Algebra lineare

Versione preliminare – luglio 2006

Lezioni di Algebra Lineare

Contenuto

1. Combinazioni lineari di vettori

2. Sottospazi vettoriali

3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori

4. Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale

5. Insiemi di vettori linearmente indipendenti

6. Basi di uno spazio vettoriale

7. Dimensione di uno spazio vettoriale

8. Coordinate

9. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Prerequisiti

Si presuppone che lo studente conosca la definizione astratta di spazio vettoriale

n

e l’esempio concreto di con le operazioni naturali di spazio vettoriale reale.

R

In alcuni esempi si presuppone anche che lo studente abbia familiarità con la

2 3

rappresentazione geometrica di e di .

R R

Premessa

Supponiamo fissato uno spazio vettoriale reale V . Nel seguito chiameremo vettori

2

gli elementi di V e scalari i numeri reali. Negli esempi V sarà di solito uguale a R

3

o a .

R

1. Combinazioni lineari di vettori ≥

Supponiamo fissati k vettori v , . . . , v (k intero 1).

1 k

Definizione. Un vettore v si dice combinazione lineare di v , . . . , v se esistono

1 k

· · ·

degli scalari λ , . . . , λ tali che v = λ v + + λ v .

1 k 1 1 k k

1

2

Definizione più generale. Se S è un sottoinsieme, anche infinito, di V , diciamo

che il vettore v è combinazione lineare di elementi di S se v è uguale a una somma

· · · ∈ ∈

finita di tipo λ v + + λ v , con v , . . . , v S e λ , . . . , λ R.

1 1 k k 1 k 1 k

   

1 2

Esempio. Il vettore v = 3 è combinazione lineare dei vettori v = 4

1

   

−1 −2

 

0 1 −

−1 v v (verificare !) e quindi la condizione della

e v = , infatti v = 1 2

2   2

0 12 −1.

definizione precedente è verificata da λ = e λ =

1 2

Problemi.

2

2

1. Stabilire se il vettore v = è combinazione lineare dei vettori v =

1

1 3

1

e v = . Se lo è determinare esplicitamente dei coefficienti a e b tali che

2 5

v = av + bv .

1 2

Soluzione. Dobbiamo: (a) stabilire se l’equazione vettoriale xv + yv = v, nelle

1 2

coppia di incognite reali (x, y) ha soluzioni; (b) se ci sono soluzioni, scriverne espli-

citamente una.

Scriviamo esplicitamente l’equazione vettoriale precedente:

2 1 2 2x y 2 2x + y = 2

⇔ ⇔

x + y = + =

3 5 1 3x 5y 1 3x + 5y = 1

Con facili calcoli troviamo che il sistema scritto sopra ha come unica soluzione la

97 47

−

coppia (x, y) = , . Quindi: e v ;

(a) v è combinazione lineare di v

1 2

9 4

−

(b) a = e b = soddisfano la richiesta del problema (e sono gli unici reali

7 7

con questa proprietà).    

2 2

2. Stabilire se i vettori v = 3 e w = 3 sono combinazioni lineari di

   

1 2

     

−1

1 2

v = 0 , v = 1 , v = 3 . Se lo sono, determinare esplicitamente i

1 2 3

     

−1

1 2

coefficienti di tali combinazioni lineari.

Soluzione. Lo schema di risoluzione è analogo a quello del problema precedente.

Per stabilire se v è combinazione lineare di v , v , v , dobbiamo studiare la risolu-

1 2 3 3

bilità del sistema di equazioni  −

x + 2y z = 2

 y + 3z = 3 ,

−

x + 2y z = 1



nella terna di incognite reali (x, y, z). Confrontando la prima e la terza equazione del

sistema si vede subito che il sistema non ha soluzioni, quindi v non è combinazione

lineare di v , v e v .

1 2 3

Nel caso di w dobbiamo considerare il sistema

 −

x + 2y z = 2

 y + 3z = 3 ,

−

x + 2y z = 2



che chiaramente è equivalente a −

x + 2y z = 2 .

y + 3z = 3

Questo è un sistema risolubile e con infinite soluzioni. Infatti, dalla seconda equazio-

−3z

ne ottengo y = + 3 e, sostituendo nella prima,

−

x = 7z 4 .

