Antitrasformata Z

Z-Trasformata e Segnali Periodici

Esempio

Voglio calcolare la z trasformata del gradino campionato partendo dalla base del segnale

x_k

X(z) = 1 + z^-1

X(z) = 1 + z^-1 = z^-2 + 1

X(z) = 1 + 0,5z^-1 + 0,5z^-2

Proprietà Fattoriale

Poiché

• z^ka^kζ = z_z-a

Allora

• z{(k+a)}a^k = z{(k+a)}ζ
• z{ζ⁄2! (k+a)(k+2) a^kζ} = z₃⁄(z-a)³

Si può quindi iterare il procedimento

〈 (k+1) (k+z) (k+m-1) 〉 _α^k = 〈 z^m 〉 / [m-z!]_m

ma

(k+m-1)! = 1 . 2 . 3 . ... . k . (k+4) . (k+2) . ... . (k+m-4)

allora si può sintetizzare

Z (k+m-4)! / k!(m-1)! 〈 α^k 〉 = 〈 z^m 〉 / [z-〦]!_m

oss.

Z 〦 k ^k-4 〉 =? Posso considerare X₁(k!) = (k+1) a^k ritardato di un passo (k=k-4)

allora

Z 〦 k ^k-4 〉 Z 〦 (k+4) a^k 〉 z^-4 z² / (z-〦)² = z / (z-〦)²

es.

Z 〈 〦

10 / s² (s+1)

z² / z³ _[t=kT]

∫ 1 – z ^-2 dt = ∫ e^-4t, (1-t) x (t) + (t)

Fratti semplici: 10 / s⁴ , t / s + 10 / s+4

Z ∫ -1 x! (t)/t⁴ 〦 y = T₂ 〈 10 z / (z-1) + 10 z / e^z-4

ANTITRASFORMATA

X(z) 〉 X(k) = Z ^-1 X(z)f

X(4), X(4),...

• METODO del LA LUNGA DIVISIONE

Sia X(z) → X(o) K(z) X ▱ (X), X(z) z ▱ 2 ... → X(z)

X(z) = z² z – X, X(z) X, D(z)

(z² z X-1) _______________

Questo metodo non fornisce un'espressione analitica in forma chiusa; bensì i valori del segnale...

z^-4 z³ z^-3 z^-2 z^-4

X(z) = N₁ (z) + 1 + z^-4 z² + 〈 ∑^z + X(z) ^x(3)

= X(k) = {1,2,3,...}

in alternativa

₂(k) = ¹/₂((1 + j)(-j)^k(¹/_k)(t₁) − (1 - j)(j)^k(¹/_k)(t₂))

= ¹/₂ ((1 - j)¹/_k e^-jkπ/₂ − (1 - j)¹/_k e^-jkπ/₄) e^jkkπ/₂ + j¹/₄ q^k+ e^jkπ/₂

= ¹/_-4 e^j?/₂ (¹/₄ e^-jkπ/_k e^-jkπ/₄)

= j¹/₂ cos ^k/₁ − j sin ^k/₄

lo campione  per k=9   ⇒  β₂0(k) = 1

es. APPELLO 02/9 (modificato)

r_c(k) =⁴/₃k - 5,

r_c[k] - 2:1[k-1]

[k](k) = 0.5 y(k-5)

[k-3]

[k-1]

⇒ y(k) = 0.5 z^-4 y(z) + 4^Q[e]

G(z) = ²/₃

R(z) = ¹/_{0.5 z}

vogli colore l'uscita Y(right) del 'ingresso R(z) ⇒ Y(z) = G(z)

R(z) = [z 1.2)

= ¹- (2 z - ' a²/₂)

= z - 2/_z

= e/s1([z-2]

y(z)

= G(z)R(z)

= 2 (z - [2]

= y[k] = A.

= z -1:2

= A [k+1] ¹[k]

[k-1]

3:¹/_{0 5}(K)

• GRADINO MODULANTE ⇒ y[8]=0

OSS

Tornando y

e y(z)  = ¹/_0.5

^{[z -1/_z] 1}/_z

¹/_{z -1} = [^-3/_z]

^-3[4 z]/[z -1]

1/ [z [4]

[z= 1.2] + 3 [²/_{z -1} -¹[z

− z

[² −_0.5 z −^sub2.5

2^z2

solo z riposte (ri gradio mdiamento per

z tutela; la riposta complessa e la contribuzione

2 riposte di gradino teletroide

Quindi, poiché vale la linearità anche la rispota del sistema che è sotto della combinazione lineare bi ingresso può essero obtainato come combinazione delle risposta di gradino retizzato di m protto e di compunso

b

dove

⇒ Per risolvere lo tesso problema potrei considerare y(k), rispota ad un gradino nell'istanto 0,

y'(k) = z⁻¹ G(y

/z)

= (3^k/z^?)

^z−1cZ[(

?

− y

?

z = z¹/_0.7 1

amore

y'(z) =^e +₂ j