Algebra completo

DETERMINANTE

DETERMINANTE MATRICE QUADRATA

m = m

• m = 1 ➔ L’elemento stesso
• m = 2 ➔ |A| = ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂ ➔ (^a₁₁^a₂₂ - ^a₂₁^a₁₂)
• m = 3 ➔ REGOLA DI SARRUS |A| = ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₁₃ ^a₂₁ ^a₂₂ ^a₂₃ ^a₃₁ ^a₃₂ ^a₃₃

COMPLEMENTO ALGEBRICO

Sia matrice A di ordine m - 1. Si elimina un i-esima riga e la j-esima colonna e si calcola il determinante della matrice rimanente (Il segno dipende da se i+j è pari (+) o dispari (-))

REGOLA DI LAPALCE

Il det. di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici

COMBINAZIONE LINEARE

• 1 2 3 A₁
• 4 5 6 A₂
• 3 4 0 A₃

Il determinante è 0.

MATRICE INVERSA E DETERMINANTE

Matrice con det ≠ 0 ➔ “Non singolare”

TEOREMA

Una matrice A quadrata di ordine m è invertibile ⬌ det A ≠ 0

Dato una matrice quadrata si verifica che det ≠ 0, si costruisce la matrice dei compl. algebrici degli elementi di A e si dividono gli elementi della matrice ottenuta per il det(A). Dell’ultima matrice ottenuta si fa la trasposta. Verifica: A ∙ A^-1 = I ➔ Matrice Unità

Determinante

Determinante matrice quadrata (m = m)

• m = 1 → L'elemento stesso
• m = 2 → |A| = a₁₁ a₂₂ − (a₁₂ a₂₁) = a₁₁ a₂₂ − (a₁₂ a₂₁)
• m = 3 → Regola di Sarrus |A| =
  • (a₁₁ a₂₂ a₃₃) + (a₁₂ a₂₃ a₃₁) + (a₁₃ a₂₁ a₃₂) −
    • (a₁₃ a₂₂ a₃₁) + (a₁₁ a₂₃ a₃₂) + (a₁₂ a₂₁ a₃₃)

Complemento algebrico

Sia matrice A di ordine m - 1. Si elimina un i-esima riga e la j-esima colonna e si calcola il determinante della matrice rimanente (il segno dipende da se i+j è pari (+) o dispari (−))

Regola di Laplace

Il det. di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici

Combinazione lineare

A₃ si può ottenere con A₁ + 2A₂ (secondo i coefficienti 1, 2)

Il determinante è 0.

Matrice inversa e determinante

• Matrice con det ≠ 0 → "Non singolare"

Teorema

Una matrice A quadrata di ordine m è invertibile ↔ det A ≠ 0

Data una matrice quadrata si verifica che det ≠ 0, si costruisce la matrice dei compl. algebrici sogli elementi di A, si dividono gli elementi della matrice ottenuta per il det A, dell'ultima matrice ottenuta si fa la trasposta. Verifica: A^-1 = I → Matrice unità

• Trasposta righe e colonne invertite

det A^-1 = ¹⁄_{det A}, det A^t = det A

MATRICE ORTOGONALE E DETERMINANTE

MATRICE ORTOGONALE SE A^t = A^-1

TEOREMA

SE A È UNA MATRICE ORTOGONALE IL SUO DET. = ± 1

DIM A^-1 = A^t ⇒ det(A^-1) = det(A^t) ⇒ ¹⁄_det(A) = det(A )⇒ ¹⁄_det(A) ⇒ (det(A))² = 1 ⇒ det(A) = ± 1

MATRICE TRIANGOLARE

SE GLI ELEMENTI AL SOTTO O AI DI SOPRA DELLA DIAGONALE PRINC. SONO TUTTI = 0

ES. A₁ = ^{1 -2 3     0 1 3     0 0 2} → MATRICE DIAGONALE SUPERIORE

A₂ = ^{1 0 0     3 1 0     6 1 2} → MATRICE DIAGONALE INFERIORE

A = ^{1 0 0     0 2 0     0 0 3} → MATRICE DIAGONALE ( ELEMENTI ≠ 0 SOLO SULLA DIAGONALE PRIN. )

PROPRIETÀ DEI DETERMINANTI

1. det(A) = det(A^t)
2. SE SI SCAMBIANO 2 RIGHE E 2 COLONNE, IL DET CAMBIA SEGNO.
3. SE UNA RIGA O UNA COLONNA HA TUTTO 0 → det A = 0
4. SE DUE RIGHE O COLONNE SONO PROPORZIONALI det A = 0
5. SE UNA RIGA O COLONNA È COMBINAZIONE LINEARE DELLE ALTRE det A = 0
6. SE A → kA ⇒ det(kA) = k det(A)
7. SE SI MOLTIPLICANO GLI ELEMENTI DI UNA RIGA O UNA COLONNA PER k ⇒ ALLORA det(kA)
8. det DI UNA MATRICE TRIANGOLARE È DATO DAL PRODOTTO DEGLI ELEMENTI DELLA DIAGONALE
9. det (AB) = det (A) det (B) (TEOREMA DI BINET)
10. det (A^-1) = detA

RANGO DI UNA MATRICE

MATRICE ESTRATTA → È UNA SOTTOMATRICE CON ELEMENTI COMUNI ALLA PRINCIPALE.

RANGO → ORDINE DELLA SOTTOMATRICE PIÙ GRANDE CHE SI POSSA ESTRARRE CHE ABBIA det(A) ≠ 0

SE LA MATRICE È NULLA,