Algebra I, Appunti

ALGBRA 1

RELAZIONI

Sia A un insieme non vuoto, una relazione ρ è un sottoinsieme ρ⊆A×A se (a, b)∈ρ si scrive aρb. Una relazione su A può essere:

• riflessiva se aρa ∀a
• simmetrica se aρb ⇒ bρa ∀a, b
• transitiva se aρb ⋀ bρc ⇒ aρc ∀a, b, c
• antisimmetrica se aρb ⋀ bρa ⇒ a=b

Una RELAZIONE D’EQUIVALENZA o riflessiva, simmetrica e transitiva Una CLASSE DI EQUIVALENZA di a è [a] = {x ∈ A t.c. aρx}

La famiglia U = { [a], ∀a∈A } e un ricoprimento di A ma le classi d’equivalenza sono a due a due disgiunte quindi U e una partizione Ogni relazione d’equivalenza forma una partizione e viceversa L’INSIEME QUOZIENTE di A modulo ρ e l’insieme A/ρ= { [a], ∀a∈A}.

L’applicazione T : A → A/ρ tale che T(a)= [a] e detta proiezione canonica ed e suriettiva Ad ogni applicazione F : A → B si associa canonicamente la relazione d’equivalenza ρ_F tale che a₁ ρ_F a₂ ⟺ f(a₁) = f(a₂). detto [a] = {F^-1(f(a)) allora A/ρ_F = { F^-1(b) ∀b∈ImF }

Inoltre è ben definita l’applicazione F : A/ρ_F → B tale che F([a])= f(a) ed e iniettiva F è l’unica applicazione tale che F∘T = F∘T = F. cioè tale che il diagramma al lato e commutativo infatti se F : A/ρ_F → B tg. f=F∘π allora F([a])= (F∘π)(a) = f(a)= F([a]) quindi F̃=F Inoltre F è suriettiva ⇿ F̃ e suriettiva. F è suriettiva ⟺ ∀b∈B ∃a∈A/ρ_F t.c. F([a])= b ⇿ ∀b∈B ∃a∈A t.c. (F∘T)(a)= b ⇿ suriettiva

TEOREMA (di decomposizione delle applicazioni)

Sia f : A →B, ∃!.φ: A/ρ_F →B∣ImF tale che f = i∘φ∘π bijettiva. cioè ogni applicazione si scompone in maniera standard nel prodotto di tre applicazioni, una iniettiva, una biettiva e una suriettiva

dim. abbiamo visto che è ben definita ed iniettiva F : A/ρ_F → B e che ImF = ImF. quindi: φ: A/ρ_F → B e biettiva

Inoltre (i∘φ∘π)(a) = (i∘φ)([a]) = l( [F([a])]) = l f(a) = f(a)

TEOREMA (fondamentale delle applicazioni)

Sia F : A → B e ρ un’arbitraria relazione d’equivalenza ∃F che rende commutativo il diagramma ⇿ ρ ⊆ ρ_F. Inoltre se F̃ esiste e unica e

• F iniettiva ⇿ ρ = ρ_F
• F suriettiva ⇿ suriettiva

dim. F̃ e brav posto ρ([a]= [b]) ⇒ F([a])= F([b]) ⇿ ρab ⇒ f(a) =f(b) ⇿

⇒aρb ⇒ bρa ⇒ bρb ⇒ bρb ⇒ P ⊆ P_F

• F è iniettiva ⇿ ∀a∈A F([a]) = F([b] ⇿ [a]= [b] ⇿
• ⇒ (F(b)= F(b)) ⇒ [a]= [b]

⇒ “F(a) = F(b)” ⇿ aρb ⇒ “ aρb ⇒ aρb” ⇒ ρ_F ⊆ ρ ⇒ ⇒ ρ⊆ ρ_F quindi ⇒ ρ = ρ_F

Una relazione p in A è una relazione d'ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Per indicare una relazione d'ordine si usa la notazione ≤.

Se ∀a,b∈A si ha a≤b o b≤a allora la relazione d'ordine è totale.

Un sottoinsieme C⊆A è una catena se è totalmente ordinato.

max{A} e min{A} possono non esistere e se esistono sono unici.

Se S⊆A può esservi un maggiorante di S cioè un elemento b∈A tale che x≤b ∀x∈S.

sup(S) e inf(S) sono il minimo dei maggioranti e il massimo dei minoranti.

Un elemento a è il minimale se ∀x≤a ⇒ x=a.

mentre è il massimale se ∀a≤x ⇒ x=a.

