Algebra I

Name: Algebra I
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Author: gio99999

Revisionato il 24/06/2026

di gio99999

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Appunti di algebra con spiegazione estesa del corso di algebra 1, con appunti presi a lezione: aritmetica sui numeri interi, strutture algebriche, gruppi, azioni di un gruppo basati su appunti …

Esame Algebra

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università del Salento

A.A. 2020-2021

57 pagine

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Capitolo 1.

Aritmetica sui numeri interi

27/02/2017

ℤ numeri interi ℕ numeri naturali ℕ₀ = ℕ_{∪ {0}}

2. Proprietà degli interi.

Prop. 1.1. (Elenco di alcune proprietà di ℤ)

∀ a, b, c ∈ ℤ (a+b)+c = a+(b+c), proprietà associativa
∀ a ∈ ℤ a+0 = 0+a = a, 0: elemento neutro
∀ a ∈ ℤ ∃ b ∈ ℤ a+b = 0 ↔ b = -a
∀ a, b ∈ ℤ a+b=b+a
∀ a, b, c ∈ ℤ (a·b)·c = a·(b·c)
∀ a ∈ ℤ a·1 = 1·a = a
∀ a, b ∈ ℤ a·b = b·a
∀ a, b, c ∈ ℤ (a+b)·c = a·c+b·c, c(a+b) = ca+cb
∀ a, b ∈ ℤ ab = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0

Prop. 1.2. Valgono le seguenti affermazioni:

∀ a ∈ ℤ ∃! b ∈ ℤ a + b = 0 = b + a (t.c. b si indica con -a e si dice l'opposto di a)
∀ a, b ∈ ℤ (-a) b = a (-b) = - (a b)
a ≤ b ↔ a + c ≤ b + c
a·c = b·c → a = b, quando c ≠ 0 ∀ a, b ∈ ℤ ∀ c ∈ ℤ \ {0}

Dim.

Siano a, b, b₁, b₂ ∈ ℤ →
- a+b₁ = 0 = b₁ + a →-b₁ = b₁ →b₁ + (a+b₂) = (b₁ + a) + b₂ = 0 + b₂ = b₂
Siano a, b, c ∈ ℤ t.c. a + b = a + c
- Allora:-a + (a + b) = (-a) + (a + c) →(-a + a) + b = (-a + a) + c → 0 + b = 0 + c → b = c
Siano a, b, c ∈ ℤ t.c. ac = bc →ac - bc = 0 →(a-b)c = 0 →c ≠0 →a = b

Capitolo 1.

Aritmetica sui numeri interi

27/02/2017

_Z numeri interi

_N numeri naturali ,^No = ^Nu {0}

2. Proprietà degli interi.

Prop. 1.1 (Elenco di alcune proprietà di _Z)

∀ a,b,c ∈ _Z (a + b) + c = a + (b + c), proprietà associativa
∀ a ∈ _Z a + 0 = 0 + a = a, 0 è l'elemento neutro
∀ a ∈ _Z ∃ b ∈ _Z a + b = b + a
∀ a,b ∈ _Z a + b = b + a
∀ a,b,c ∈ _Z (a b)c = a(b c)
∀ a ∈ _Z a 1 = 1 a = a
∀ a,b ∈ _Z a b = b a
∀ a,b,c ∈ _Z (a + b)c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b
∀ a,b ∈ _Z a b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0

Prop. 1.2 Verifichiamo le seguenti affermazioni::

∀ a ∈ _Z ∃ b ∈ _Z a + b = 0 = b + a (t.c. b si indica con -a e si dice l'opposto di a)
∀ a ∈ _Z (a b) = a (-b) = - (a b)
a + b ≥ c ↔ b ≥ c
a c = b c → a = b, quando c ≠ 0 ∀ a,b ∈ _Z ∀ c ∈ _Z \ {0}

Dim.

Siano a,b,b₁,b₂ ∈ _Z →

a + b = 0 = b + a

→ b₁ = b₁ 0 = b₁ + (a + b₂) = (b₁ + a) + b₂ = 0 + b₂ = b₂

Siano a,b,c ∈ _Z t.c. a + b = a + c

Allora

-a + (a + b) = (-a)(a + c)

= (-a + a) + b = (-a + a) + c ↔ 0 + b = 0 + c → b = c

Siano a,b,c ∈ _Z t.c. a c = b c → a c - b c = 0 → (a - b) c = 0 → a = b

Capitolo 1.

Aritmetica sui numeri interi

Z numeri interi, N numeri naturali

1. Proprietà degli interi

Prop 1.1. Teorema di alcune proprietà di Z

1. ∀a,b,c∈Z (a+b)+c = a+(b+c); proprietà associativa

2. ∀a∈Z a+0 = 0+a = a; lo zero è l'elemento neutro

3. ∀a∈Z ∃b∈Z a+b = b+a = 0

4. ∀a,b∈Z a-b = b-a;

5. ∀a,b,c∈Z (ab)c = a(bc);

6. ∀a∈Z a1 = 1a = a;

7. ∀a,b∈Z ab = ba;

8. ∀a,b,c∈Z (a+b)c = ac+bc, c(a+b) = ca+cb

9. ∀a,b∈Z ab = 0 ⟺ a = 0 ∨ b = 0

Prop 1.2. Valgono le seguenti affermazioni:

∀a∈Z ∃!b∈Z a+b = b+a = 0(tale b si indica con -a e si dice l'opposto di a)

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