Algebra lineare

Algebra Lineare

Marco Leonardi

Strutture Algebriche e Spazi Vettoriali 2

Dipendenza Lineare e Basi 4

Scrivere in Coordinate rispetto ad una base 5

Ripassi Matrici 6

Sistemi Lineari 7

Mosse di Gauss 7

Teorema di Rouché Capelli 7

Metodo di cramer 9

Funzioni Lineari 10

Teorema del Rango 10

Esistenza ed Unicità 12

Matrici Associate 12

Endomorfismi 12

Autovettori e Autospazi 12

Diagonalizzabilità: 14

Proiezioni 14

Proiezioni Ortogonali 14

Forme Bilineari 16

Basi Ortogonali e Ortonormali 17

Teorema di Sylvester 17

Segnatura 18

Modi per calcolare la segnatura 18

Matrici Congruenti 20

Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt 21

Sottospazi Ortogonali 22

Matrici Ortogonali 23

Teorema Spettrale 25

Conseguenze 26

Isometrie 27

Isometrie nel piano 27

Isometrie nello spazio R3 28

Geometria 30

Rette 30

Piano 32

Distanze 33

Distanze nel piano 33

Distanze nello spazio 34

Strutture Algebriche e Spazi Vettoriali

Def. Gruppo: Un insieme G, su cui è definita un’operazione binaria con proprietà

associativa, elemento neutro ed elemento inverso.

Ex: è un gruppo. Se vale la proprietà commutativa, si dice gruppo commutativo.

(, +)

Def. Anello: Un gruppo A, si dice anello se su di esso vale anche una seconda operazione

binaria con le rispettive proprietà associative e distributive.

Ex: è un anello.

(, ×, +)

Def. Campo: Un anello K, su cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, e su cui

valgono le seguenti proprietà, si chiama Campo:

Proprietà della somma in un campo:

● Commutativa

● Associativa

● Elemento neutro

● Elemento Opposto

Proprietà del prodotto in un campo:

● Commutativa

● Associativa

● Elemento Neutro

● Elemento Inverso

Esempi: non è nemmeno un gruppo (non ha inverso rispetto alla somma). è un anello

ma non un campo. sono campi.

, ,

Def. Spazio Vettoriale: Sia K un campo e V un insieme.

V(K) si chiama spazio vettoriale a valori in K, o K-Spazio vettoriale, se su V le operazioni di

somma e prodotto sono contenute, e se il vettore nullo fa parte di V.

Per chiusura di somma e prodotto si intende:

, ∈ → + ∈ ∀ ∈

1 2 1 2

∈ , λ ∈ → λ ∈ ∀ ∈ , ∀λ ∈ .

Se lo spazio vettoriale contiene solo e soltanto il vettore nullo , si chiama banale.

0

Nota: si chiama Spazio Euclideo.

Def. Sottospazio Vettoriale: Un insieme non vuoto è un sottospazio vettoriale se è

⊆

chiuso rispetto alle operazioni di V.

Teorema: L’intersezione di due sottospazi vettoriali è sempre un sottospazio, mentre

l’unione è un sottospazio solo se i due sottospazi sono uno dentro l’altro.

Dimostrazione: L’intersezione di due sottospazi è ancora un sottospazio: Dati .

, ⊆

1. . Poiché per definizione

0 ∈ ∩ 0 ∈ , 0 ∈

2. . Infatti se i due vettori stanno nell’intersezione,

, ∈ ∩ ⇒ + ∈ ∩

stanno anche entrambi in U ed entrambi in W. Ovvero, la loro somma sta in W e sta

in U, quindi nell’intersezione.

3. . Analogo al punto 2.

∈ ∩ ⇒ α ∈ ∩

Contro-esempio di Unione di Sottospazi:

2

Sia . Siano U,W i sottospazi degli assi di V: ,

= = { = 0} = {1, 0}

. In questo caso, tutti i punti che stanno sugli assi appartengono

= { = 0} = {0, 1}

all’unione di U e W, ma la loro somma no.

Se sono uno dentro l’altro, l’unione è il sottospazio più grande, quindi ovviamente è un

sottospazio.

Def. Somma di Sottospazi: Dati due sottospazi , si definisce la loro somma come:

, ∈

+ : = { + | ∈ , ∈ } ⊆

Ovvero l’insieme di tutti i vettori di V che possono essere scritti come somma di vettori di U e

di vettori di W. La somma di due sottospazi è un sottospazio.

Def. Combinazione Lineare - Spanning Set:

Dati k vettori in uno spazio vettoriale V(K), si chiama combinazione lineare di ,

,..., ,...,

1 1

ogni possibile vettore w della forma:

= α +... + α α ∈

1 1

Ovvero tutti i vettori che posso creare sommando tra loro e tra loro multipli, i vettori .

,...,

1

L’insieme di tutte le combinazioni lineari di dati vettori, si indica con , ed è il più

{ ,..., }

1

piccolo possibile sottospazio di V che contiene .

