Algebra lineare

SEMPIO

3.1.2 C ’ ..........................................................................................................16

ONSIDERAZIONI SUL RANGO A PARTIRE DALL ESEMPIO

3.1.3 C ...........................................................................................................................................................16

ASI PARTICOLARI

3.2 S .............................................................................................................................................16

ISTEMI OMOGENEI

3.2.1 O ......................................................................................................................17

RTOGONALIZZAZIONE DI SISTEMI OMOGENEI

3.2.2 N .........................................................................................................................18

UCLEO DI UNA TRASFORMAZIONE LINEARE

3.2.3 S .........................................................................................................18

OLUZIONE GENERALE DI UN SISTEMA NON OMOGENEO

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1 Vettori

1.1 Spazio vettoriale

è uno spazio vettoriale di dimensione m con vettori a n componenti, ovvero un insieme di vettori ad n

componenti chiuso rispetto alle operazioni di moltiplicazione per uno scalare e addizione (

in pratica operando su

uno o più vettori dell’insieme le operazioni di addizione/sottrazione il vettore risultante deve rimanere nello stesso insieme degli altri

).

due

1.1.1 Dimensione dello spazio vettoriale

La dimensione di uno spazio vettoriale è definita come:

• tutti quelli dello spazio

Il numero minimo di vettori necessari a generare

• Il numero massimo di vettori indipendenti nello spazio vettoriale

1.1.1.1 Base vettoriale

Una base vettoriale è costituita da un

insieme di m vettori linearmente indipendenti nello spazio vettoriale

• La dimensione dello spazio vettoriale coincide con il numero di vettori necessari a costituire una base

m.

Quando m = n abbiamo uno spazio vettoriale completo di dimensione

Con la base si può generare qualsiasi vettore dello spazio operando una combinazione lineare dei

vettori che la compongono:

con quali vettori della base e X quale vettore qualsiasi dello spazio

Abbiamo diversi tipi di basi:

Base canonica

• espresso in base canonica il vettore generico

Base ortogonale

• È formata da m vettori ortogonali (quindi perpendicolari) e quindi indipendenti tra loro

Base ortonormata

• È formata da n vettori ortogonali (quindi perpendicolari) e quindi indipendenti tra loro di lunghezza 1

Base qualsiasi

• È formata da n vettori indipendenti qualsiasi nello spazio

1.2 Dipendenza e indipendenza lineari

m vettori sono linearmente dipendenti se:

con quali costanti una delle quali almeno diverse da zero si può riuscire a portarli tutti sullo stesso

Geometricamente questo si verifica quando, tramite operazione di somma fra i vettori

segmento (si dice che sono dipendenti perché a partire da un vettore su di un segmento, moltiplicandolo per uno scalare, possono

ottenerne un altro qualsiasi)

Se m vettori sono linearmente dipendenti uno qualsiasi di essi può essere espresso come una combinazione

(vedi immagine sopra)

lineare degli altri

Valgono le seguenti proprietà:

1. m vettori a n componenti sono linearmente dipendenti se sono proporzionali

2. m vettori a n componenti sono linearmente dipendenti se m > n (vedi grafico)

3. m vettori non nulli sono linearmente dipendenti se sono mutualmente ortogonali

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1.3 Addizione/sottrazione Proprietà

Y+X=X+Y

(X+Y)+Z=X+(Y+Z)

1.4 Moltiplicazione per uno scalare Proprietà

1.5 Prodotto interno o scalare di due vettori Proprietà

Può anche essere calcolato moltiplicando la Si vede benissimo che quando i due

lunghezza della proiezione di a su b per la i vettori sono ortogonali e anche

vettori sono ortogonali

lunghezza di b (se le frecce puntano in direzioni (perpendicolari) e quindi linearmente indipendenti

opposte il risultato sarà negativo) anche il prodotto scalare fra i due

vettori è nullo!

Lunghezza di un vettore X 1.7 Ortogonalità

1.6 Due vettori sono ortogonali quando sono

La lunghezza di un vettore è calcolata In questo caso

geometricamente con il teorema di pitagora e perpendicolari uno all’altro.

algebricamente questo si riassume nella valgono le seguenti condizioni:

formula seguente: Nel caso di ortogonalità vale perché il prodotto scalare di

due vettori perpendicolari tra loro da 0 (vedi pagina precedente)

Due o più vettori ortogonali fra loro sono pure linearmente

indipendenti

1.8 Ineguaglianza di Schwarz 1.9 Ineguaglianza Triangolare

Siccome è il prodotto scalare, si vede In altre parole la somma della lunghezza dei cateti sarà sempre superiore o

benissimo che al minimo uguale all’ipotenusa

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1.10 Trasformazioni o applicazioni lineari

Ci troviamo confrontati con Per esempio consideriamo l’applicazione seguente e verifichiamo se si tratta di

un’applicazione lineare:

applicazioni/trasformazioni lineari se valgono

le seguenti condizioni: Per verificarlo prendiamo 2 vettori qualsiasi di e verifichiamo che valgano le due

1. condizioni:

2.

1.10.1 Matrice dell’applicazione lineare

Per costruire la matrice dell’applicazione 1.

lineare (ad esempio quella dell’esempio),

applicare la trasformazione ai primi n vettori

della base canonica nello spazio di partenza: 1.

