Z trasformata e segnali canonici

Z-trasformata e segnali canonici

Segnali campionati digitali

Equazione alle differenze: m(k) = b₀ e(k) + b₁ e(k-1) + ... + a₁ m(k-1) + a₂ m(k-2) + ...

Quindi l'algoritmo di controllo fornisce la combinazione lineare degli errori (anche di precedenti istanti di campionamento). L'algoritmo è iterativo.

Usiamo segnali: tempo discreto rispetto gli intervalli di campionamento.

Trasformata Z

Sia una sequenza adimensionale x(k) per k=0,1,2,... costituita da una serie di valori x(1), x(2), x(k) ∈ ℝ [ottenuto campionando un segnale continuo] oss x(k) ≡ x(kT)

x(k) = x(kT) se k > 0 x(k) = 0 se k

Si definisce trasformata Z la funzione: X(z) = Z { x(k) } = ∑_k=0 x(k)⋅z^-k

X(z) = x(0) + x(1) z^-1 + x(2) z^-2 + x(3) z^-3 +...

oss z ∈ ℂ

Se il segnale è stato ottenuto per campionamento di un segnale continuo { x(k) } ≡ { x(t) } t = kT

Istanti di campionamento: se il segnale è x_s(s) allora va fatta l'antitrasformata di Laplace, per campionare e infine effettuare la trasformata z ⇒ Z{ X(s)|_s = Z{ x(s) } z^-1 * [X_s(s)]|_t=kT}

Segnali canonici e notevoli

• Impulso di Kronecker

  δ(k) = { 1 se k = 0 0 se k ≠ 0 }

  X(z) = z Σ δ(k) z^-k = δ(0) + δ(1) z + δ(2) z² + δ(3) z³ + ... = z Σ δ(k)z^-k 1

• Gradino discreto

  1(k) = { 1 ∀k ≥ 0 0 ∀k < 0 }

  X(z) = z Σ 1(k)z^-k = Σ z^-k = 1 / (1 - z^-1) = z / (z - 1)

• Rampa discreta

  nt(k) Campiono { } kT ∀ k ≥ 0 0 ∀k < 0

  X(z) = z Σ kT z^-k = Σ k z^-k

  Osservazione t(k): Possiamo vedere la rampa come serie di gradini, quindi:

  X(z) = Σ (k)T z^-k = T [ Σ z^-k + Σ z^-k + ... ]

  = Σ (k)z^-k = Σ z^-kz ^-1 Σ z^-i

  = z^-1 Σ z^-i

  Possiamo quindi generalizzare per gli altri termini

  X(z) = T [ z / (z - 1) + z^-2 / (z - 1) + z^-3 / (z - 1) ... ]

  = T z / (z - 1) - z^-2 / (z - 1)

  = T z z^-2k

  Quindi X(z) Σ zⁿ x(k) z^k = Σ kT z^-k = T.z / (z - 1)²

• Potenza

  x_k = { a^k k ≥ 0 0 k < 0 }

  Dove a ∈ ℂ

Esempio: ES3 PRESO da Appello 7/6/22

S_T Determinare la z-trasformata F_z(z) del segnale tempo-continuo f_i(t) riportato in figura

Assumendo un passo di campionamento T=0,5 s

F_z(z) = Z { x(t) } = Z { x(t = KT) }

Campiono il segnale X(k) = 0,1, 4, 2, 0, 0... k > 0

Calcolo la z-trasformata F_z(z) =

Teorema del valore finale

Supponiamo di avere un segnale X(k) che ammette la z-trasformata X(k) ---> X(z) = Z { X(k) }

Supponiamo che il modulo delle radici del denominatore siano inferiori a 1 (al più un polo in)

Allora vale il teorema del valore finale:

lim_k→∞ X(k) = lim_z→1 (z-1)·X(z)

Esempi

• GRABINO X(z) =
• SENO X(z) =

Le radici possono essere rappresentate da un vettore polare, e all'infuori valga il teorema il suo modulo. Deve essere z ≤ 1 radici interne alla circonferenza unitaria.

Differenziazione complessa

Sia dato un segnale X(k) ---> X(z) = Z [ X(k) ], vogliamo calcolare Z { k ∙ x(k) }

Per definizione d/dz X(z) = ∑ X(k) ∙ z^-k

Si ricorda il procedimento si può calcolare Z { k ∙ x(k) }