Algebra lineare

Lezioni di algebra lineare

Contenuto

• Combinazioni lineari di vettori
• Sottospazi vettoriali
• Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori
• Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale
• Insiemi di vettori linearmente indipendenti
• Basi di uno spazio vettoriale
• Dimensione di uno spazio vettoriale
• Coordinate
• Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Prerequisiti

Si presuppone che lo studente conosca la definizione astratta di spazio vettoriale e l’esempio concreto con le operazioni naturali di spazio vettoriale reale R. In alcuni esempi si presuppone anche che lo studente abbia familiarità con la rappresentazione geometrica di R² e di R³.

Premessa

Supponiamo fissato uno spazio vettoriale reale V. Nel seguito chiameremo vettori gli elementi di V e scalari i numeri reali. Negli esempi V sarà di solito uguale a R³ o a R².

Combinazioni lineari di vettori

Supponiamo fissati k vettori v₁, ..., v_k (k intero ≥ 1).

Definizione. Un vettore v si dice combinazione lineare di v₁, ..., v_k se esistono degli scalari λ₁, ..., λ_k tali che v = λ₁v₁ + ... + λ_kv_k.

Definizione più generale. Se S è un sottoinsieme, anche infinito, di V, diciamo che il vettore v è combinazione lineare di elementi di S se v è uguale a una somma finita del tipo λ₁v₁ + ... + λ_kv_k, con v₁, ..., v_k ∈ S e λ₁, ..., λ_k ∈ R.

Esempio. Il vettore v = ³ è combinazione lineare dei vettori v₁ = ⁴, v₂ = ⁻¹, infatti v = 1v₁ + 2v₂ e quindi la condizione della definizione precedente è verificata da λ₁ = 1 e λ₂ = 2.

Problemi

1. Stabilire se il vettore v = ² è combinazione lineare dei vettori v₁ = ¹ e v₂ = ³. Se lo è determinare esplicitamente dei coefficienti a e b tali che v = av₁ + bv₂.

Soluzione. Dobbiamo: (a) stabilire se l'equazione vettoriale xv₁ + yv₂ = v, nella coppia di incognite reali (x, y) ha soluzioni; (b) se ci sono soluzioni, scriverne esplicitamente una.

Scriviamo esplicitamente l'equazione vettoriale precedente:
x + y = 2
x + 3y = 1

Con facili calcoli troviamo che il sistema scritto sopra ha come unica soluzione la coppia (x, y) = (−⁷, ⁴). Quindi: (a) v è combinazione lineare di v₁ e v₂; (b) a = −⁷ e b = ⁴ soddisfano la richiesta del problema (e sono gli unici reali con questa proprietà).

2. Stabilire se i vettori v = ³ e w = ³ sono combinazioni lineari di v₁ = ⁰, v₂ = ¹, v₃ = ³. Se lo sono, determinare esplicitamente i coefficienti di tali combinazioni lineari.

Soluzione. Lo schema di risoluzione è analogo a quello del problema precedente. Per stabilire se v è combinazione lineare di v₁, v₂, v₃, dobbiamo studiare la risolubilità del sistema di equazioni:

x + 2y + z = 2
y + 3z = 3
x + 2y + z = 1

Confrontando la prima e la terza equazione del sistema si vede subito che il sistema non ha soluzioni, quindi v non è combinazione lineare di v₁, v₂ e v₃.

Nel caso di w dobbiamo considerare il sistema:

x + 2y + z = 2
y + 3z = 3
x + 2y + z = 2

che chiaramente è equivalente a:

x + 2y + z = 2
y + 3z = 3

Questo è un sistema risolubile e con infinite soluzioni. Infatti, dalla seconda equazione ottengo y = −³ + 3z e, sostituendo nella prima, x = −7z + 4. Questo vuol dire che qualunque valore reale, diciamo c, io attribuisca a z, la terna (−7c + 4, −³ + 3c, c) è una soluzione del sistema. Quindi, poiché esistono soluzioni, w è combinazione lineare di v₁, v₂, v₃; inoltre, esistono infinite terne di coefficienti (a, b, c) tali che w = av₁ + bv₂ + cv₃; infine, l’insieme di tutte queste terne è {(−7c + 4, −³ + 3c, c) | c ∈ R}. Per ottenere una terna particolare basta attribuire un valore a c, ad esempio per c = 0 ottengo w = v₂ + 3v₃.

Sottospazi vettoriali

Definizione. Un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme non vuoto di V chiuso rispetto alle operazioni di V.

Quindi dire che U è un sottospazio vettoriale di V vuol dire:

• (1) che U è un sottoinsieme di V che contiene almeno un vettore;
• (2) che se il vettore u appartiene a U, anche tutti i vettori di tipo λu (con λ ∈ R) appartengono a U;
• (3) che se i vettori u₁ e u₂ appartengono a U, anche il vettore u₁ + u₂ appartiene a U.

Osservazioni.

