Algebra lineare

∅ ∀ A

∅ A,a {a,b,c},PCa {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

m A n PCa 2^m m A

• A ∩ B {a | a A a B}
• A ∪ B {a | a A a B}
• A \ B {a | a A a B}

A × B {(a,b) | a A, b B} {(a,b)(b,a) A×B B×A}

A×B x A×B A,B

1. A×B {a ,a },{a a ,e,f}
2. {a,b},{a,c},{b,a}

A , A A n i a 1,a 2 e A ,...,a A

A B

a t

A B a B

g d e

y

Esempio:

• A' = \{ a, b, c \} B = \{ b, f^{-1} (a) \}
• Esempio: a\xrightarrow f^{-1}(a)\xrightarrow b \rightarrow \odot

\text{ \{b\} }\xrightarrow{\text{Se a qualunque n, non viene corrisposto un elemento n+1>}B}

\text{Sostituendo N con Z \quad fs\div\text{diventa una funzione}} f_2(a) y = xyzx^x\!2z_n n xyxyx\\math-math -3_zb a(c)d

Cancer (a⟼A\\right\xb \text{funzione identità!important})\\textsf{\forall x} x!= x!

Rimuovendo il contorno di a, \(\left(\,\iota_\mathit{\mathbb D }\!\right\!\left(x,x\right| \in[a\]}, \widehat{\in} xa \in n!{b}_A \quad \text\{Sottoinsieme AxA\}} f: \mathbb{D}\to \mathbb S\}

Sia f: A \rightarrow B \quad f(x)= y

1. B\in \text{Im}(f) \text{ Indica Im}{A_\text{Cop}B}\\\ell x y^{\widehat{a}} \rightarrow\text{e:FG→BG}^{xy x^x \in}\mathbb[]{\text{verde}}}

• Sia \( \bar{A}=A^{\vec{\langle \widetilde{A }^\ast \cup \overline{\underline{N}x}\rangle x\leq0 X}\to(\mathbf iAh \cap e^{n_\textsf{natural}} )}, \mathbb{V}^{bx^{(\gamma)} }\right)\] \\ \text{ Ad ogni elemento nel dominio} (A) {lo}\mathbb{raggiunto} A legato => Un vettore di A fà C. l. dei rimanenti.

  T₃: è legato, ...,senza perdere di generalità supposiamo ci, k_i ≠ o.

  (def)

  Moltiplio (a)

  per

  => k₁ k₁ k₃ s₂,...+ k_m l(3k_m)

  => Y₁ x dᵢ, c_yi...

  yⁱe y_{dkm 0.} a^f fff

  2) => Ip: un vettore di A è c. l. dei rimanenti. T₃: è legato => senza perdere di generalità supponiamo r_t,.., d_mx, d_{mf x = y4i= kk9 'yi^u o}

  = 0 solo scegliere

  => A é legato

  OSS:

  (a) 1 y₁ = 0

  => A é legato solo se y₁ = 0

  2) A (u, ?, t) => (2, 1, 3) e j

  y₃ 1.Nu.

  (c) y¹² = e. é legato s.se i due vettori sono proporzionali tra loro

  - Proposizione: Sia A un insieme di vettori di uno S.V. V(Kⁿ) e :

  1. Se A à é libero, ogni sottoinsieme di A é libero.
  2. Se A é legato, ogni insieme che contiene A é legato.

  - Proposizione: Sia A = y₁, y₂, ..., y_m un insieme libero di V(Kⁿ) e scriviamoci che A y_u^e (a,^>) é la combinazione lineare dei vettori di A.

  Dimostrazione:

  a U {e

  a} _ai é legato => 3, d, d_j, k, p non tutti nulli t.c. d₃ +...+ d_{m+km 0. /}}

  {è possibile che o no?} No!

  {i kt ogni caso, alla mai

  Ragioniamo come da precedentre} d,y₁+... =0 (a è libero => o è a)

  Intersezione e Somma di Sottospazi

  Teorema: L'intersezione di due sottospazi vettoriali è sempre un sottospazio vettoriale.

