Piani s z

Piani s e z #2

Sistemi di 2^o ordine

X(s) = W_n²/_{s² + 2δWns + Wn²}

Segnale sinusoidale & Sistema 2^o ordine

P₁/2 = δW_n ± jW_n√(1-δ²) con δ = cosφ

Se il segnale è sottosmorzato o _c δ < 1

Se δ = 1

Se δ = 0

Per δ < 0 ⇒ poli a DX, sist. instabile

Supponiamo di avere un luogo a δ = cost. → ψ = cost.

Vogliamo studiare la corrispondenza nel piano z, sotto ipotesi che 0 < δ ≤ 1

Ponendo z = e^s_πT sostituisco nei poli

Con δ = cost. e → -∞ e W_n⁴ = +∞ risulta che - ρ = e^δW_nT ⇒ ln ρ = -δW_nT - W_nT = φ/√(1-δ²) ⇒ ln ρ = -δ/√(1-δ²)θ

Quindi conviene tenersi sempre nel limite della striscia primaria,

LUOGO a W_n = Cost.

Consideriamo la precedente X(s), quindi un sistema del 2° ord sottosmorzato

Visto che la circonferenza maggiore è quella con W_s oltre pongo

procedendo come prima, facendo variare W tra 0 e 1^1/2

• P = e^{-J W_n T}
• Θ = ± W_n √1-δ² · T

SPECIFICHE DEL SISTEMA

Il tempo di assestamento

sovraelongazione fissa il δ

POLI

Supponiamo di avere x(t), che campionato da luogo a x* (t)

x(t) = e^-at

x(kT) = e^-akT

X(s) = ¹/_s+a

• s₀ = -a

X(z) = ^z/_{z - e^-aT}

• z₀ = e^-aT

Posso usare z = e^sT per conoscere la posizione dei poli nel piano z

Esercizi

20/9/2021

Un segnale descrittivo da E(s) è derivato per campionamento di un segnale X(s). Supponendo che il polo possa trovarsi in uno dei punti del luogo tracciato in figura, si individuino il luogo e i due potenziali trascorsi z e i rispettivi poli nel piano trasformato.

1. Disegno la circonferenza unitaria come riferimento
2. Procedo in una direzione (A → B → C → ...)
3. Si studia la corrispondenza

A = 2 + jϕ

B = e^{j w_s / 2}

C = -1

D = -1 + jϕ

O = 0 + jϕ

E = 0 - j w_s / 4

F = 2 - j w_s / 4

P_E = e^2T

z = 1 - e^{-j w_L / 2}

ζ = λ * e^{-j w_L / 2}

z = e^2T