1. Poiché 0v = 0 per ogni vettore v, dalle condizioni (1) e (2) della definizione segue che un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore 0.
2. Dalle condizioni (2) e (3) segue che: se U è un sottospazio vettoriale di V, allora tutte le combinazioni lineari di vettori di U appartengono ancora a U.
3. [Dimostrare] Un sottospazio vettoriale di V è a sua volta uno spazio vettoriale reale.

Esempi.

• Il sottospazio nullo (o banale). Il sottoinsieme {0} è un sottospazio vettoriale di V. Infatti: (1) contiene 0, quindi non è vuoto; (2) tutti i vettori di tipo λ0 (λ ∈ R) sono uguali a 0 e quindi stanno in {0}; (3) se u₁ e u₂ stanno in {0}, allora u₁ = u₂ = 0 e quindi u₁ + u₂ = 0.
• Il sottospazio improprio. [Dimostrare.] V stesso è un sottospazio vettoriale di se stesso.
• [Dimostrare.] Se fissiamo un sistema di riferimento nello spazio e identifichiamo i punti dello spazio con gli elementi di R³, tramite le coordinate, allora: tutte le rette passanti per l’origine e tutti i piani passanti per l’origine sono sottospazi vettoriali di R³.

N.B. Nel caso V = R³, i sottospazi descritti negli esempi 1, 2 e 3 precedenti sono tutti i sottospazi vettoriali di V. [Provate a dimostrare anche questo. Alla fine della lezione dovrebbe esservi del tutto chiaro.]

Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori

Fissiamo un insieme non vuoto di vettori S ⊆ V.

Definizione. Il sottospazio vettoriale generato da S, che denoteremo con Span S, è il minimo sottospazio vettoriale di V che contiene S.

Spiegazione della definizione: “minimo” vuol dire: “ogni altro sottospazio vettoriale che contiene S contiene anche Span S”.

Teorema. Span S coincide con l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.

Schema di dimostrazione. [Capire e provare a completare.] Dobbiamo dimostrare due cose:

1. che l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S è un sottospazio vettoriale che contiene S.
2. che è minimo nel senso spiegato sopra.

Per il punto 1 dobbiamo far vedere: (a) che sommando due combinazioni lineari di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!); (b) che moltiplicando per uno scalare una combinazione lineare di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!).

Per il punto 2 basta usare l’Osservazione 2 della sezione 2. Da questa segue direttamente che se un sottospazio vettoriale di V contiene S, allora contiene anche Span S.

Esempi.

• Span {0} = {0} perché è già un sottospazio vettoriale.
• [Dimostrare.] Fissiamo v ∈ V, v ≠ 0. Allora Span {v} è l’insieme di tutti i multipli scalari di v. In R² e in R³, con l’usuale rappresentazione geometrica, si ottiene che Span {v} è la retta passante per l’origine su cui giace il vettore v.
• [Dimostrare.] Fissiamo u, v ∈ R³. Se u e v non sono proporzionali, allora otteniamo che la rappresentazione geometrica di Span {u, v} è il piano passante per l’origine che contiene i vettori u e v. [Problemi: 1. Cosa succede se u e v sono proporzionali? 2. Cosa può essere Span {v, w}, nella rappresentazione geometrica, se u, v, w sono tre vettori arbitrari in R³? 3. Se u e v sono due vettori non proporzionali di R², cosa è Span {u, v}?]

Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale

Definizione 1. Un insieme di generatori di V è un insieme di vettori S, incluso in V, tale che ogni vettore di V sia combinazione lineare di vettori di S.

Definizione 2. V si dice finitamente generato se ha un insieme di generatori finito.

Osservazioni.

1. Dire che S è un insieme di generatori di V equivale a dire che V = Span S. [Spiegate perché.]
2. Se S è un insieme di generatori di V, allora ogni sottoinsieme S′ di V che contiene S è ancora un insieme di generatori di V. (I generatori che non compaiono esplicitamente in combinazione lineare hanno coefficiente nullo).

Esempi.

• ¹, ⁰ è un insieme di generatori di R², perché per ogni vettore ^a ∈ R² si ha:
  a = ^a + ^b.
• L’esempio precedente si generalizza a Rⁿ, n ≥ 1: per i = 1, ..., n chiamiamo e_i il vettore di Rⁿ con tutte le componenti nulle tranne la i-esima, che invece è 1. Allora {e₁, ..., e_n} è un insieme di generatori di Rⁿ. Infatti per ogni vettore [a₁, ..., a_n] ∈ Rⁿ si ha:
  [a₁, ..., a_n] = a₁e₁ + a₂e₂ + ... + a_ne_n.
• L’esempio precedente dimostra che Rⁿ è finitamente generato, per ogni n ≥ 1.

Problemi

[Cfr. con i problemi della Sezione 1.]

1. Dimostrare che ², ¹ è un insieme di generatori di R².

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che ogni vettore di R² è una combinazione lineare dei due vettori dati, cioè che dato un arbitrario [a, b] ∈ R², possiamo trovare x, y tali che x[2, 1] + y[4, 5] = [a, b]. Questo equivale a dire che il sistema nella coppia di incognite reali (x, y)

2x + y = a
4x + 5y = b

2. Consideriamo il sottospazio vettoriale V di R³, V = Span {v₁, v₂, v₃} dove v₁ = [0, -1, 2], v₂ = [1, -1, 3], v₃ = [2, 1, 1]. Dimostrare che {v₁, v₂} è un insieme di generatori di V.

