Algebra completo

Determinante

Determinante matrice quadrata _{(n = m)}

• m = 1 → L'elemento stesso
• m = 2 → |A| = a₁₁a₂₂ - (a₁₂a₂₁ = a₂₁a₁₂)
• m = 3 → Regola di Sarrus |A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - (a₃₁a₂₂a₁₃) - (a₃₂a₂₃a₁₁) - (a₃₃a₂₁a₁₂)

Complemento algebrico

Sia A matrice _{m = n}. Si elimina una i-esima riga e j-esima colonna e si calcola il determinante della matrice rimanente (il segno dipende da se i + j è pari (+) o dispari (-))

Es. Complemento algebrico di A₃₂

• A = | 3 4 2 a₂₁|
•       | 2 1 | = [3 . 1 - (-5) . 2 . 1 - (-5)] = 5
•       | 3 2 doppia |-1

Regola di Laplace

Il det. di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o colonna per rispettivi complementi algebrici

Es. A = | -2 0 2 3 o

| 4 1 -5  fixiamo la terza riga (contiene pulsieri)

Complemento algebrico di a₁₁, a₂₂,

• |   4 1 -5 5 6 4 4 _{1 col} |-2 . (2 . 1) - 5 . (2 . 1) . 2 . | -2 5 fuma . 4 . 5 su
• |    5 . 2 - 5 + 12 . 5 . 13 + 13

Combinazione Lineare

• 1   2   3 A₁|
• 3 A₂
• A₃ si può ottenere con A₁ + 2A₂ (secondo coefficienti 1, 2) Il determinante è 0

Matrice inversa e Determinante

Matrice con def ≠ 0 “Non singolare”

Teorema

Una matrice A quadrata di ordine m è invertibile ↔ det A ≠ 0.

Data una matrice quadrata si verifica che def ≠ 0, si costruisce la matrice dei compl. algebrici degli elementi diSi dividono gli elementi della matrice ottenuta per il det. dell’ultima matriceOttenuta sia A . A^-1 = I _{matrice unita} trasposta righe e colonne invertite

Es. A^-1 = | 0 (0 -2 . 2) + 2 | -2 + 2 . 0 = 4 | 0 -2Il determinante è 6

A₁₁ = -1 A₁₂0 | -1 A₁₃ = -1 0 A₂₁ = -1&Uubar;0 A₃₂

-2 + 2 -2 - 2 = 2

A₂₃ = 2 | 2 | 2     -2 | -2 | 2     2 | -2 | 2

0 | -2     -1 | 0     2     -A₃₂ = 1 | 1

det(A)         A^-1 = ¹⁄₃ -¹⁄₃ -¹⁄₃ | 0 | 0 | 0 | 0

= | = ¹⁄₃     Verifica A · A^-1 =     A

A = ( ) = prodotto tra matrici si può fare =     ( ) = I

Se le colonne di A sono uguali

det A^-1 = ¹⁄_detA,     det A^t = det A

Matrice ortogonale e determinante

Matrice ortogonale se A^t = A^-1

Teorema: Se A è una matrice ortogonale il suo det. = ±1

Dim: A^t = A^-1 ⇒ det A^t = det(A^-1) ⇒ det(A) = ¹⁄_det(A) ⇒ (det(A))² = 1 ⇒ det(A) = ±1

Matrice triangolare

Se gli elementi al di sotto o al di sopra della diagonale princ. sono tutti = 0

Es: A = ¹⁄₃ ( ) Matrice diagonale superiore , A = [ ] Matrice diagonale superiore

A = ( ) Matrice diagonale , (elementi ≠ 0 solo sulla diagonale princ.)

Proprietà dei determinanti

1) det A = det(A^t)

2) Se si scambiano 2 righe e 2 colonne, il det cambia segno.

3) Se una riga o una colonna ha tutti 0 = det A = 0

4) Se due righe o colonne sono proporzionali det A = 0

5) Se una riga o colonna è combinazione lineare delle altre det A = 0

6) Se A è = k det(A)

7) Se si moltiplicano gli elementi di una riga o una colonna per k = k ·

det(A)

8) det di una matrice triangolare è dato dal prodotto degli elementi della diagonale

9) det(A · B) = det (A) · det (B) (Teorema di Binet)

10) det(A^-1) = det A

Rango di una matrice

Matrice estratta — è una sottomatrice con elementi comuni alla principale

Rango – ordine della sottomatrice più grande che si possa estrarre che abbia det ≠ 0

Le classi di resto del modulo p di Z

con p primo sono campi. Se p non è primo non abbiamo insiemi di classi di resto che costituiscono un campo.

Es. Z₅ = [{0}, {1}, {2}, {3}, {4}]

Z₃ = [{0}, {1}, {2}]

Z₃ = [{0}, {1}, {2}, {3}]

Z₄ = [{0}, {1}, {2}, {3}] non è un gruppo perché la classe [2] non ha il simmetrico rispetto a [2] - [2] = [0] = [2] - [2] = [0]

nessuna combinazione che dà l'elemento neutro [1].

Spazi Vettoriali

Siano uno spazio vettoriale V ≠ ∅, in cui sono definite due operazioni: una detta addizione che ad ogni coppia (u, v) ∈ V associa uno e un solo elemento di V, indicato con u + v, e una detta moltiplicazione per uno scalare che ad ogni numero reale α e ad ogni elemento v ∈ V associa uno ed un solo elemento di V, indicato con αv. Si dice spazio vettoriale su R se sono verificate le seguenti proprietà:

• Per l'addizione: associativa
• Per la moltiplicazione per uno scalare: α(βu) = (αβ)u
• 3. elem. neutro
• (∀u, v ∈ V, ∀α, β ∈ R)
• 4. elem. opposto
• Associativa
• Commutativa
• α(u + v) = αu + αv
• (α + β)u = αu + βu
• 1_R v = v

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono vettori.

Es. ℝⁿ = spazio vettoriale (in particolare ℝ², ℝ³)

Dimostriamo che ℝ² è gruppo abeliano: u = {x₁, x₂, x₃} v = {y₁, y₂} w = {z₁, z₂} ∈ ℝ² risulta (u + v) + w = u + (w + v)

(u + v) ∈ ℝ² tale che 0 + u = 0 = u

Opp (−x₁, −x₂) tale che u + 0 = 0_ℝ²

u + v = v + u

Insiemi di funzioni {V = {f:ℝ→ℝ³}} e insiemi di matrici (M_mn(ℝ)) sono spazi vettoriali.

(idem per insiemi di polinomi)

Es. p = a₅x³ + a₄x³ + a₄x² + x² + x + a₀

q = b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀

p + q = a₅x⁵ + a₅x⁴ + a₃x³ + (a₁, b₁)x + a₀ + a₀b₀

Vettori

u = 02v = 0t

v ∈ V_o

w ∈ V_o (regola del parallelogramma).

V_o = insieme di vettori nell'origine.

u = 0p_ki_k = 0q͞ con ||i∥||

• t copii con direz. e senso di 0͞q con queste operazioni.
• Sono soddisfatte le 4 prop. per essere considerato spazio vett.
• Partendo tutti dall'origine, le operazioni possono essere effettuate con i punti di arrivo invece che vettori.

Somma tra punti è più semplice