Algebra I, Appunti

Algebra 1 relazioni

Sia A un insieme non vuoto, una relazione P è un sottinsieme P ⊆ A×A.

Ossia (a,b) ∈ P si scrive aP₂b.

Una relazione su A può essere:

• Riflessiva se aPa ∀a.
• Simmetrica se aPb ⇒ bPa ∀a,b.
• Transitiva se aPb e bPc ⇒ aPc ∀a,b,c.
• Antisimmetrica se aPb e bPa ⇒ a=b.

Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Una classe di equivalenza è [a] = {x∈A t.c. aPx}.

La famiglia U = {[a], ∀a∈A} è un ricoprimento di A ma le classi d’equivalenza sono a due a due disgiunte quindi U è una partizione.

Ogni relazione d’equivalenza forma una partizione e viceversa.

L’insieme quoziente di A modulo P è l’insieme A⁄_P = {[a], ∀a∈A}.

L’applicazione π: A→A_⁄P tale che π(a)= [a] è detta proiezione canonica ed è suriettiva.

Ad ogni applicazione F: A→B si associa canonicamente la relazione d’equivalenza P_F tale che aP_F⇔F(a)= F(b).

Detiene [a]=[F(a)] allora A⁄_PF = {F^-1(b) ∀b∈ImF}.

Inoltre è ben definita l’applicazione F̄:A⁄_PF →B tale che F̄([a])= F(a) ed è iniettiva.

F è l’unica applicazione tale che ḟ∘π=F e ḟ∘π = ḟ cioè tale che il diagramma a lato è commutativo.

Infatti si ḟ:A⁄_PF →B tale che ḟ∘π=F∘π allora ḟ([a]) = (ḟ∘π)(a) = (F∘π)(a)= F([a]) quindi ḟ=F.

Inoltre ḟ è suriettiva ⇔ F è suriettiva.

ḟ è suriettiva ⇔ ∀b∈B ∃[a]∈A⁄_P t.c. F([a])=b ⇔ ∀b∈B ∃a∈A t.c. (ḟ∘π)(a)=b ⇔ suriett.

Teorema (di decomposizione delle applicazioni)

Sic: ƒ: A→B, ∃!φ: A⁄_PF →B Imf tale che f = i∘φ∘π.

Cioè ogni applicazione si decompone in maniera standard nel prodotto di tre applicazioni, una iniettiva, una biettiva e una suriettiva.

Dim. abbiamo visto che è ben definita ed iniettiva F: A⁄_PF →B e che Imf = Imf.

Quindi: φ:A⁄_PF →Imf è biettiva.

Inoltre (i∘φ∘π)(a) = (i∘φ)([a]) = ([(F([a]))]) = (i∘(f(a) = (f(a).

Teorema (fondamentale delle applicazioni)

Sic: f:A→B e ρ un’arbitraria relazione d’equivalenza.

∃F che rende commutativo il diagramma ⇔ P⊆_F.

Inoltre se F esiste è unico e F iniettiva ⇔ P = _F F suriettiva ⇔ f suriettiva.

Dim. F è ben posto ⇔ [a]=[b] ⇒ ƒ([a])=ƒ([b]) ⇔ ƒ([a])=ƒ([b]) ⇔ ƒ([a])=ƒ([b])⇔ [a]=[b] ⇒ ƒ([a])=ƒ([b]).

F è iniettiva ⇔ F([a])= F([b]) = F([b]) ⇒ [a]=[b] ⇒ ∼₆⇔ ƒ([a])= ƒ([b]) ⇔ ƒ([a])= ƒ([b]) ⇔ ∼₆⇔ P_F ≤ P ma ∼₆⊆_F quindi P≤_F.

Algebra 1 relazioni

Sia A un insieme non vuoto, una relazione ρ è un sottinsieme ρ ⊆ A×A.

Se (a, b) ∈ ρ si scrive a ρ b.

Una relazione su A può essere:

• Riflessiva se a ρ a ∀a.
• Simmetrica se a ρ b ⇒ b ρ a ∀a, b.
• Transitiva se a ρ b e b ρ c ⇒ a ρ c ∀a, b, c.
• Antisimmetrica se a ρ b e b ρ a ⇒ a = b.

Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Una classe di equivalenza è [a] = {x ∈ A t.c. a ρ x}.

La famiglia U = {[a]_a∈A} è un ricoprimento di A ma le classi d'equivalenza sono a due a due disgiunte quindi U è una p