,...,

1

Def. Spazio Finitamente Generato: Un K-Spazio V si dice finitamente generato se esiste

un numero finito di vettori , tali che tutti i vettori di V siano combinazioni lineari di

,...,

1

.

,...,

1

Il K-Spazio V sarà quindi generato da : V=Span{ }

,..., ,...,

1 1

{ ,..., } = ∑ α | α ∈

1

=1

L’insieme dei generatori di uno spazio non è unico.

Def. Sottospazio Invariante: Dato uno spazio vettoriali V e l’endomorfismo : → .

Un sottospazio , si dice invariante se la sua immagine attraverso l’operatore è

⊆

contenuta in se stesso.

() ⊆ .

Dipendenza Lineare e Basi

Def. Sia V(K) uno spazio vettoriale. Dati k vettori , questi si dicono linearmente

,...,

1

indipendenti se l’unico modo di esprimere il vettore nullo attraverso una loro combinazione

lineare, è con coefficienti scalari tutti nulli.

Ovvero se nessuno tra di loro è combinazione lineare di nessuno degli altri.

In caso contrario, si dicono linearmente dipendenti.

Def. Base: Un insieme ordinato di vettori generatori linearmente indipendenti di V si chiama

Base dello spazio V.

Una base è un insieme minimale di generatori, e massimale di vettori linearmente

indipendenti.

Per comodità solitamente si usano le basi canoniche degli spazi:

ξ ⊆ = {(} 2

ξ ⊆ []: = {1, , ,..., }

≤

Un sottospazio può avere più di una base, ma tutte avranno la stessa cardinalità e stessa

dimensione.

Def. Dimensione: La dimensione di uno spazio vettoriale V, corrisponde alla

(),

cardinalità (numero di elementi) di una e tutte le sue basi.

Formula di Grassman

Siano S e T due sottospazi di V(K), allora la dimensione di S+T è:

( + ): = () + () − ( ∩ )

Dimostrazione:

Sia una base di . Poiché l’intersezione è un sottospazio sia di S che di T,

= { ,..., } ∩

1

posso completare la base B in altre basi e .

= { ,..., , ,..., }

1 +1

= { ,..., , ,..., }

1 +1

E indico:

() =

() =

( ∩ ) =

Voglio adesso dimostrare che .

( + ) = + −

Mi basta dimostrare che è una base di S+T, in quanto questa

{ ,..., , ,..., , ,..., }

1 +1 +1

ha n vettori v, più m-k vettori w.

Sappiamo che questi vettori generano, però bisogna dimostrare che sono linearmente

indipendenti. Ovvero che l’unico modo affinché questa equazione sia vera:

+ = α +... + α + β +... + β = 0

1 1 1 +1 −

È a coefficienti tutti nulli.

Posso riscriverlo come:

α +... + α =− β −... − β

1 1 +1 −

Il primo membro di questa uguaglianza è un vettore di S, mentre il secondo è un vettore di T.

Ma se questi sono uguali, e posso scriverli in due modi diversi, significa che è lo stesso

vettore, e appartiene quindi all’intersezione.

Posso quindi riscriverlo come combinazione lineare di vettori della base B:

− β −... − β = γ +... + γ

1 +1 − 1 1

Ma sono una base di T, quindi sono sicuramente linearmente

{γ ,..., γ , ,..., }

1 +1

indipendenti. E i coefficienti sono quindi tutti nulli. Allo stesso modo lo sono quelli della base

di S. E quindi quelli dell’intersezione sono anche tutti nulli.

Coordinate rispetto ad una base

Sia B={ } una base di V(K), dim(v)=n. Ogni vettore v di V si può scrivere come

,...,

1

combinazione lineare dei vettori di B:

= α +... + α

1 1

Poiché questa espressione è unica, i coefficienti scalari possono essere usati come

coordinate per esprimere ogni vettore di V in base a B:

()

1

= α +... + α = (

1 1

Def. Funzione Coordinate: La funzione , che associa ad ogni elemento di V una

ϕ : →

combinazione di scalari di , è una funzione lineare, iniettiva e suriettiva (invertibile).

Def. Isomorfismo: Una funzione lineare ed invertibile si dice Isomorfismo. Tutti gli spazi

vettoriali di stessa dimensione sono isomorfi attraverso un isomorfismo.

Nozioni Matrici

Una Matrice T si dice triangolare superiore o inferiore, se tutti i suoi elementi non nulli sono

rispettivamente sopra o sotto la diagonale principale:

: = { ∈ () | = 0, > ( <) }

Se tutti e soli gli elementi sono sulla diagonale principale, allora la matrice si dice

Diagonale.

Def. Una Matrice si dice simmetrica se , ovvero se è uguale alla sua trasposta.

= ()

Prodotto Righe per Colonne: Data Posso definire il prodotto A(

1

∈ () ∈

..

,

()

1

Se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe della colonna di scalari (n); come:

Mosse di Gauss:

Def. Rango: Si definisce rango di una matrice, la dimensione del sottospazio generato dalle

righe o dalle colonne della matrice. Ovvero il numero di righe o colonne LIN IND.

