Esercizi di "Algebra Lineare e Geometria"

Ex 1: Proprietà campo vettoriale (elementari)

1. unicità elemento neutro somma:

DIM. Siano v₁, v₂ ∈ V | ∀v₃ ∈ V, v₃ + v₁ = v₃ ∧ v₃ + v₂ = v₃ Allora v₃ + v₁ = (−v₃ + v₃) = v₃ − v₃; v₁ − v₂ = 0; v₁ = v₂ ⇨ ⊐ 1_V ∈ V, v₁ + v₁ = v₃ (c.v.d.)

2. unicità opposto somma:

DIM. Siano u₁, u₂ ∈ V / ∀v₃ ∈ V, v₃+u₁ = 0 ∧ v₃+u₂ = 0 Allora u₁ = u₁ + 0 = u₁ + (v₃ + u₂) = (u₁ + v₃) + u₂ = 0 + u₂ = u₂ ⇨ ⊐ u₁ = u₂ ⊐ −v = v ∀v_e∈ V, v₃ + u = 0 (c.v.d.)

3. azzeramento vettori:

DIM. Voglio dim che ∃ α ≠ 0 / ∀v_e ∈ V, α ⋅ v = 0 ⇔ v = 0 ⇔ v − v = (1 − 1) ⋅ v = 0 ⇔ 0 ⋅ v = 0 ⇨ 0 ⋅ v = 0 (c.v.d.)

4. immutabilità vettore nullo:

DIM. Voglio dim che ∀ α ∈ R, α ⋅ 0 = 0 So che α ⋅ v = α ⋅ v ⇔ α ⋅ v − α ⋅ v = 0 ⇔ α (v − v) = 0 ⇔ α ⋅ 0 = 0 ⇔ α ⋅ 0 = 0 (c.v.d.)

5. costruzione opposto somme

DIM. Voglio dim che − v = (−1) ⋅ v ∀v_e∈ V v + [ (−1 ) ⋅ v ] = (1 + 1 ) ⋅ v = 0 ; v ⋅ v = 0 ⇨ − v = opposto risp. somme (c.v.d.)

6. annullamento prodotto:

DIM. Sia α ⋅ v = 0 (i) se α ≠ 0 ⇨ 1: α ⋅ v = 1 α ⋅ 0 ⇨ v = 0 (ii) se v = 0 ⇨ ∀v_e ∈ V, α_i ⋅ v = 0 Allora α ⋅ v = 0 ⇔ (α = 0 ) ⋁ (v = 0) ⇔ Se α ≠ 0 ∨ v ≠ 0 ⇨ α ⋅ v (α ⋅ v = (α ⋅ x) ∨ (x ⋅ 0) ∨ (0 ⋅ 0) = 0 (c.v.d.)

7. α ≠ β, αv = β ⋅ β ⋅ β ⇔ v = 0

Dim.

Siano α, β ∈ ℝ, α ≠ β; so che α ⋅ v = β ⋅ v

α ⋅ v + (−β ⋅ v) = β ⋅ v + (−β ⋅ v) ⇔ (α − β) ⋅ v = 0 ⇒

⇒ (α − β) ≠ 0 ⇔ v = 0 ma α − β ≠ 0 (χ hp.) ⇒ v = 0

c.v.d.

Es. Dire se i seguenti sottoinsiemi formano o meno sottospazi:

a) ℝ² = {(a, b) / a, b ∈ ℝ }

i) (1, 1) ⋅ 1 ∈ ℝ = (1, 1) ∈ ℝ² ⊨ ℝ² ≠ { }

ii) ∀ (a, b), (c, d) ∈ ℝ² (a , b) + (c , d) = (a + c, b + d) ∈ ℝ, b + d ∈ ℝ

∴ ℝⁿ̅ⁿ resp. somme

iii) ∀ (a, b) ∈ ℝ² ∀ α ∈ ℝ , α ⋅ ( a ) = ( α⁄a )

( b ) = ( α⁄b ) ∀ α, a, b ∈ ℝ ⊨ ℝ² diviso resp. esteso ℝ

ℝ² è sottospazio di ℝ²

b) S = { ( b ) / b ∈ ℝ }

i) ∃ ( 1 ) ( b ≠ 1 ∈ ℝ ⇒ (a) ∈ S

ii) ∀ ( , b ) ( , ) ∈ ℝ , ( b ) + ( 1 ) = ( 2 )

