Algebra lineare

Dimostrazione di indipendenza lineare degli elementi di S

Siano λ , . . . , λ numeri reali tali che λ S +· S = 01 k 1 1 k siano p , . . . , p i pivot di S. Se k = 1 l'asserto (a) è ovvio, quindi supponiamo1 kk > 1. Per ipotesi, la prima componente diversa da 0 di S è p . Consideriamo la1 1colonna di S che contiene p : questa ha p come prima componente e tutte le altre1 1componenti uguali a 0.

S =

Quindi: 0 1 11 1 k k ∗ ··· ∗( 0 )+.. ... .∗( 0 )=∗ ··· ∗( λ p ).

Segue che λ p = 0 e, poiché p = 0, che λ = 0.

• · · ·
• ≤Concludiamo per induzione: se sappiamo che λ = = λ = 0 (1 < i k),1 i−1· · · · · ·allora λ S + + λ S = λ S + + λ S Ragionando come prima, troviamo che1 1 k k i i k k22 · · ·λ S + + λ S ha come componente λ p , in corrispondenza della colonna di p ,1 1 k k i i iquindi λ = 0.i 1 m 1 i| · · · |S(b) Siano S , . . . , S le colonne di S. Indichiamo con (S ) la matrice formata≤dalle prime i colonne di S (1 i < m). Ricordiamo l’osservazione fatta alla finedel paragrafo 4: il sistema di matrice completa (A|b) è risolubile se e solo se biè combinazione lineare delle colonne di A. Perciò S è combinazione lineare di1 i−1 1 i| · · · |SS , . . . , S se e solo se il sistema di matrice completa (S ) è risolubile.Poiché questa matrice è a scala, questo succede se e

solo se essa non ha pivot nell'ultima colonna. Ma questo equivale a dire che S non ha pivot nella i-esima colonna. C(S).(c) Le colonne di S sono per definizione un insieme di generatori di Ri-cordiamo il procedimento di estrazione di una base da un insieme di generatori ordinato: basta scartare dall'insieme i vettori che sono combinazione lineare dei precedenti. Perciò, per (b), scartando le colonne senza pivot otteniamo una base di C(S). Poiché le righe non nulle di una matrice a scala sono tante quanti i pivot, mettendo insieme (a) e (c) otteniamo che lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne di S (quindi di M) hanno la stessa dimensione. Ora la Proposizione 2 si può tradurre cosı̀: Proposizione 2. Enunciato equivalente. La dimensione dello spazio nullo è uguale al numero delle colonne meno il rango. Altre osservazioni. Le Osservazioni 1 e 3 e i punti (a) e (c) della dimostrazione precedente implicano che: Se M è una matrice non nulla qualunque e S è una

matrice a scala ottenuta da M per eliminazione di Gauss, allora: R(M costituiscono una base di ).

4. le righe non nulle di S

5. le colonne di M corrispondenti alle colonne di S che contengono i pivot costi-C(M tuiscono una base di ).

6. In particolare, per una matrice a scala il rango coincide con il numero delle righe non nulle o, equivalentemente, dei pivot. Inoltre, per una matrice qualunque M il rango si può calcolare riducendo M a scala e contando i pivot (o le righe non nulle) della matrice ottenuta.

Esempio. Sia

 

1 2 0 1

M = 1 1 1 1

 

-2 1 4 1

Mostriamo come:

(a) calcolare il rango di M e la dimensione dello spazio nullo di M ;

N C(M R(M

(b) determinare una base per ciascuno degli spazi (M ), ), ).

(a) Riduciamo M a una matrice a scala.

   

1 2 0 1 1 2 0 1

II7→ II- I III7→III+2II

III7→ III- I

 

-1 -2 1 -1 0 1

0^-2 -21 4 1 0 2 0¹ 2 0 1^-11 0 = S.
0 0 0 0

Il rango di S è il numero delle righe non nulle di S e coincide con quello di M, quindi rk M = 2. La dimensione dello spazio nullo è uguale al numero delle colonne N meno il rango, quindi dim (M) = 4 - 2 = 2.

(b) Lo spazio delle righe di M coincide con quello di S e una sua base è data dalle {(1 2 0 1), (0 1 1 0)} è una base di ).
Lo spazio delle colonne di M è diverso da quello di S, ma le relazioni lineari che sussistono tra le colonne di M sono le stesse che sussistono tra le colonne di S. La prima e la seconda colonna di S (le colonne dei pivot) costituiscono una base di C(S), quindi l'insieme delle prime due colonne di M, (1 1) è una base di C(M). N = 0,

