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Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Teorema

Sia V uno spazio vettoriale e v1, v2, ..., vn ∈ V. I vettori dati sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti:

vi = a1v1 + a2v2 +      ⋯      + anvn                                                        (manca vi)

Dimostrazione “→”

v1, v2, ..., vn sono linearmente dipendenti se esistono λ1, λ2, ..., λn non nulli tali che:

λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn = 0

Porto λivi a sinistra:

λivi = -λ1v1 - λ2v2 - ... - λnvn

Divido tutto per λi (perché ≠0)

vi = λ1/λi v1 - λ2/λi v2 - ... - λn/λi vn = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

Dimostrazione “←”

Supponiamo che vi = a1v1 + ... + ai-1vi-1 + ai+1vi+1 + ... + anvn

a1v1 + ... + ai-1vi-1 - vi/-1vi + ai+1vi+1 + ... + anvn = 0

Non tutti i coefficienti sono nulli, quindi v1, v2, ..., vn sono linearmente dipendenti.

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Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher enricopava di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Padova o del prof Bottaccin Francesco.
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