−3z

y = + 3

Questo vuol dire che qualunque valore reale, diciamo c, io attribuisca a z, la terna

− −3c

(7c 4, + 3, c) è una soluzione del sistema. Quindi, poiché esistono soluzioni,

w è combinazione lineare di v , v , v ; inoltre, esistono infinite terne di coefficien-

1 2 3

ti (a, b, c) tali che w = av + bv + cv ; infine, l’insieme di tutte queste terne è

1 2 3

{(7c − −3c | ∈

4, + 3, c) c Per ottenere una terna particolare basta attribuire

R}. −4v

un valore a c, ad esempio per c = 0 ottengo w = + 3v .

1 2

2. Sottospazi vettoriali

Definizione. Un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme non vuoto di V

chiuso rispetto alle operazioni di V .

Quindi dire che U è un sottospazio vettoriale di V vuol dire:

(1) che U è un sottoinsieme di V che contiene almeno un vettore; ∈

(2) che se il vettore u appartiene a U , anche tutti i vettori di tipo λu (con λ R)

appartengono a U ;

4 0 0

(3) che se i vettori u e u appartengono a U , anche il vettore u + u appartiene a U .

Osservazioni.

1. Poiché 0v = 0 per ogni vettore v, dalle condizioni (1) e (2) della definizione

segue che un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore 0.

2. Dalle condizioni (2) e (3) segue che: se U è un sottospazio vettoriale di V , allora

tutte le combinazioni lineari di vettori di U appartengono ancora ad U .

3. [Dimostrare] Un sottospazio vettoriale di V è a sua volta uno spazio vettoriale

reale.

Esempi. {0}

1. Il sottospazio nullo (o banale). Il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di

∈

quindi non è vuoto; (2) tutti i vettori di tipo λ0 (λ

V . Infatti: (1) contiene 0, R)

0 0

{0}; {0},

e quindi stanno in (3) se u e u stanno in allora u = u = 0

sono uguali a 0

0 ∈ {0}.

= 0

e quindi u + u + 0 = 0

2. Il sottospazio improprio. [Dimostrare.] V stesso è un sottospazio vettoriale di

se stesso.

3. [Dimostrare.] Se fissiamo un sistema di riferimento nello spazio e identifichiamo i

3

punti dello spazio con gli elementi di , tramite le coordinate, allora: tutte le rette

R

passanti per l’origine e tutti i piani passanti per l’origine sono sottospazi vettoriali

3

di .

R 3

N.B. Nel caso V = , i sottospazi descritti negli esempi 1, 2 e 3 precedenti sono

R

tutti i sottospazi vettoriali di V . [Provate a dimostrare anche questo. Alla fine della

lezione dovrebbe esservi del tutto chiaro.]

3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori

⊆

Fissiamo un insieme non vuoto di vettori S V .

Definizione. Il sottospazio vettoriale generato da S, che denoteremo con Span S,

è il minimo sottospazio vettoriale di V che contiene S.

Spiegazione della definizione: “minimo” vuol dire: “ogni altro sottospazio vet-

toriale che contiene S contiene anche Span S”. 5

Teorema. Span S coincide con l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori

di S.

Schema di dimostrazione. [Capire e provare a completare.] Dobbiamo di-

mostrare due cose:

1. che l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S è un sottospazio

vettoriale che contiene S.

2. che è minimo nel senso spiegato sopra.

Per il punto 1 dobbiamo far vedere: (a) che sommando due combinazioni lineari

di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!);

(b) che moltiplicando per uno scalare una combinazione lineare di elementi di S si

ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!).

Per il punto 2 basta usare l’Osservazione 2 della sezione 2. Da questa segue

direttamente che se un sottospazio vettoriale di V contiene S, allora contiene anche

Span S.

Esempi. {0}, {0}

{0} = perché è già un sottospazio vettoriale.

1. Span ∈ 6 {v}

2. [Dimostrare.] Fissiamo v V , v = 0. Allora Span è l’insieme di tutti i

2 3

multipli scalari di v. In e in , con l’usuale rappresentazione geometrica, si

R R

{v}

ottiene che Span è la retta passante per l’origine su cui giace il vettore v.

3

∈

3. [Dimostrare.] Fissiamo u, v . Se u e v non sono proporzionali, allora

R {u,

otteniamo che la rappresentazione geometrica di Span v} è il piano passante

per l’origine che contiene i vettori u e v. [Problemi: 1. Cosa succede se u e v

{u,

sono proporzionali? 2. Cosa può essere Span v, w}, nella rappresentazione

3

geometrica, se u, v, w sono tre vettori arbitrari in ? 3. Se u e v sono due

R

2 {u,

vettori non proporzionali di , cosa è Span v}?]

