Algebra I

Capitolo 1. Aritmetica sui numeri interi

_27/02/2017

Z numeri interi, N numeri naturali.

Proprietà degli interi

Prop. I.1 (Elenco di alcune proprietà di Z)

1. ∀a,b,c∈Z (a+b)+c = a+(b+c), proprietà associativa.
2. ∀a∈Z a+0 = a = 0+a; 0 è l'elemento neutro.
3. ∀a∈Z ∃b∈Z a+b = 0 = b+a.
4. ∀a,b∈Z a⋅b = b⋅a.
5. ∀a,b,c∈Z (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c).
6. ∀a∈Z a⋅1 = a = 1⋅a.
7. ∀a∈Z a⋅0 = 0.
8. ∀a,b,c∈Z (a+b)⋅c = ac + bc, c⋅(a+b) = ca + cb.
9. ∀a,b∈Z ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.

Prop. I.2 Vogliono le seguenti affermazioni:

1. ∀a∈Z ∃!b∈Z a+b = 0 = b+a (tale b si indica con -a e si dice l'opposto di a).
2. ∀a∈Z (a⋅b) = a⋅(-b) = - (a⋅b).
3. a+b = c ⇒ b = c-a.
4. a⋅b - c = a⋅b se b = a, quando c ≠ 0 ∀a,b∈Z, ∀c∈Z \ r0s

Dim.

1. Si è no a, b, 1, b₂ ∈ Z ⇒ a+b₁ = b₁ + (a + b₁) - (b₁ + a) + b₂ = 0 + b₂ = b₂
2. Si è no a, b, c ∈ Z t.c. a+b = c + e t.c.
3. Altrá:
• -a + a(b) = (-a) + (a + (c + 3)).
• -(-a + a) + c; a(jtb) = 0 + c ⇒ b = c
• Si è no a, b, c ∈ Z t.c. ac = bc ⇒ ac -bc.

Capitolo 1. 27/01/2017

Aritmetica sui numeri interi

Z numeri interi N numeri naturali 1\N0 = [N0 ∪ {0}]²

2. Proprieta degli interi

Prop. 1.1. (Elenco di alcune proprieta ob. Z)

1. ∀a,b,c ∈ Z (a+b)+c = a+(b+c) proprieta associativa
2. ∀a ∈ Z a+0 = a = 0+a; 0 e l'elemento neutro
3. ∀a ∈ Z 1a = a = a1;
4. ∀a,b ∈ Z a+(-b) = a-b+a;
5. ∀a,b,c ∈ Z (ab)c = a(bc);
6. ∀a ∈ Z a1 = 1a = a;
7. ∀a,b ∈ Z ab = ba;
8. ∀a,b,c ∈ Z (a+b)c = ac+bc, c(a+b) = ca+cb
9. ∀a ∃!b ∈ Z' ab = a⇔ab = 0 ⇔ a=0 ∨ b=0

Prop. 1.2. Valgono le seguenti affermazioni:

1. ∀a,c ∈ Z' ∃!b ∈ Z a+b = b+a (tale b si indica con -a e si chiama l'opposto di a)
2. ∀a ∈ Z (a)b = a(-b) = (-a)b
3. a+b+c = a+b+c
4. a(c+b-c) = a>b, quando a ≠ 0 ∀a,b,c ∈ Z'(b) ∀c ∈ Z \N(so)

Dim.

Siano a,b,1,2, c ∈ Z =>

2. a+b1 = 0+b2+d -0b1>b1+d, b1+0 = (b1+(b2)) - (b1+a)+b2 = 0+b2 = b2
3. a+b+c = a

Altro

-a + (a+b) = (a)(b) + (a+c) =,

(-a +c) +b = (-a-b) + (b-c) + (b)0 = 0+ (c > b = c

4. Siano a,b,c ∈ Z. f.c. ac=bc => ac-bc => (a-b) < c => a > b post c +f. c ≠ 0 .

Ora sia b ≠ 0 oppure b₂ ≠ 0

Proviamo l'esistenza di un elemento a come in (1). Sia M:={[z ∈ ℤ

|y_i ≠ 0 z = b₁x, b₂x]}.

Allora M contiene gli elementi b₁, -b₁, b₂, -b₂ e quindi M ≠ Ø

Prendiamo d = min M E proviamo che d è un divisore comune di b₁ e b₂ ( d|b₁ e d|b₂

Assumiamo per (ipotesi che, senza perdita di generalità

∀n ∈ ℤ e z ⇒ a|b₁ e a|b₂

Sia z ∈ ℤ. Poiché e b = ±d ∃ m∈ ℕ¹, ∉ Ø

z = a + q n

{z = a + r

{ 0 ≤ r e all'interno del valore assoluto pref.-i) a ≥ 0

Inoltre, poiché z ∈ ℤ |y_i ≠ 0 z = x + x ⋀ ∀j c ∈ ℤ.

z = ix + u a⋀ z = b' + b

Allora n: z = q (b₁x + azzc)

(b₁x + b₂^y)_q =

=b₁ (x + c)+b² + (y+c) ⇒z∈ M.