  Dimostrazione

  • U, W ⊆ V(k); l'intersezione U ∩ W è ≠ ∅? U ∩ W = ∅? o ∈ U ∩ W = ∅ (o ∈ U ∩ W = ∅)
  • ∀u, w ∈ U, W ∀k₁, k₂ ∈ k
  • k₁u + k₂w ∈ U? U ∩ W, k₁, k₂ ∈ U, W
  • sappiamo che: U, W sono sottospazi; k₁u₁ + k₂w₂ ∈ U, W
  • k₁u₁ + k₂w₂ ∈ W ⇒ U ∩ W è un sottospazio vettoriale

  Oss:

  • In generale U ∪ W non è un sottospazio.
  • Si potrebbe dimostrare che U ∪ W è sottospazio ⇔ U ⊆ W o W ⊆ U

  Siano U, W ⊆ V(k); si chiama somma di U e W il sottoinsieme: U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}

  Oss:

  • u₁, u₂ ∈ U, w₁, w₂ ∈ W ⇒ u₁ + w₁ ∈ U + W ⇒ U ⊆ U + W
  • U ∪ W ⊆ U + W
  • v₁, v₂ ∈ U, W ⇒ u₁ + w₁ ∈ U + W ⇒ W ⊆ U + W

  Teorema: dati U, W ⊆ V(k), allora la loro somma U + W è un sottospazio vettoriale.

  Dimostrazione

  • o ∈ U, o ∈ W ⇒ o + o = o ∈ U + W ≠ ∅
  • applichiamo il criterio di riconoscimento:
  • ∀v, v'₁, v'₂ ∈ U + W, ∀k₁, k₂ ∈ k: k₁v₁ + k₂v₂ ∈ U + W?
  • ∀u₁, u₂, w₁, w₂ ∈ U, W: u₁+w₁, u₂+w₂ ⇒ u₁, u₂ ∈ U, w₁, w₂ ∈ W ⇒ (k₁u₁ + k₂u₂) + (k₁w₁ + k₂w₂) = k₁(u₁ + w₁) + k₂(u₂ + w₂)
  • (k₁u₁ + k₂u₂) ∈ U, (k₁w₁ + k₂w₂) ∈ W
  • ⇒ U + W è un sottospazio vettoriale

  Oss:

  • O ∈ U ∩ W; ∀u, w ∈ U, W si potrebbe dimostrare che o∉U ∩̸(U, W), ovvero U + W è il più piccolo sottosp. che contiene U ∪ W.
  • C(A ∩ B) = C(A) ∩ C(B); A, B sottoinsiemi, N non vuoti

  Dati U, V ⊆ V(k), la loro somma S = U + W si dice diretta (e si scrive U ° W) se ogni vettore di S si scrive come somma di un vettore di U e di un vettore di W in modo unico.

  Proposizione [Caratterizzazione delle somme dirette]: U ° W ⇔ U ∩ W = {o}

  Dimostrazione

  • σ: Ip: U°W; x o∈ U°W; x = u | v, con o = (u₁ + w₁) = (u₂ + w₂) ∈ U ° W?
  • Per Ip: ∀ x ∈ U+W: y = σ ∈ g W; ω io pr Ë x
  • x = (z + ω(ω(p̸(s)
  • u₁ + w₁ = u₂ + w₂ | u₂ = w₂ - w₁ = 0 ⇒ w₁
  • w∈W, k ∈ (u₁ - u₂) ⇒ u₁, u∈U ⇒ U ∩ W = {o} ⇒ U ° W

  1^scrittura

  • U + W ≠ k₁y = k₂+
  • Per Ip: ∀v deve avere una scrittura unica: x = u + u; ∈ W∈U

  2^scrittura

  • ω
  • | ⇔ se Ip x(u₂ - u_v) l⊆⇔ W - W = 0 h∈

  ⇒ U ° W è diretta