R

4. Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale

Definizione 1. Un insieme di generatori di V è un insieme di vettori S, incluso

in V , tale che ogni vettore di V sia combinazione lineare di vettori di S.

Definizione 2. V si dice finitamente generato se ha un insieme di generatori

finito.

6

Osservazioni.

1. Dire che S è un insieme di generatori di V equivale a dire che V = Span S.

[Spiegate perché.] 0

2. Se S è un insieme di generatori di V , allora ogni sottoinsieme S di V che

contiene S è ancora un insieme di generatori di V . (I generatori che non compaiono

esplicitamente in combinazione lineare hanno coefficiente nullo).

Esempi.

1 0 a

2 ∈

1. , è un insieme di generatori di , perché per ogni vettore

R

0 1 b

2 si ha

R

a 1 0

= a + b .

b 0 1

n ≥

2. L’esempio precedente si generalizza a , n 1: per i = 1, . . . , n chiamiamo

R

n

e il vettore di con tutte le componenti nulle tranne la i- esima, che invece è

R

i n

{e }

1. Allora , . . . , e è un insieme di generatori di . Infatti per ogni vettore

R

1 n

a

 

1

a

2

  n

∈ si ha che

. R

 

.. 

 a

n a 1 0 0

  

    

1

a 0 1 0

2   

 

   ...

. 0 0

     

 

. · · · · · ·

= a + a + + a = a e + a e + + a e

. 1 2 n 1 1 2 2 n n

     

 

. .

. .. ..

       

.. 0

     

 

0 0 1

a

n n ≥

3. L’esempio precedente dimostra che è finitamente generato, per ogni n 1.

R

Problemi. [Cfr. con i problemi della Sezione 1.]

2 1 2

1. Dimostrare che , è un insieme di generatori di .

R

4 5 2

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che ogni vettore di è una combinazione lineare

R

a 2

∈

dei due vettori dati, cioè che dato un arbitrario , possiamo trovare

R

b

2 1 a

∈

x, y tali che x + y = . Questo equivale a dire che il sistema

R 4 5 b

nella coppia di incognite reali (x, y)

2x + y = a

4x + 5y = b 7

è risolubile qualunque siano i “termini noti” a e b. Chi ricorda la regola di Cramer

6

dirà subito che questo è vero, e in più il sistema ha soluzione unica, perché 2·5−4·1 =

0. Allo stesso risultato si arriva anche provando direttamente a risolvere il sistema:

5a−b b−2a

si trova che qualunque siano a e b il sistema ha soluzione, unica, x = , y = .

6 3

2

[In generale vale il fatto seguente: due vettori non proporzionali in costituiscono

R

2

sempre un insieme di generatori di . Sapete trovare una spiegazione geometrica

R

di questo?] 3

2. Consideriamo il sottospazio vettoriale V di ,

R

     

−1

1 2

{v },

V = Span , v , v dove v = 0 , v = 1 , v = 3 .

1 2 3 1 2 3

     

−1

1 2

{v }

Dimostrare che , v è un insieme di generatori di V .

1 2

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che tutti gli elementi di V sono combinazioni

lineari di v e v . Per prima cosa, visto che v appartiene a V , v stesso deve essere

1 2 3 3

combinazione lineare di v e v . Con un calcolo diretto, analogo ai calcoli visti nella

1 2

Sezione 1, troviamo infatti che −7v

= + 3v (∗)

v

3 1 2 {v }

[fate il conto]. Ora, per definizione, V è generato da , v , v e quindi tutti

1 2 3

i suoi elementi sono combinazioni lineari di v , v , v . Ma se sostituiamo a v la

1 2 3 3

sua espressione come combinazione lineare di v e v data dalla (∗), riusciamo a

1 2

trasformare ogni combinazione lineare di v , v , v in una combinazione lineare dei

1 2 3

soli v e v , che è quello che vogliamo.

1 2

5. Insiemi di vettori linearmente indipendenti

{v }

Fissiamo un insieme di vettori , . . . , v (k intero positivo) nello spazio vet-

1 k

toriale reale V . {v }

Definizione. L’insieme , . . . , v si dice linearmente dipendente se esistono

1 k

degli scalari a , . . . , a non tutti nulli tali che

1 n · · · (∗)

a v + + a v = 0.

1 1 k k

8

Chiameremo una relazione del tipo (∗), con a , . . . , a scalari non tutti nulli, una

1 n

relazione di dipendenza lineare tra i vettori v , . . . , v .

1 k

{v }

L’insieme , . . . , v si dice linearmente indipendente se non è linearmente

1 k

dipendente. , . . . , v sono” linear-

Nota. Spesso diremo in modo meno formale che “i vettori v

1 k

mente dipendenti (indipendenti).