Sia {X_i}

inoltre Sia X = ⋃_i∈IX_i

allora ∃ un'applicazione f:I→X tale che f(i)∈X_i: detta funzione di scelta.

LEMMA DI ZORN

Sia (A,≤) un insieme parzialmente ordinato.

Se ogni catena di A ammette maggioranti allora A ammette elemento massimale.

TEOREMA

Ogni spazio vettoriale V ammette una base.

dim. U = {sottoinsiemi di V costituiti da vettori linearmente indipendenti}

(U,⊆) con l'inclusione insiemistica è un insieme parzialmente ordinato.

Sia C = {C_i}_i∈I una catena in I e considero B_C = ⋃_i∈IC_i

dimostriamo che B_C ⊆ U

siano v₁,...,v_n∈B_C

e supponiamo che ∑_i=1ⁿ α_iv_i = 0

poiché v₁,...,v_n sono un numero finito ∃i∈I tale che v₁,...,v_n∈C_i

ma dato che C_i∈U allora α₁,...,α_m sono nulli e quindi B_C ⊆ U

essendo B_C l'unione di tutti i C_i allora è il maggiorante di C

per il Lemma di Zorn quindi ∃ un elemento massimale β in U

sappiamo che β è costituito da vettori linearmente indipendenti; dobbiamo dimostrare che generano

Sia v∈V, per assurdo v∉{spazio generato dai vettori di β}

quindi β∪{v} è costituito da vettori linearmente indipendenti

ma β∪{v} ⊇ β che era massimale quindi assurdo

Teorema (Cantor)

Sia X un insieme, allora ^{NR |P(X)|} > |X|

dim. Dimostriamo non esiste una suriezione X → P(X) cioè che è impossibile |X| ≥ |P(X)|

Sia f: X → P(X), considero A = {x ∈ X | x ∉ f(X)}

A ⊆ X quindi A ∈ P(X), dimostriamo che A ∉ Imf

per assurdo ∃x₀ ∈ X t.c. f(x₀) = A

se x₀ ∈ A allora si ha che x₀ ∉ f(x₀) assurdo

se invece x₀ ∉ A si ha che x₀ ∈ f(x₀) cioè che x₀ ∉ A ancora assurdo

Teorema

|P(IN)| = |R| = |R^N| con N ≥ 1

dim. |[0,1]| = |[0,1[| infatti prendiamo A = { ₁ |n ∈ IN⁺ } ⊆ (0,1) e A ∪ {0} ⊆ [0,1).

Esiste una biezione φ: A ∪ {0} → A perciò numerabili

quindi: f: [0,1) → (0,1), t.c. f(x) = x se x ∈ [0,1)\(A ∪ {0}) è una biezione

f(x) = φ(x) se x ∈ A ∪ {0}

|(0,1)| = |R| si può vedere facilmente per esempio con f(x) = ¹/₂ + arctgx

|[0,1)| = 2^NA infatti ∀x∈[0,1) si scrive come x = 0. x₁x₂ x₂ ...

dove {a₁, a₂, ...} è una successione di 0 e 1 non definitivamente uguale a 1

indichiamo con 2^NA l'insieme delle successioni di 0 e 1 non definitivamente uguali a 1

dove 2^N = {f: N → {0,1}} quindi |(2^N)^A| = |[0,1)| tramite {f: N → {0,1}}

{0,1,2,...}

considero Y_k = 2^N\(2^N)^K successioni di 0 e 1 che da un certo punto sono uguali a 1

cioè Y = ∪_Vk con V_k = {f: IN → {0,1} | f(n) = 1 ∀n≥k} ∀x

|Yk| < +∞ perché sono i valori dei primi k numeri

Essendo Y unione numerabile di insiemi finiti allora |Y| = |IN|

quindi 2^IN = (2^N)^N ∪ Y = |(2^N)^∗| = |[0,1)|

|2^IN| = |P(IN)| anzi più in generale ∀ insieme X abbiamo |P(X)| = |2^X|

cioè P(X) ⊆ 2^X = {f^X: X → {0,1}} con la funzione X → x_x

dove x_X(x) = {0 se x ∉ X} {1 se x ∈ X}

viceversa se f ∈ 2^X allora f → f⁻¹(1) ∈ P(X)

queste due applicazioni sono una l'inversa dell'altra

∴ Quindi |R| = |(0,1)| = |[0,1)| = |[0,1]| = |2^IN| = |P(IN)|

Per l'ipotesi del continuo non esiste cardinalità intermedia tra |IN| e |R|