( b ) ( b + 1 ) ( b + b ) ∉ S ⇒ S non è diviso resp. somme

S non è sottospazio di ℝ²

c) T = { ( a ) ∈ ℝ² / a + b ≥ 0 }

(i) 0 = ( 0 ) / 0 + 0 ≥ 0 ⇒ ( 0 ) ∈ T = ∴ T ≠ Ø

(ii) ∀ ( , c ) ∈ T , ( a ) + ( d ) = ( a+c ) ; (a+c)+(b+d)=(a+b)+(c+d) ≥ 0

( b ) ( b ) ( b+d )

⇒ T diviso resp. somme

(iii) ∀α∈ℝ ∃x =-1 ∈ ℝ:∀ ( b ) ∈ T , α ⋅ ( 0 ) = −1. ( b ) = ( −b, ) −a − b ≤ 0 =⇒

⇒ T non diviso resp. esteso

T non è sottospazio di ℝ²

d) Z = { ( a, b ) ∈ ℝ² / a ⋅ b = 0 }

(i) 0 = ( 0, 0 ) ∈ Z ⊨ Z ≠ Ø

(ii) ∀ ( , c ) ∈ Z , ( a ) + ( d ) = ( a+c ) ; (a+c)+(b+d)=(a+b)+(c+d) = a+b+c+d ≠ 0 =⇒

( b ) )( b ) (b+d ) (b)(d)

⇒ Z non diviso resp. esteso

(iii) ∀α ∈ ℝ,∀ ( a ) ∈ Z , ⋅ a = ⋅ ab = a²−ab = 0 =⇒ Z diviso resp. esteso

( b ) ( α α ) ( α b )

Z non è sottospazio di ℝ²

∀ / (!!) → a+b+c = 0 si scrive come α ₁ v ₁ + α ₂ v ₂ ?

   = α                             

- Es. W = { x ∈ ℜ³ /x+2y+3z=0}

a) W è sottospazio?

i)                                 

a+α₁=0

  b   c

ii)

v _α' A+2

iii)       

        &emp;    

Polché W è non nullo (i), chiuso rispetto somme (ii), chiude rispetto azioni (iii, allora è un sottospazio

) Prendo W ₁ = ⟨ ( -w )

lim independent

Perché vu W ≠ W ₂

    a

&be;&sub12;

W =⟨

V _V

  lim independent →

deg di W

- Es. Hp:   U v ∀1

   Dim:

  v iv

  comb linear di \

≡c.v.d.

- Es. dico la dimensine dei seguenti spres.

- Es.

U = < ₀ ⁰ > W = < ₁ ⁰ >

U ∪ W = ?

U + W = ?

i) U ∪ W = { ₀ ⁰ } / a = 0 ∨ b = 0 { _a ^b } / ab = 0

Ma ∃a_{1 0} ¹, b_{1 1} ⁰ / a₁ + b_{1 r} ¹

≠ U ∪ W ⇒ U ∪ W man. j. sottsp.

ii) U + W = < ₀ ⁰ R²; dim U = 1; dim W = 1; dim U ∪ W = 0

dim U + W = 2

- Es.

U = < ₀ ¹ ₁ ² ₀ ¹

U ∪ W = ?

U + W = ?

sono indipendenti?

γ = α ₀ ¹ + β ₂ ¹ + δ ₁ ⁰ = < _α+β+x=0 ^{α= -x} >

+ β + δ = 1, γ = 0

x = y

∃ α, β, δ → x = -1; β = 0; δ = -1; ν = 0 → dipendenti

U + W = { ₀ ⁰ ₁ ² ₀ ¹} così { _x=0 ^β=0

⇒ U + W = { ₁ ¹ }

sono anche una bas = > dim U + W = 3

- Es.

U = < ₀ ¹ ₀ ⁰ ₁ ⁰

^{1 1 0 1}

L = < _{0 1 0 0} ^{1 2 1 0} _{0 1 1 1}>

1 0 0 0 1 _{0 1 1 2} ^{0 2 1 0}

→ _{1 1 1} ^{0 0 0}

sicuramente sono generatori di U.

Sono lin. indipendenti?

α ₀ ⁰ + β _{x + y} ⁰ = > _{α = 0} ^{α + x = 0}

Sì, sono una base per U

Infatti M = 3 = dim U

- Es.

U = < ₀ ¹ ₀ ⁰ W = < ₁ ¹ ₀ ¹

a) U + W = ? U ∩ W = ?

Sia (u _α ^α => v _α ^β > voglio che d α _{x = α} ^δ + _{y = β} ^λ

⇒ α = x