Per calcolare una base di (M) risolviamo esplicitamente il sistema Mx = 0, che è equivalente. Risolviamo calcolando x e x in

funzione di x eanzi Sx 1 2 3x e troviamo4 −2x −x = x1 3 4x = x2 324Ponendo x = a e x = b troviamo la soluzione generale3 4−2a − −2 −1b     a 1 0, che è uguale a: a + b .    a 1 0     b 0 1t tNQuindi (M ) = Span{ ( 2 1 1 0), ( 1 0 0 1)}. Sappiamo già che la dimensione− −N Ndi (M ) è 2, quindi un insieme di generatori di (M ) con 2 elementi deve essereanche una base (prima parte delle dispense, Paragrafo 7, Corollario 1). Segue chet t{ N( 2 1 1 0), ( 1 0 0 1)} è una base di (M ).− − 257. Applicazioni.In questo paragrafo descriviamo delle tecniche di risoluzione di problemi basatesulla teoria del Paragrafo 6. Prima di andare avanti nella lettura riguardate anchei paragrafi 6 e 7 della prima parte di queste dispense, in particolare gli algoritmidi estrazione di una base da un insieme di generatori e di completamento di uninsieme linearmente indipendente ad una

Problema 1. Dati i vettori di R⁴:

v₁ = [1, 1, 1, 1]

v₂ = [1, 2, 3, 4]

v₃ = [2, 2, 2, 1]

v₄ = [3, 3, 3, 1]

(a) Stabilire se l'insieme {v₁, v₂, v₃, v₄} è linearmente dipendente o indipendente e se è un insieme di generatori di R⁴;

(b) Posto V = Span{v₁, v₂, v₃, v₄}, determinare una base e la dimensione dello spazio vettoriale V;

(c) Determinare le coordinate di v₁, v₂, v₃ e v₄ rispetto alla base di V trovata.

Risoluzione.

Sia M = [v₁, v₂, v₃, v₄], la matrice che ha per colonne i vettori dati. Per stabilire se l'insieme di vettori {v₁, v₂, v₃, v₄} è linearmente indipendente o no, applichiamo l'eliminazione di Gauss alla matrice M:

[1, 2, 0, 1]

[1, 2, 0, 1]

[1, 1, 1, 0]

[1, 1, 1, 0]

[1, 1, 1, 1]

[0, 1, 0, 1]

[0, 1, 0, 1]

[0, 1, 1, 0]

[0, 1, 1, 0]

[0, 1, 1, 1]

[0, 0, 1, 0]

[0, 0, 1, 0]

[0, 0, 1, 1]

[0, 0, 0, 1]

[0, 0, 0, 1]

La matrice ridotta a scalini è:

[1, 2, 0, 1]

[0, 1, 0, 1]

[0, 0, 1, 0]

[0, 0, 0, 1]

IV−−−−−−−−→−−−−−−−−→M =

Per l'Osservazione 2 del Paragrafo 6, le relazioni che sussistono tra le colonne di M sono le stesse che sussistono tra le colonne di S. La terza colonna di S è combinazione lineare delle prime due, quindi anche v è combinazione lineare di v₁ e v₂. Segue che l'insieme {v₁, v₂, v₃} è linearmente dipendente.

Dire che {v₁, v₂, v₃} è un insieme di generatori di M è equivalente a dire che lo spazio delle colonne di M è R⁴. Ma dim(M) = rk(M) = rk(S) = 3 (Teorema e Osservazioni 4 e 5 del Paragrafo 6.) Segue che {v₁, v₂, v₃} è un insieme di generatori di M.

v non generano V, perché R1 4questo ha dimensione 4.

(b) V è lo spazio delle colonne di M, quindi abbiamo già visto che ha dimensione 3. Per ottenere una sua base basta prendere le colonne di M corrispondenti alle colonne dei pivot di S: v, v, v è una base di V.

(c) È ovvio che le coordinate di v, v, v rispetto alla base formata da essi stessi sono (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1). Per calcolare le coordinate di v utilizziamo i calcoli del punto (a). Le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne di M e quelle tra le colonne di S sono le stesse. La terza colonna della matrice S è combinazione lineare delle prime due colonne di S. Per trovare esplicitamente i coefficienti di questa combinazione lineare bisogna risolvere il sistema xS + yS = S, di matrice completa (S) (dove S, S, S sono le colonne di S), cioè: x + 2y = 0, -y = 1, 1 2 3, -1, -S, -v. Questo ha soluzione (unica) y = x = 2, quindi 2S = S.

Perciò 2v = 1 2t{v } −1,v . Segue che le coordinate di v rispetto alla base , v , v sono (2, 0).3 3 1 2 43

Problema 2. Dati i vettori di R₃:

v = 1, v = 1, v = 1, v = 1,

1 2 3 4

stabilire se , v , v , v è un insieme linearmente indipendente e se è un insieme

1 2 3 4

di generatori di R³. Se è un insieme di generatori, estrarre da esso una base di R³.

Risoluzione. Poiché dim = 3, ogni insieme con più di tre vettori in R³

{v }

linearmente dipendente. L’insieme , . . . , v genera R³ se e solo se la dimensione

R³

di (Span{v , . . . , v è uguale a 3. Span{v , . . . , v è lo spazio delle colonne della

1 4}) }

matrice (v ), quindi la sua dimensione è il rango di questa matrice, che

1 2 3 4

possiamo calcolare facilmente riducendola a scala con l’eliminazione di Gauss:

 1 2 0 1