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che tutti gli elementi di V sono combinazioni lineari di v₁ e v₂. Per prima cosa, visto che v₃ appartiene a V, v₃ stesso deve essere combinazione lineare di v₁ e v₂. Con un calcolo diretto, analogo ai calcoli visti nella Sezione 1, troviamo infatti che v₃ = -7v₁ + 3v₂. Ora, per definizione, V è generato da {v₁, v₂, v₃} e quindi tutti i suoi elementi sono combinazioni lineari di v₁, v₂, v₃. Ma se sostituiamo a v₃ la sua espressione come combinazione lineare di v₁ e v₂, riusciamo a trasformare ogni combinazione lineare di v₁, v₂, v₃ in una combinazione lineare dei soli v₁ e v₂, che è quello che vogliamo.

Insiemi di vettori linearmente indipendenti

Fissiamo un insieme di vettori {v₁, ..., v_k} (k intero positivo) nello spazio vettoriale reale V.

Definizione. L’insieme {v₁, ..., v_k} si dice linearmente dipendente se esistono degli scalari a₁, ..., a_k non tutti nulli tali che

a1v1 + ... + akvk = 0.

Chiameremo una relazione del tipo sopra una relazione di dipendenza lineare tra i vettori v₁, ..., v_k.

L’insieme {v₁, ..., v_k} si dice linearmente indipendente se non è linearmente dipendente.

Nota. Spesso diremo in modo meno formale che “i vettori {v₁, ..., v_k} sono linearmente dipendenti (indipendenti)”.

Esempi.

1. {0} è linearmente dipendente perché per ogni a si ha a0 = 0 e quindi, per ogni a ≠ 0 fissato, l’identità precedente fornisce una relazione di dipendenza lineare.
2. V = R². L’insieme ¹, ² è linearmente dipendente: si ha, ad esempio,

       -2[1, 2] + 4[0, 1] = 0.
       

3. V = R³. L’insieme ¹, ¹, ² è linearmente dipendente: si ha, ad esempio,

       1[1, 1, 2] - 1[1, 1, 1] = 0.
       

4. V = R³. L’insieme ¹, ², ³ è linearmente dipendente: si ha, ad esempio,

       [1, 1, 0] - 2[0, 1, 1] = 0.
       

5. V = R³. L’insieme ¹, ² è linearmente indipendente, perché se

       a[1, 2] + b[1, 0] = 0,
       

   allora a e b sono necessariamente entrambi nulli.

Osservazioni.

1. Un insieme formato da un singolo vettore {v} è linearmente dipendente se v = 0, mentre è linearmente indipendente se v ≠ 0 (perché in questo caso av = 0 solo se a = 0).
2. Se k > 1 e {v₁, ..., v_k} è linearmente dipendente, allora almeno uno dei vettori v_i è combinazione lineare degli altri. [Dimostrazione: per ipotesi esistono dei reali a_i, i = 1, ..., k, tali che a₁v₁ + ... + a_kv_k = 0 e almeno uno degli a_i ≠ 0. Ma se a_i ≠ 0, dalla relazione precedente ottengo:

       vi = -Σ(aj/ai)vj.
       

   ]

È facile dimostrare che vale anche il viceversa [fatelo], quindi si ha che: {v₁, ..., v_k} è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei vettori v_i è combinazione lineare degli altri.

Come caso particolare dell’osservazione precedente otteniamo che: un insieme di due vettori è linearmente dipendente se e solo se i due vettori sono proporzionali.

Se {v₁, ..., v_k} è linearmente dipendente, allora ogni insieme di vettori di V che contiene {v₁, ..., v_k} è linearmente dipendente. [Dimostrazione: una relazione di dipendenza lineare tra i v₁, ..., v_k può essere vista come una relazione che coinvolge anche altri vettori, con coefficiente 0 (cfr. Esempio 3)]

Problemi

1. Stabilire se ¹, ², ^-1 è linearmente dipendente o indipendente.

Soluzione. Dobbiamo stabilire se è possibile trovare tre scalari x, y, z, non tutti nulli, tali che:

x[1, 2, 1] + y[-1, 0, 2] + z[1, -1, 1] = 0.

x + y + z = 0
- x + 2y + z = 0
x - y + z = 0

2. Sia v₁ = ^-1, v₂ = ¹, v₃ = ^-1. Stabilire se {v₁, v₂, v₃} è linearmente dipendente o indipendente. Dire se è possibile scrivere ognuno dei tre vettori dati come combinazione lineare degli altri due.

Soluzione. La prima risposta è immediata se usiamo le Osservazioni 3 e 4: i primi due vettori sono proporzionali, quindi linearmente dipendenti, ne segue che tutto l’insieme è linearmente dipendente. Anche la seconda risposta è immediata: è chiaro che il primo vettore è combinazione lineare di v₂ e v₃.