Algebra lineare

Gram-Schmidt, esiste una base ortonormale di S. Sia tale base { ,..., }

1

Essendo una base di un sottospazio, posso completarla in una base di V. Sia questa

. Dato ora questo può essere scritto come combinazione lineare di

{ ,..., , ,..., } ∈ ,

1 +1

elementi di questa base, tramite scalari reali:

= α +... + α +... + α

1 1

Considero adesso un vettore , che posso scrivere per costruzione come:

∈

= α +... + α

1 1

I restanti n-k vettori : ⊥ ⊥ formano un vettore del complemento ortogonale per

α +... + α = ∈

+1 +1 ⊥

definizione di base ortogonale. Ovvero, essendo questo vettore ortogonale a tutti i vettori

della base di S, significa che è un vettore del complemento ortogonale.

⊥ ⊥

Si è quindi dimostrato che , che è uguale allo spazio di partenza V per

= + ∈ +

l’arbitrarietà di v. ⊥

Si ha inoltre che ( ) = () − () = −

Teorema: Data . Allora valgono le seguenti

β: → , () = , ⊆ , () =

proprietà: ⊥

1. ( ) ≥ − ⊥

2. Se è non degenere,

β ( ) = − ⊥

3. Se è non degenere, allora

β = ⊕

|

Dimostrazione: Fissata una base di U, segue che il suo ortogonale sarà:

= { ,..., }

1

⊥

= { ∈ | β(, ) = 0 ∀ ∈ {1,..., }}

1 . Considero un’applicazione lineare definita come:

ϕ: →

( )

β(, )

1

ϕ() = β(, )

⊥

In maniera tale che il suo nucleo sia . La dimensione di questo sottospazio

= (ϕ)

ortogonale sarà quindi:

⊥ Dove la dimensione di V è n, e la dimensione

( ) = () − (ϕ).

dell’immagine di è sicuramente , poiché il suo codominio è

ϕ ≤ .

⊥

Si ha quindi che .

( ) ≥ −

2. Se non è degenere, significa che il suo radicale è banale, Ovvero

β () = ()

3. Se è non degenere, significa che non esiste un vettore di U ortogonale a tutti gli altri

β

|

vettori di U rispetto a . Ovvero che non esistono vettori di U che stanno nel suo ortogonale:

β

⊥ . In questo caso non importa se la forma è degenere, basta che la restrizione lo

∩ = 0

sia.

Matrici Ortogonali −1

Una matrice si dice ortogonale se .

∈ () =

Ne segue che:

= =

● Il determinante di una matrice ortogonale può solo essere per il teorema di Binet.

± 1

● Gli autovalori di una matrice ortogonale sono sempre ± 1

Def. Una matrice si dice Ortogonalmente Diagonalizzabile, se è simile ad una

∈ ()

matrice diagonale attraverso una matrice diagonalizzante ortogonale:

−1 −1

∃, = | =

Le righe di H, quindi le colonne di costituiscono una base Ortonormale di rispetto al

,

prodotto scalare standard . Contemporaneamente, le colonne di H costituiscono una

<, >

base di autovettori di A, ovvero di vettori ortonormali rispetto alla forma associata alla

β

matrice.

Segue che una matrice è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se esiste una base di

costituita da suoi autovettori.

1. Proposizione 1

Sia A ortogonalmente diagonalizzabile =

−1 −1 −1 −1

Quindi, se moltiplico ad entrambi i membri: ( ) ( ) = ( )

=

= = =

A è simmetrica.

2. Proposizione 2

Sia , allora gli autospazi di A, relativi ad autovalori diversi, sono tra loro

∈ () | =

ortogonali rispetto al prodotto scalare standard.

Dimostrazione:

Per definizione di prodotto scalare standard, , =

< , > , ∈

() = () = = < , >

Se aggiungiamo il fatto che , dati due autovalori di A distinti, , :

= λ σ ∈ , ∈

λ σ

< , > = < , >

λ < , > = σ < , >

Ne segue che: E poiché per ipotesi, si ha che il prodotto scalare standard di v

(λ − σ) < , >= 0 λ ≠ 0

e w è 0. ∀,

3. Proposizione 3

Sia allora A ha n autovalori reali contati con la loro molteplicità.