Le due condizioni sono soddisfatte quindi si tratta di un’applicazione lineare.

La matrice può essere intuita immediatamente guardando i coefficienti dell’applicazione lineare che, nel

nostro caso, erano: , per cui la matrice dell’applicazione lineare risulta essere

Tramite la matrice dell’applicazione lineare possiamo costruire qualsiasi immagine di un vettore X:

1.10.2 Applicazioni lineari composte

Un’applicazione lineare composta è rappresentata nello schema seguente (C):

Per trovare C prendiamo un vettore generico X e applichiamo la trasformazione in Y

e poi in Z con le due matrici disponibili:

che l’applicazione C composta è definita dalla matrice

Si trova quindi

1.10.3 Tipi di applicazione lineare

Iniettiva: quando le immagini di due vettori differenti sono anch’esse differenti

indipendenti e se m ≥ n

Si verifica se le m colonne della matrice dell’applicazione lineare sono

Suriettiva: quando ogni vettore Y è immagine di un certo X

Si verifica se le m colonne della matrice dell’applicazione lineare sono indipendenti e se m ≤ n

Biettiva: quando è sia iniettiva sia suriettiva. L’applicazione biettiva può sempre essere invertita e si dice

quindi anche che è non-singolare o regolare.

Si verifica se m=n e le colonne della matrice dell’applicazione lineare sono indipendenti

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1.10.4 Il nucleo di un’applicazione lineare

Il nucleo dell’applicazione lineare A da è l’insieme dei vettori X Є che se “trasformati” danno

origine al vettore nullo in .

Se per una componente del vettore X, ad esempio otteniamo che Y = 0 allora X appartiene al nucleo (le componenti A si riferiscono

alle colonne della matrice dell’applicazione lineare)

Proprietà del nucleo:

1. Il nucleo forma uno spazio vettoriale di dimensione 1 ( )

c’è un solo vettore indipendente al suo interno

2. Il vettore nullo appartiene sempre al nucleo

contiene dei vettori diversi da quello nullo solo se (ovvero le colonne della

3. Il nucleo

matrice dell’applicazione lineare) sono dipendenti (se sono indipendenti l’unica combinazione lineare

che dà 0 è quella che si riferisce al vettore nullo)

4. Tutti i vettori del nucleo sono dipendenti (sono quindi proporzionali e non ortogonali fra loro)

2 Matrici

2.1 Definizione , dove è l’ordine

Una matrice A è un’applicazione lineare che da conduce verso e si scrive

della matrice m-righe n-colonne

indice i indice j

è una matrice con m righe e n colonne. Quando m=n si dice matrice quadrata

2.2 Somma di matrici

2.3 Moltiplicazione per uno scalare Proprietà: ; ;

2.4 Prodotto fra matrici

Il prodotto è possibile solo se le colonne di una matrice sono uguali alle righe dell’altra: =

Proprietà: matrice unitaria I

L’elemento neutro per la moltiplicazione è la

AB≠BA n

A(BC)=(AB)C

A(B+C)=AB+AC , zero ovunque tranne che sulla diagonale (piena di 1)

(B+C)D = BD + CD

Il prodotto di due matrici diagonali è una matrice i cui elementi sulla diagonale principale sono il

prodotto degli elementi corrispondenti.

Se A è una matrice qualsiasi d’ordine mxn e D è una matrice diagonale, allora AD è la matrice la cui j-esima colonna è uguale alla j-

esima colonna di A moltiplicata per di.

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2.5 La trasposta di una matrice qualsiasi Nota: la trasposta di una matrice

quadrata si ottiene facendo girare la

matrice sulla propria diagonale.

2.6 Traccia di una matrice quadrata

somma degli elementi sulla diagonale e si può fare solo per matrici quadrate. Valgono le

La traccia è la

seguenti proprietà:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

tr( A)= tr(A)

’

tr(A ) = tr(A)

tr (AB) = tr (BA)

2.7 Determinante di una matrice quadrata

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2.7.1 Sviluppo del determinante per i cofattori

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2.7.2 Proprietà dei determinanti

’

1. det(A) = det(A )

2. Se si scambiano due righe o due colonne il determinante cambia segno

3. Se la matrice ha 2 righe o colonne identiche il suo determinante è 0

4. Se la matrice ha una riga o una colonna di 0 il determinante è 0

5. Se la matrice è antisimmetrica d’ordine dispari il suo determinante è 0

6. Se si aggiungono agli elementi di una riga un multiplo degli elementi corrispondenti di un’altra riga,

il determinante non cambia

7. Se tutti gli elementi di una riga sono moltiplicati per un numero il determinante è moltiplicato per lo

stesso numero

8. Il determinante di una matrice triangolare o diagonale è uguale al prodotto degli elementi della

diagonale principale (il determinante della matrice unitaria è uguale a 1)

9. Per A e B quadrate dello stesso ordine det(AB) = det (BA) = det(A)det(B)

10. Se le n colonne (righe) di una matrice quadrata di ordine n sono linearmente dipendenti il

determinante della matrice è 0 (se invece sono indipendenti il determinante è diverso da 0)

2.7.3 Esempio del calcolo di un determinante

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2.8 L’inversa (una matrice non singolare è una matrice invertibile)

2.8.1 Proprietà dell’inversa -1 -1 -1