Esempi.

{0} ∈

1. è linearmente dipendente perché per ogni a si ha a0 = 0 e quindi,

R

6

per ogni a = 0 fissato, l’identità precedente fornisce una relazione di dipendenza

lineare.

1 2

2

2. V = . L’insieme , è linearmente dipendente: si ha, ad esempio,

R 2 4

1 2 0

−

2 = .

2 4 0

0 2

2

3. V = . L’insieme , è linearmente dipendente: si ha, ad esempio,

R 0 4

0 2 0

1 +0 = .

0 4 0

 

     

1 1 0

 

3

4. V = . L’insieme 2 , 3 , 2 è linearmente dipendente: si ha,

R      

3 4 2

 

ad esempio,    

    0 0

1

1 1

− 2 = 0 .

2 3 +    

    2 2 0

3 4

1 0

2

5. V = . L’insieme , è linearmente indipendente, perchè se

R 0 1

1 0 0

a + b = ,

0 1 0

allora a e b sono necessariamente entrambi nulli.

n ≥

In generale, per V = , n 1: i vettori e , . . . , e definiti nell’Esempio 2 della

R 1 n

Sezione 4 sono linearmente indipendenti. 9

Osservazioni. {v},

1. Un insieme formato da un singolo vettore, è linearmente dipendente se

6

v = 0, mentre è linearmente indipendente se v = 0 (perchè in questo caso av = 0

solo se a = 0.) {v }

2. Se k > 1 e , . . . , v è linearmente dipendente, allora almeno uno dei vettori

1 k

v è combinazione lineare degli altri. [Dimostrazione: per ipotesi esistono dei reali

i · · ·

a , i = 1, . . . , k, tali che a v + + a v = 0 e almeno uno degli a non è 0. Ma

i 1 1 k k i

6

se a = 0, dalla relazione precedente ottengo:

i k a

j

X X

−a − v . ]

a v = v e, dividendo per a , v = j

i i j j i i a

i

j=1 1≤j≤k

j6 =

i j6 =

i

È facile dimostrare che vale anche il viceversa [fatelo], quindi si ha che:

{v }

, . . . , v è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei vettori v è com-

1 k i

binazione lineare degli altri.

3. Come caso particolare dell’osservazione precedente otteniamo che:

un insieme di due vettori è linearmente dipendente se e solo se i due vettori sono

proporzionali.

{v }

4. Se , . . . , v è linearmente dipendente, allora ogni insieme di vettori di V

1 k

che contiene v , . . . , v è linearmente dipendente. [Dimostrazione: una relazione

1 k

di dipendendenza lineare tra i v , . . . , v può essere vista come una relazione che

1 k

coinvolge anche altri vettori, con coefficiente 0 (cfr. Esempio 3)]

Problemi.  

     

1 1 2

 

−1 −3

1. Stabilire se 1 , , è linearmente dipendente o indipen-

     

1 1 1

 

dente.

Soluzione Dobbiamo stabilire se è possibile trovare tre scalari x, y, z, non tutti

nulli, tali che        

1 1 2 0

−1 −3

x 1 + y + z = 0 .

       

1 1 1 0

Questa equazione vettoriale è equivalente al sistema lineare

 x + y + 2z = 0

 − −

x y 3z = 0 ,

x + y + z =0



10

quindi dobbiamo stabilire se questo sistema ha almeno una soluzione diversa dalla

terna (0, 0, 0) (è chiaro che quest’ultima è una soluzione). Sottraendo la terza

equazione dalla prima otteniamo che ogni soluzione deve soddisfare z = 0. Sosti-

tuendo 0 a z troviamo che deve valere anche

x + y =0

−

x y =0

e da qui facilmente che x = y = 0. Ne concludiamo che l’insieme di vettori dato è

linearmente indipendente.

     

−1

1 2

−1 −3 {v }

2. Sia v = 1 , v = , v = . Stabilire se , v , v è linear-

1 2 3 1 2 3

     

−1

1 1

mente dipendente o indipendente. Dire se è possibile scrivere ognuno dei tre vettori

dati come combinazione lineare degli altri due.

Soluzione La prima risposta è immediata se usiamo le Osservazioni 3 e 4: i primi

due vettori sono proporzionali, quindi linearmente dipendenti, ne segue che tutto

l’insieme è linearmente dipendente.

Anche la seconda risposta è immediata: è chiaro che il primo vettore è combi-

−v −1v