In una matrice a scala, il rango è uguale al numero di righe non nulle (o colonne).

Le mosse di Gauss preservano il rango di una matrice, ma non il sottospazio generato.

Matrice Invertibile: Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste un’altra matrice B

tale che: = =

Nota: Una matrice è invertibile solo se il suo rango è massimo.

Def. Determinante: Il determinante di una matrice, corrisponde alla proporzione di

cambiamento di un’area trasformata dalla funzione associata alla matrice.

La funzione che ad ogni matrice quadrata associa il suo determinante, non è una funzione

lineare.

Teorema di Binet: det(AB) = det(A)det(B)

−1 1

Se A è invertibile, det( ) = det()

● Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.

Sistemi Lineari

Mosse di Gauss

Un sistema lineare è un insieme di k equazioni lineari in n variabili. Si può scrivere sotto

forma di matrice attraverso i coefficienti:

E si possono unire in un’unica matrice di dimensioni k x n+1.

= (|)

Le mosse di Gauss sono algoritmi che semplificano la matrice C, senza modificare l’insieme

delle soluzioni del sistema:

⊆

1. . Scambiando due righe qualsiasi della matrice, le soluzioni non cambiano.

↔

2. . Moltiplicando una riga per uno scalare non nullo, le soluzioni non

↔ λ , λ≠ 0

cambiano

3. . Aggiungendo ad una riga, un’altra moltiplicata per uno scalare non

= + λ

nullo, le soluzioni non cambiano.

Teorema di Rouché Capelli

Sia un sistema lineare di k equazioni in n incognite. Allora il sistema ha soluzioni se

=

e solo se . Se ci sono soluzioni, queste saranno della forma: ,

() = (|) +

0

dove è una particolare soluzione del sistema, e KerA è l’insieme delle soluzioni del

0

sistema omogeneo associato. Lo spazio delle soluzioni è un sottospazio affine di

⊆

dimensione − (). −()

Inoltre, il numero di soluzioni di un sistema è dato da: .

∞

Quindi esiste un’unica soluzione solo quando , mentre se

= () = (|)

, esistono infinite soluzioni dipendenti da parametri.

() = (|) < − ()

Dimostrazione:

Dato un sistema lineare:

Di k equazioni in n incognite.

La matrice A sarà dei coefficienti, e il vettore . Dimostriamo prima che il

= ( ) =

1 1

sistema ha soluzioni se e solo se dove sono le colonne di

∈ { ,..., } ...

coefficienti. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:

1 .

+.... + =

1

Da questa scrittura si nota subito che, affinché questa equazione sia verificata, b deve

1

essere combinazione lineare di delle colonne a coefficienti .

,..., ,...,

1

Data questa proposizione, possiamo affermare che:

1 1 , poiché se aggiungo un vettore dipendente ad uno

= { ,..., } = { ,..., , }

span non succede niente.

E quindi , poiché il rango indica proprio il numero di valori dipendenti in un

() = (|)

sistema.

Se b non è combinazione delle colonne, si ha che

1 1

( ,..., ) ⊂ { ,..., , }

E quindi .

(| > ()

Se ci sono soluzioni, sappiamo che la dimensione di S (insieme delle soluzioni) è pari alla

dimensione dello spazio , ovvero l’insieme delle soluzioni del sistema lineare associato.

0

Sappiamo che .

( ) = − () = ()

0

Metodo di cramer

Dato un sistema lineare quadrato con soluzioni uniche, ovvero , queste

() = (|) =

si possono trovare attraverso i determinanti dei minori della matrice .

|

2

In :

Si definiscono come:

: =

Ovvero il determinante della sottomatrice data dai termini noti e i coefficienti di y.

: =

Ovvero il determinante della sottomatrice data dai coefficienti di x e i termini noti.

Si ha poi:

,

= =

() ()

3

In :

Stesso procedimento:

: =

: =

: =

Sostituisco la colonna della incognita che sto calcolando con la colonna dei termini noti.

,

= = , =

() () ()

Funzioni Lineari

Def. Una funzione tra due K-Spazi V e W, si dice lineare se valgono le

: → ,

proposizioni:

1. ,

( + ) = () + () ∀, ∈

2. .

(λ) = λ(), ∀ ∈ , ∀λ ∈

Se il dominio ed il codominio dell’applicazione sono uguali, la questa si dirà Endomorfismo.

Nucleo di una funzione: Data , si definisce nucleo di f, , il seguente

: → ()

sottospazio:

(): = { ∈ | () = 0 }

Corollario: Una funzione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è banale.

Dimostrazione: Per definizione di linearità, ogni funzione lineare passa per l’origine:

. Se ci sono altri vettori che vengono mappati nell’origine,

(0) = (0) = 0() = 0 = 0

allora la funzione non è iniettiva ed il suo nucleo non è banale.

Immagine di una funzione: Data , si definisce immagine di f, , il seguente

: → ()

sottospazio:

(): = { ∈ |