∈ (), =

● Si vede dal delta dell’equazione del polinomio caratteristico. Se è maggiore di 0 avrà

soluzioni reali, e invece può essere 0 solo se la matrice è già diagonale.

Dimostrazione:

Sia un autovalore di A,

λ , ∈ : = λ λ‾

Supponiamo esista un autovalore complesso :

λ‾ .

< , > = < λ, > = < , > = < , > = < , λ > = λ < , >

λ‾ λ‾

E .

< , > = λ < , > ↔ = λ

4. Proposizione 4

Sia e sia l’endomorfismo associato ad A rispetto alla base

∈ (), = : →

canonica. Sia U un sottospazio invariante rispetto a ( , allora anche il

() ⊆ )

⊥ ⊥

sottospazio ortogonale di U è invariante. .

( ) ⊆

⊥

Dimostrazione: Sia , quindi Voglio dimostrare che anche le

∈ < , >= 0 ∀ ∈ .

⊥

immagini di sono ortogonali ai vettori di :

∈ < (), > 0 ∀ ∈ .

() = .

< (), > = < , > = < , > = < , > = < , () >

⊥

per ipotesi, poiché U è invariante e se allora

< (), > = 0, ∈ ⊥ ().

⊥ ⊥

Quindi .

∀ ∈ , () ∈

Teorema Spettrale

Sia A è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica.

∈ (),

Una forma bilineare, allo stesso modo, è quindi ortogonalmente diagonalizzabile se e solo

se la matrice ad essa associata è simmetrica.

Dimostrazione: La dimostrazione è per semplice definizione ed è già stata coperta sopra.

⇒

Data una matrice , sappiamo che questa ha n autovalori reali contati con la loro

⇐ =

molteplicità (proof sopra), e che gli autospazi relativi a valori diversi sono tra loro ortogonali

rispetto al prodotto standard (proof sopra).

Dimostro per induzione sulla dimensione di A :

∈

● n=1; nulla da dimostrare, quindi assumo vero il risultato per matrici simmetriche di

ordine k<n, e prendo ∈ ()

⊥

● Sia un autovalore di A reale, e il relativo autospazio, allora:

λ = ⊕

λ λ λ

So che poiché , e quindi per proposizione 4, anche il

( ) ⊆ , () = λ ∀ ∈ λ

λ λ

complemento ortogonale dell’autospazio sarà invariante.

⊥

Fisso una base B di , data dall’unione di una base di e una base di .

λ λ

( ) =

λ

= { ,..., , ,..., }

1 +1

La matrice associata a rispetto a tale base, sarà a blocchi diagonale:

= ( )

Metti immagine.

Il primo blocco sarà lambda volte l’identità, mentre l’ultimo sarà un’altra matrice quadrata di

dimensione n-r. ⊥

Voglio che C sia simmetrica, quindi non prendo basi qualsiasi di , ma le prendo

λ λ

ortonormali. E so che esistono per il teorema di sylvester.

In tal caso, A ed F sono ortogonalmente simili, perché la matrice H che le rende simili avrà

sulle colonne i vettori di B, che è una base ortonormale di .

Quindi:

= ⇒ = = =

B è simmetrica

Per induttività, C è simmetrica, poiché di ordine . E quindi posso dire che è

− <

ortogonalmente diagonalizzabile. ⊥

Ma C è la matrice di rispetto alla base quindi si spezza nella somma

{ ,..., }

⊥ +1 λ

|

λ ⊥

diretta di autospazi di , ortogonali tra loro.

= ⊕... ⊕

λ σ σ

1

⊥

= ⊕ = ⊕ ⊕... ⊕

λ λ λ σ1 σ

Conseguenze

Data una matrice simmetrica . Se la leggiamo come la matrice di un

∈ (), =

endomorfismo di :

Poiché A è simmetrica, è ortogonalmente diagonalizzabile, e sulla diagonale della matrice D

a cui è simile ci sono gli autovalori di A. Sulle colonne della matrice del cambiamento di base

H, c’è una base ortogonale di autovettori rispetto a .

<, >

Possiamo anche leggere A come la matrice associata ad una forma bilineare:

. .

β : → &beta