Algebra I, Appunti

ALGEGRA 1

RELAZIONI

Sia A un insieme non vuoto, una relazione P è un sottinsieme P⊆AxA

Ossia (a,b)∊P si scrive aP₂b

Una relazione su A può essere:

• riflessiva se aPa ∀a
• simmetrica se aPb ⇒ bPa ∀a,b
• transitiva se aPb e bPc ⇒ aPc ∀a,b,c
• antisimmetrica se aPb e bPa ⇒ a=b

Una RELZIONE DI EQUIVALENZA è riflessiva, simmetrica e transitiva

Una CLASSE DI EQUIVALENZA è [a] = {x∊A t.c. aPx}

La famiglia U = {[a], ∀a∊A} è un ricoprimento di A ma le classi d’equivalenza sono a due a due disgiunte quindi U è una partizione

Ogni relazione d’equivalenza forma una partizione e viceversa

L’INSIEME QUOZIENTE di A modulo P è l’insieme A∕_P = {[a], ∀a∊A}

L’applicazione π: A→A_∕P tale che π(a)= [a] è detta proiezione canonica ed è suriettiva

Ad ogni applicazione F: A→B si associa canonicamente la relazione d’equivalenza P_F tale che aP_F⇔F(a)= F(b)

Detiene [a]=[F(a)] allora A∕_PF = {F^-1(b) ∀b∊ImF}

Inoltre è ben definita l’applicazione F̅:A∕_PF →B tale che F̅([a])= F(a) ed è iniettiva

F è l’unica applicazione tale che Ḟ∘π=F e Ḟ∘π = Ḟ cioè tale che il diagramma a lato è commutativo

infatti si Ḟ:A∕_PF →B tale che Ḟ∘π=F∘π

allora Ḟ([a]) = (Ḟ∘π)(a) = (F∘π)(a)= F([a]) quindi Ḟ=F.

Inoltre Ḟ è suriettiva ⇔ F è suriettiva

Ḟ è suriettiva ⇔ ∀b∊B ∃[a]∊A∕_P t.c. F([a])=b ⇔ ∀b∊B ∃a∊A t.c. (Ḟ∘π)(a)=b ⇔ suriett.

TEOREMA (di decomposizione delle applicazioni)

Sic: ƒ: A→B, ∃!φ: A∕_PF →B Imf tale che f = i∘φ∘π

cioè ogni applicazione si decompone in maniera standard nel prodotto di tre applicazioni, una iniettiva, una biettiva e una suriettiva.

dim. abbiamo visto che è ben definita ed iniettiva F: A∕_PF →B e che Imf = Imf

quindi: φ:A∕_PF →Imf è biettiva

inoltre (i∘φ∘π)(a) = (i∘φ)([a]) = ([(F([a]))]) = (i∘(f(a) = (f(a)

TEOREMA (fondamentale delle applicazioni)

Sic: f:A→B e ρ un’arbitraria relazione d’equivalenza

∃F che rende commutativo il diagramma ⇔ P⊆_F

inoltre se F esiste è unico e

F iniettiva ⇔ P = _F F suriettiva ⇔ f suriettiva

dim. F è ben posto ⇔ [a]=[b] ⇒ ƒ([a])=ƒ([b]) ⇔ ƒ([a])=ƒ([b]) ⇔ ƒ([a])=ƒ([b])

⇔ [a]=[b] ⇒ ƒ([a])=ƒ([b])

F è iniettiva ⇔ F([a])= F([b]) = F([b]) ⇒ [a]=[b] ⇒ ∼ₚ

⇔ ƒ([a])= ƒ([b]) ⇒ ƒ([a])= ƒ([b]) ⇒ ∼ₚ⇔ P_F ≤ P

ma ∼ₚ⊆_F quindi P≤_F

ALGBERA 1

Relazioni

Sia A un insieme non vuoto, una relazione ρ è un sottinsieme ρ ⊆ A×A

Se (a, b) ∈ ρ si scrive a ρ b

Una relazione su A può essere:

• Riflessiva se a ρ a ∀a
• Simmetrica se a ρ b ⇒ b ρ a ∀a, b
• Transitiva se a ρ b e b ρ c ⇒ a ρ c ∀a, b, c
• Antisimmetrica se a ρ b e b ρ a ⇒ a = b

Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva

Una classe di equivalenza è [a] = {x ∈ A t.c. a ρ x}

La famiglia U = {[a]_a∈A} è un ricoprimento di A ma le classi d'equivalenza sonoa due a due disgiunte quindi U è una p