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Vettori linearmente dipendenti e indipendenti
Diciamo che i vettori v1, v2, ..., vr sono:
- Linearmente indipendenti se l'unica soluzione è: a1=a2=...=ar=0
- Linearmente dipendenti se esistono ai≠0 tali che a1v1 + a2v2 + ⋯ + arvr = 0 con gli ai non tutti nulli
Esempio 1
V=ℝ2
- v1 = (3, -2)
- v2 = (4, 1)
- v3 = (1, 3)
a1v1 + a2v2 + a3v3 = a1 (3, -2) + a2 (4, 1) + a3 (1, 3) = {3a1 + 4a2 + a3 = 0
-2a1 + a2 + 3a3 = 0 ⇒ Il sistema ha infinite soluzioni ⇒ v1, v2, v3 sono linearmente dipendenti
Esempio 2
V=ℝ3
- v1 = (2, 0, 1)
- v2 = (-1, 1, 0)
- v3 = (3, 3, 1)
a1v1 + a2v2 + a3v3 = a1 (2, 0, 1) + a2 (-1, 1, 0) + a3 (3, 3, 1) = {2a1−a2+3a3 = 0
a2+3a3 = 0
a1+a3 = 0 ⇒ {-2a3−3a3+3a3 = 0
a2 = -3a3
a1 = -a3
a3 = 0
a2 = 0 ⇒ Il sistema ha una sola soluzione ⇒ v1, v2, v3 sono linearmente dipendenti a1 = 0
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MAT/02 Algebra
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