Ma ogni a od a = min M≠ Ø ⋀ se il c e l abbiamo che

n∈ M ⋀|m ⋀ ∉ Ø ⇒d≫. Ordem !

Ora b₁, b₂ ∈ M ∋ ∀(lemma 22

Periodo comune di b₁ e b₂

L'ole (z 2.) Quindi, rimane da provare (1,2).

Se a ∈ ℤ cm divistore comune di b₁ e b₂. Per il Frye z

a | b₁x + b₂x Prefando e a | a

Per l'unicità sia a un divisore comune di b₁ e b₂. c.

valgono l.i.e.p( a | a=b_qf'(a '=q') )

Allora q,e ∈ ℕ°, a d.

=∋ z d ≠^{3 3/>}

=b = e⁹↑ qq⇒ 1 = q'

=> q∈ [z-1]

Prentato a = q.

Coz 36

Siano a, b, m ∈ Z. Se a | m, b | m e mcd(a, b) = 1 => ab | m.

Dim

Poisé a | m, ∃q∈Z t.c. m = aq (per ipotesi, b | m = aq e quindi (per lim 3.5(c)) b | q.Quindi ∃q₁∈Z t.c. q = bq₁.Allora m = abq₁ e pertanto ab | m.

Lim 39 (Lema di Euclide Generalizzato)

Se k ∈ N di ... p ∈ Z t.c.∏_i=1^ka_i,allora esiste j ∈ N t.c. p | a_j

Dim

Parentomo per ogni k ∈ NP(k): ∀ a_{1, ..., ak}∈Z∏_i=1^ka_i => ∃ j ∈ [k] | p | a_j

Dimostriamo che per ogni n ∈ N, l'affermazione P(k) è vera per induzione su k.

I) P(1) è vera infatti p | a₁(ip); e quindi per l'ipsi.II) Sia m ∈ N, ∀ m, t.c. ralge P(m)

Dobbiamo provare che s'elopa P(m+1)Sia p | ... ∧ siamo a₁, ..., a_k ∈ Z t.c. ∏_i=1^m+1a_iM._m=1 a_i a_m+1. Per lem di Euclide

∏_i=1^ma_i v p | a_m+1 per l'ipotesi obl c passo intuitivep | a v ... p | a_m+1Pertanto j∋ → m ∩ l t.c. p | a_j.

Es 4.5: Se m ∈ℕ, se m | n e a₁...a_m, b₁...b_m ∈ℤ t.c.

∑ a_j≡∑ b_j mod_m

allora

∑ a_j≡∑ b_j mod_m ;

∏ a_j≡∏ b_j mod_m .

5. Ulteriori proprietà delle congruenze

lem 5.1 Sia p∈ Per ogni X∈ {p - 1} si ha che

p | |ℐ(X|

Teo 5.2 (Piccolo teorema di Fermat)

Sia p ∈ P , allora per ogni a ∉ℤ_p

a^p≡ a

In particolare se p ∤ a => a^p≡ p ∤ a

Dim

Dimostriamo dapprima che ∀a ∈ℕ₀ a^p≡a per induzione

su a. :

I Se a ≡ 0, poiché 0^p≡0 si ha la tesi.

II Sia a ∈ℕ₀, supponiamo che la tesi sia vera per a

e dimostriamola per a + 1. Allora:

(a + 1)^p = ∑ (p_r) a^r

r = 0 ( k r )

Dal lem precedente e dalla compatibilità

delle congruenze modulo un intero segue che

(a+1)^p ≡p a^p+1

Se esiste un isomorfismo tra due strutture esse si dicono isomorfe

Prop. 2.4

Siano (S, *) e (T, o) strutture algebriche

f: S → T sono equivalenti

1. ∀ x, y, z ∈ S (x * y) * z = x * (y * z)
2. ∀ x, y ∈ S (x * y)ρ = xρ o yρ

Dim. i ⇒ ii

Siano x, y, z ∈ S t.c. x * y = z Allora per ipotesi

zρ = (x * y)ρ =: xρ o yρ

i ⇐ ii

Siano x, y ∈ S Poniamo z:: = x * y Allora per ipotesi

xρ o yρ = zρ = f = (x * y)ρ

Def. 2.5

Siano (S, *) e (T, o) strutture algebriche

Una funzione f: S → T si dice un omomorfismo

se v è i di i di 2a

Si parla di monomorfismo se è iniettiva

Si parla di epimorfismo se è suriettiva

3. Proprieta' elementare

Def. 3.1

Se (S, *) una struttura algebrica

1. * si dice associativa se

• ∀ a, b, c ∈ S (a * b) * c = a * (b * c)

2. Un elemento e ∈ S si dice neutro se

• ∀ a ∈ S a * e = e * a = a

3. * si dice commutativa se

• ∀ a, b ∈ S a * b = b * a