. ∀_{v ∈ V} 1*v = v
2. ∀ α,β ∈_{K v ∈ V} (α+β)*v = α*v + β*v
3. ∀ α,β ∈_{K v ∈ V} α*(β*v) = (α.β)*v
4. ∀ α ∈_{K u,v ∈ V} α*(u+v) = α*u + α*v

{ insieme mischiato }

{ assieme distribuitivo }

In tale caso scriviamo V_(K)

(Gli elementi di _K sono detti scalari.)

*(_K×V→V = prodotto per scalari

Esempio

Piano euclideo

Fissato un punto O e chiamato vettori le frecce che hanno origine in O.

Definiamo la somma di pesche seguendo l’assegna OsZ.

Capacale ciclotattica.

Sia _{α ∈ R e v ∈ S} dove S insere delle frecce di cui sopra.

α*v = ⟳ se α freccia di >destra rispetto a v di ↙ lung; di v

α=0 ε vettor nullo di ↔ lungo di v

α*x freccia di ↷ destra di ↶ di ↷; opposto di lungo -ov

W ⊆ V(K)

W = V(K)

La def. ci dice che le operazioni di V(K), quando applicate restringendo agli elett. di W, devono dare in output elementi di W (cioè si possono ricondurre a W)Input = elett. di W → output = elett. di W → sottospazio W

Es.1IR² = {(a,b) | a,b ∈ IR}W = {(a,0) | a ∈ IR}W ∈ IR² perché:

1. Tutte le proprietà di S.V. per la somma e il prodotto per scalare, valgono su tutto IR² quindi valgono anche per W
2. Facciamo vedere che se partiamo da elementi di W e applichiamo le operazioni → otteniamo elett. di W
3. Dimostrato che (W, +) è gruppo abeliano (bisogna far vedere che 0 = (0,0) ∈ W, ∀ (a,b) ∈ W → - (a,b) ∈ W)(a,0) + (b,0) = (a+b, 0) ∈ (a+b, 0) ∈ W-(a,0) ∈ W → (a,0) + -(a,0) = (0,0)

Teorema:

Sia A un sottoinsieme di V(K) allora _K(A) è un sottospazio vettoriale di V(K) ed è il più piccolo sott. vettoriale di V(K) che contiene A.

N.B. Più piccolo signifca che se X ≤ V(K) = A ⊆ X ⇒ _K(A) ⊆ X

Dim:

_K(A) ≤ V(K)

Siano v_i, w ∈ _K(A) ⇒ ∃ α_i, a_n, b₁, ..., b_n ∈ K v_i, u_i ∈ A

tali che α₁v₁ + ... + a_nv_n

w

+ b₁v₁ + ... + b_nv_n

N.B. I coefficienti possono essere anche 0

⇒ α + β == 0(a₁v₁ + ... + a_nv_n) + β(b₁u₁ + ...b_nv_n)

(a_0,1 + ρb₁) - v₁ + (a₂ + ρb₁)v₁ + ... + (a_n + ρb_n)v_n

Si condividano i lavori di un numero finito di vettori di A co ⊆ _K(A)

Sia adesso X ≤ V(K) con A ⊆ X ⇒ V line di un numero finito in vettori di A deve stare in X (dove X e' chiuso rispetto le comb. lin.) ⇒ _K(A) ⊆ X

Corollari:

1. _K(A).A() ⇔ A ≤ V(K)
2. φ ≤ _K(A¹) ≤ _K(A)

Dim:

φ ≤ V(K) v_{1 K}, è. il più piccolo V sott.

(che contiene A e A espresso)

V consider. se _K(A) - A

⇒ A e' chiuso rispetto le comb. lin.

A≤ V(K)

⇒ _K(A)

_K(A) - nelb. sub _K(A)